セントラルシリーズ

数学、特に群論とリー理論の分野では、中心系列は部分群またはリー部分代数の正規系列の一種であり、交換子がほぼ自明であるという考えを表しています。群の場合、中心系列の存在はそれが冪零群であることを意味します。行列環（リー代数とみなされる）の場合、中心系列の存在は、ある基底において環が対角成分が一定の上三角行列のみで構成されていることを意味します。

この記事では群論の用語を使用していますが、リー代数についても同様の用語が用いられています。

一般的な群は、下中心列と上中心列（それぞれ下降中心列、上昇中心列とも呼ばれる）を持つが、これらが厳密な意味での中心列（自明な部分群で終わる）となるのは、群が冪零である場合に限る。関連するが、これとは異なる構成として導来列があり、これは群が可解である限り自明な部分群で終わる。

中心系列とは、部分群の列のことである。

${\displaystyle \{1\}=A_{0}\triangleleft A_{1}\triangleleft \dots \triangleleft A_{n}=G}$

連続する商が中心となるように、つまり、${\displaystyle [G,A_{i+1}]\leq A_{i}}$、 どこ${\displaystyle [G,H]}$は、形式のすべての要素によって生成される交換子部分群を表します。${\displaystyle [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh}$gはGに属し、hはHに属する。${\displaystyle [G,A_{i+1}]\leq A_{i}\leq A_{i+1}}$サブグループ${\displaystyle A_{i+1}}$各iについて、 Gにおいて正常である。したがって、上記の「中心」条件を次のように言い換えることができる。${\displaystyle A_{i}}$Gでは正常で、${\displaystyle A_{i+1}/A_{i}}$ 中心となるのは${\displaystyle G/A_{i}}$ 各iについて。結果と​​して、${\displaystyle A_{i+1}/A_{i}}$各iについて、は可換である。

中心列は、リー理論において随伴作用によって厳密に保存される旗（より平易に言えば、各要素が厳密に上三角行列で表される基底）に類似している。エンゲルの定理と比較せよ。

群は必ずしも中心系列を持つとは限りません。実際、群が中心系列を持つのは、それが冪零群である場合のみです。群が中心系列を持つ場合、ある意味で極値となる項を持つ中心系列が 2 つ存在します。A 0 = {1} なので、_中心Z ( G )はA ₁ ≤ Z ( G ) を満たします。したがって、 A ₁の最大の選択肢はA ₁ = Z ( G )です。このようにして、 A _iが与えられたときに可能な限り最大のA _{i + 1を選択し続けると、}上中心系列と呼ばれるものが生成されます。双対的に、A _n = Gなので、交換子部分群 [ G , G ] は [ G , G ] = [ G , A _n ] ≤ A _{n − 1を満たします。したがって、} A _{n − 1}の最小の選択肢は [ G , G ] です。A _{i + 1}が与えられたときに [ G , A _{i + 1} ] ≤ A _iとなるようにA _{i を}最小限に選択し続けると、下中心系列と呼ばれるものが得られます。これらの系列は任意の群に対して構成でき、群が中心系列を持つ場合（冪零群である場合）、これらの手順によって中心系列が得られます。  

群の下部中央系列（または下降中央系列）${\displaystyle G}$は、サブグループの降順系列です。

${\displaystyle G=G_{1}\trianglerighteq G_{2}\trianglerighteq \cdots \trianglerighteq G_{n}\trianglerighteq \cdots }$、

ここで、各${\displaystyle n}$、

${\displaystyle G_{n+1}=[G_{n},G]}$、

サブグループの${\displaystyle G}$すべての整流子によって生成される${\displaystyle [x,y]}$と${\displaystyle x\in G_{n}}$そして${\displaystyle y\in G}$。 したがって、${\displaystyle G_{2}=[G,G]=G^{(1)}}$派生サブグループ${\displaystyle G}$、 その間${\displaystyle G_{3}=[[G,G],G]}$など。下中央系列はしばしば次のように表記される。${\displaystyle \gamma _{n}(G)=G_{n}}$数列が終了または安定するのは、${\displaystyle G_{n}=G_{n+1}=G_{n+2}=\cdots }$、そしてそのような最小のものは${\displaystyle n}$これはシリーズの長さより1つ多い数です。

これは、項が次のようになる派生級数と混同してはならない。

${\displaystyle G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]}$、

ない${\displaystyle G_{n}=[G_{n-1},G]}$2つのシリーズは、${\displaystyle G^{(n)}\leq G_{n}}$例えば、対称群${\displaystyle S_{3}}$クラス2の解法は、導出級数は

