完璧なグループ

数学、より具体的には群論において、群が完全であるとは、それが自身の交換子部分群に等しい場合、または同値として、群に非自明な アーベル 商がない場合（同値として、普遍アーベル商であるアーベル化が自明である場合）であると言われる。記号では、完全群とは、 G ⁽¹⁾ = G （交換子部分群が群に等しい）となる群、または同値として、 G ^ab = {1}（アーベル化が自明である） となる群である。

最小の（非自明な）完全群は交代群 A ₅である。より一般的には、交換子部分群はアーベル商を持つ正規部分群なので、非アーベル単純 群は完全である。しかし、完全群は単純である必要はない。例えば、 5 つの元を持つ体上の特殊線型群SL(2,5) （またはそれに同型である2 元 20 面体群）は完全だが単純ではない（を含む非自明な中心を持つ）。 ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right)=\left({\begin{smallmatrix}4&0\\0&4\end{smallmatrix}}\right)}$

任意の 2 つの単純な非可換群の直積は完全ですが単純ではありません。2 つの要素の交換子は [( a , b ),( c , d )] = ([ a , c ],[ b , d ]) です。各単純群の交換子は生成集合を形成するため、交換子のペアは直積の生成集合を形成します。

の基本群は位数120の完全群である。^[1]${\displaystyle SO(3)/I_{60}}$

より一般的には、非自明な拡大である（したがってそれ自体は単純群ではない）準単純群（単純群の完全中心拡大）は、完全ではあるが単純ではない。これには、射影特殊線型群PSL( n , q ) の拡大としての、すべての不溶性で非単純な有限特殊線型群 SL ( n , q ) が含まれる（SL(2,5) は PSL(2,5) の拡大であり、A ₅と同型である）。同様に、実数および複素数上の特殊線型群は完全であるが、一般線型群 GL は決して完全ではない（ が自明な場合、または を超える場合は特殊線型群に等しい）。これは、行列式が非自明なアーベル化を与え、実際に交換子部分群が SL であるためである。 ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$

しかし、非自明な完全群は必ずしも解くことができない。また、4はその位数を割り切れる（有限ならば）。さらに、8がその位数を割り切れないのであれば、3は割り切れる。^[2]

すべての非巡回群は完全ですが、その逆は真ではありません。A 5_は完全ですが、非巡回ではありません (実際、超完全でさえありません)。(Berrick & Hillman 2003) を参照してください。実際、 の場合、交代群は完全ですが超完全ではありません ( の場合) 。 ${\displaystyle n\geq 5}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle H_{2}(A_{n},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /2}$${\displaystyle n\geq 8}$

完全群の商はどれも完全群です。単純ではない非自明な有限完全群は、少なくとも 1 つのより小さな単純非可換群の拡張でなければなりません。ただし、複数の単純群の拡張になることもあります。実際、完全群の直積も完全群です。

すべての完全群G は、別の完全群E (その普遍中心拡大) と、核がEの中心にある全射 f : E → Gを決定し、 f はこの性質を持つ普遍性を 持つ。 fの核は、 1904 年にIssai Schurによって初めて研究されたため、 GのSchur 乗数と呼ばれ、ホモロジー群と同型である。 ${\displaystyle H_{2}(G)}$

代数的 K 理論のプラス構成において、可換環の群を考えるとき、基本行列の部分群は完全部分群を形成します。 ${\displaystyle \operatorname {GL} (A)={\text{colim}}\operatorname {GL} _{n}(A)}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle E(R)}$

交換子部分群は交換子によって生成されるため、完全群には交換子の積であるが交換子ではない元が含まれる可能性がある。オイステイン・オーレは1951年に5つ以上の元を持つ交代群には交換子のみが含まれることを証明し、すべての有限非可換単純群についてこれが当てはまると予想した。オーレの予想は2008年に最終的に証明された。証明は分類定理に依存している。^[3]

完全群に関する基本的な事実は、オットー・グリュンのグリュンの補題の命題である(Grün 1935, Satz 4、^{[注 1]} p. 3)。つまり、完全群をその中心で割った商は中心を持たない (自明な中心を持つ) ということである。

証明: Gが完全群である場合、 Z ₁とZ _{2 は}Gの上中心級数の最初の2項を表します（つまり、Z _{1 は}Gの中心であり、Z ₂ / Z _1はG / Z ₁の中心です）。HとK がGのサブグループである場合、HとKの交換子を[ H、K ] で表し、[ Z ₁、G ] = 1 かつ [ Z ₂、G ] ⊆ Z ₁であることに注意し、したがって（ [ X、Y、Z ] = [[ X、Y ]、Z ] という規則に従います）

${\displaystyle [Z_{2},G,G]=[[Z_{2},G],G]\subseteq [Z_{1},G]=1}$

${\displaystyle [G,Z_{2},G]=[[G,Z_{2}],G]=[[Z_{2},G],G]\subseteq [Z_{1},G]= 1.}$

3つの部分群の補題（または同等のホール・ウィット恒等式） により、[ G , Z ₂ ] = [[ G , G ], Z ₂ ] = [ G , G , Z ₂ ] = {1}が成り立ちます。したがって、Z ₂ ⊆ Z ₁ = Z ( G )であり、商群G / Z ( G )の中心は自明群です。

結果として、完全群のすべての高次の中心（つまり、上中心級数の高次の項）は中心に等しくなります。

群ホモロジーの観点から見ると、完全群とは、まさにその最初のホモロジー群が消える群である: H ₁ ( G , Z ) = 0、これは群の最初のホモロジー群がまさにその群のアーベル化であり、完全とは自明なアーベル化を意味するからである。この定義の利点は、強化が許される点である:

• 超完全群とは、最初の 2 つのホモロジー群が消える群です。${\displaystyle H_{1}(G,\mathbb{Z})=H_{2}(G,\mathbb{Z})=0}$
• 非巡回群とは、その（簡約された）ホモロジー群がすべて消滅する群です（これは、消滅以外のすべてのホモロジー群と同等です）。${\displaystyle {\tilde {H}}_{i}(G;\mathbb {Z} )=0.}$${\displaystyle H_{0}}$

特に代数 K 理論の分野では、群の交換子部分群が完全である場合に群は準完全であると言われます。記号で言えば、準完全群はG ⁽¹⁾ = G ^{(2) となる群}（交換子部分群の交換子は交換子部分群）であり、完全群はG ⁽¹⁾ = Gとなる群（交換子部分群は群全体）です。(Karoubi 1973、pp. 301–411) および (Inassaridze 1995、p. 76) を参照してください。

• Weisstein、Eric W.「完全群」。MathWorld。
• ワイスタイン、エリック W.「グリュンの補題」。マスワールド。