${\displaystyle S_{3}\trianglerighteq \{e,(1\;2\;3),(1\;3\;2)\}\trianglerighteq \{e\}.}$

しかし、それは冪零ではない。その下位中央系列は

${\displaystyle S_{3}\trianglerighteq \{e,(1\;2\;3),(1\;3\;2)\}}$

終了しない${\displaystyle \{e\}}$冪零群は可解群であり、その導出長さは冪零クラスにおいて対数的である（Schenkman 1975 、p. 201,216）。 

無限群の場合、超限再帰によって下中心列を無限順序数まで延長することができます。極限順序数λに対して、次のように定義します。

${\displaystyle G_{\lambda }=\bigcap \{G_{\alpha }:\alpha <\lambda \}}$。

もし${\displaystyle G_{\lambda }=1}$ある順序数λに対して、Gは中心群であると言われる。任意の順序数λに対して、次のような群Gが存在する。${\displaystyle G_{\lambda }=1}$、 しかし${\displaystyle G_{\alpha }\neq 1}$すべての人々のために${\displaystyle \alpha <\lambda }$（マルツェフ1949 ）。

もし${\displaystyle \omega }$最初の無限順序数である場合、${\displaystyle G_{\omega }}$は、商群が残余冪零となるようなGの最小の正規部分群である。つまり、すべての非単位元が冪零群において非単位準同型像を持つような正規部分群である( Schenkman 1975 、p. 175,183) 。組合せ群論の分野では、自由群が残余冪零であることは重要かつ初期の結果である。実際、下中心系列の商群は、基本交換子によって定義される自然な基底を持つ自由アーベル群である( Hall 1959 、Ch. 11)。 

もし${\displaystyle G_{\omega }=G_{n}}$ある有限のnに対して、${\displaystyle G_{\omega }}$は、冪零商を持つGの最小正規部分群であり、${\displaystyle G_{\omega }}$これはGの冪零剰余と呼ばれます。これは有限群では常に成り立ち、 を定義します。${\displaystyle F_{1}(G)}$Gの下位フィッティング シリーズの項。

もし${\displaystyle G_{\omega }\neq G_{n}}$すべての有限なnに対して、${\displaystyle G/G_{\omega }}$は冪零ではないが、残余冪零である。

超限下中心系列のすべての項の交点を表す一般的な用語は存在しない。これは、ハイパーセンター（下記参照）に類似するものである。

群Gの上中央系列(または上昇中央系列)は、部分群の列です。

${\displaystyle 1=Z_{0}\triangleleft Z_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft Z_{i}\triangleleft \cdots ,}$

ここで、各連続するグループは次のように定義される。

${\displaystyle Z_{i+1}=\{x\in G\mid \forall y\in G:[x,y]\in Z_{i}\}}$

そして、 Gのi番目の中心(それぞれ、第 2 中心、第 3 中心など)と呼ばれます。この場合、${\displaystyle Z_{1}}$Gの中心であり、各連続するグループについて、因子グループは${\displaystyle Z_{i+1}/Z_{i}}$は中心です${\displaystyle G/Z_{i}}$、これは上中心級数商と呼ばれます。ここでも、級数が等式の連鎖に安定する場合、級数は終了すると言います。その長さは、級数に含まれる異なるグループの数です。

無限群の場合、超限再帰によって上中心級数を無限順序数まで延長することができます。極限順序数λに対して、次のように定義します。

${\displaystyle Z_{\lambda }(G)=\bigcup _{\alpha <\lambda }Z_{\alpha }(G).}$

この過程の極限（より高次の中心の結合）は、群の超中心と呼ばれる。

超限上中心列が群全体で安定する場合、その群は超中心群と呼ばれる。超中心群は、正規化条件（真部分群の正規化群は部分群を真に含む）、互いに素な位数の要素が可換であること、周期的な超中心群はシローp部分群の直和であることなど、冪零群の多くの性質を持つ（Schenkman 1975 、第 6.3 章）。任意の順序数λに対して、 Z _λ ( G ) = Gとなる群Gが存在するが、α < λの場合はZ α ₍ G ) ≠ Gとなる（Gluškov 1952およびMcLain 1956 ）。

下中央系列（LCS）と上中央系列（UCS）の間には、特に冪零群に関して様々な関連性がある（Ellis 2001 ）。

冪零群の場合、LCS と UCS の長さは一致し、この長さは群の冪零クラスと呼ばれます。ただし、冪零群の LCS と UCS は必ずしも同じ項を持つとは限りません。たとえば、巡回群C ₂ ⊵ { e } と四元数群Q ₈ ⊵ {1, −1} ⊵ {1} では UCS と LCS は一致しますが、それらの直積C ₂ × Q ₈のUCS と LCS は一致しません。LCS はC ₂ × Q ₈ ⊵ { e } × {−1, 1} ⊵ { e } × {1} ですが、UCS はC ₂ × Q ₈ ⊵ C ₂ × {−1, 1} ⊵ { e } × {1} です。

群がアーベル群であるのは、LCSが最初のステップで終了する場合（交換子部分群が自明な部分群である場合）、かつUCSが最初のステップで終了する場合（中心が群全体である場合）に限る。

対照的に、LCSは群が完全群（交換子が群全体）である場合に限りゼロステップで終了し、UCSは群が中心を持たない群（自明な中心）である場合に限りゼロステップで終了する。これらは異なる概念である。完全群の場合、UCSは常に最初のステップで安定化する（グリュンの補題）。しかし、中心を持たない群は非常に長いLCSを持つ可能性がある。2つ以上の生成元を持つ自由群は中心を持たないが、そのLCSは最初の無限順序数まで安定化しない。これは、一般にLCSとUCSの長さが一致する必要はないことを示している。

p群（常に冪零群である）の研究においては、より長い中心系列を用いることが重要となる場合が多い。そのような中心系列の重要なクラスの一つが指数p中心系列である。すなわち、商が初等アーベル群である、あるいは同じ意味で指数がpである中心系列である。このような系列の中で最も急速に減少する唯一の系列、すなわち次式で定義される下位指数p中心系列λが存在する。

${\displaystyle \lambda _{1}(G)=G}$、 そして

${\displaystyle \lambda _{n+1}(G)=[G,\lambda _{n}(G)](\lambda _{n}(G))^{p}}$。

2番目の項、${\displaystyle \lambda _{2}(G)}$は、${\displaystyle [G,G]G^{p}=\Phi (G)}$フラッティーニ部分群。指数が小さい方のp中心系列は、単にp中心系列と呼ばれることもあります。

このような系列の中で最も急速に上昇する唯一の系列、すなわち上側指数p中心系列Sは、次のように定義される。

S ₀ ( G ) = 1

S _{n +1} ( G )/S _n ( G ) = Ω(Z( G /S _n ( G )))

ここで、Ω( Z ( H )) は、位数がp を割り切るHの中心要素の集合によって生成される部分群 (かつそれに等しい) を表します。最初の項 S ₁ ( G ) は、最小正規部分群によって生成される部分群であり、Gのソクルに等しくなります。このため、上付き指数p の中心系列は、ソクル系列またはローウィ系列と呼ばれることもありますが、後者は通常、下降系列を示すために使用されます。

中心級数の他の改良版が有用な場合もある。例えば、ジェニングス級数κは次のように定義される。

κ ₁ ( G ) = G、そして

κ _{n + 1} ( G ) = [ G , κ _n ( G )] (κ _i ( G )) ^p、ここでiはn / p以上の最小の整数です。

ジェニングス級数は、p群のモジュラー群環のローウィ級数を記述するためにこの級数を用いたスティーブン・アーサー・ジェニングスにちなんで名付けられた。

• 冪零級数、可解群における類似の概念
• 様々な種類の中心系列によって定義される有限p群の親-子孫関係
• 単能性グループ

• Ellis, Graham (2001年10月)、「群の上位中心商と下位中心級数の関係について」、アメリカ数学会紀要、353 (10): 4219–4234、doi : 10.1090/S0002-9947-01-02812-4、JSTOR 2693793 
• Gluškov, VM (1952)、「無限群の中心系列について」、Mat. Sbornik、新シリーズ、31：491–496、MR 0052427 
• ホール、マーシャル（1959）『群論』マクミラン、MR 0103215 
• マルツェフ、AI（1949）「一般化された冪零代数とその関連群」、Mat. Sbornik、新シリーズ、25（67）：347–366、MR 0032644 
• McLain, DH (1956)、「群の上位中心系列に関する考察」、Proc. Glasgow Math. Assoc.、3：38–44、doi：10.1017/S2040618500033414、MR 0084498 
• シェンクマン、ユージン（1975）、『群論』、ロバート・E・クリーガー出版、ISBN 978-0-88275-070-5MR 0460422​ 特に第6章。