半線形マップ

線型代数、特に射影幾何学において、体K上のベクトル空間VとW間の半線型写像は、「ねじれを除いて」線型写像である関数、つまり半線型であり、「ねじれ」は「 Kの体自己同型」を意味する。明示的には、関数T  : V → Wであり、次のようになる。

• ベクトル加算に関して加法性がある:${\displaystyle T(v+v')=T(v)+T(v')}$
• Kの体自己同型θ が存在し、 となる。そのような自己同型が存在し、Tが非ゼロの場合、それは一意であり、T はθ -半線型と呼ばれる。${\displaystyle T(\lambda v)=\theta (\lambda )T(v)}$

定義域と余域が同じ空間である場合 (つまり、T  : V → V )、それは半線型変換と呼ばれることがあります。与えられたベクトル空間V (体の自己同型性のすべての選択に対して) の可逆な半線型変換は、一般半線型群と呼ばれる群を形成し、一般線型群との類推とそれを拡張することによって示されます。体が複素数で自己同型が複素共役である特別な場合、半線型写像は反線型写像と呼ばれます。 ${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V),}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

同様の表記法 (ラテン文字をギリシャ文字に置き換える) は、より制限された線型変換の半線型類似物、つまり、体自己同型群の線型群とガロア群の半直積に対しても使用されます。たとえば、PΣU は、射影特殊ユニタリ群PSU の半線型類似物に対して使用されます。ただし、(Bray、Holt、Roney-Dougal 2009) で指摘されているように、これらの一般化半線型群が明確に定義されていないことが最近になってようやく認識されたことに注意してください。同型の古典群GおよびH (SL のサブグループ) は、同型でない半線型拡大を持つ場合があります。半直積のレベルでは、これは、特定の抽象群に対するガロア群の異なる作用、つまり 2 つの群と 1 つの作用に依存する半直積に対応します。拡大が一意でない場合は、半線型拡大が 2 つあります。たとえば、シンプレクティック群は一意の半線型拡大を持ちますが、SU( n , q ) はnが偶数でqが奇数の場合に 2 つの拡大を持ちます。PSU についても同様です。

ベクトル空間VとWに対する、それぞれ体KとL上の写像f  : V → Wがσ -半線型、または単に半線型であるとは、体準同型σ  : K → Lが存在し、 Vのすべてのx、yとKのすべてのλに対して、次が成り立つとき である。

1. ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),}$
2. ${\displaystyle f(\lambda x)=\sigma (\lambda )f(x).}$

Lにおける体Kの与えられた埋め込み σにより、 K をLのサブフィールドと同一視することができ、この同一視の下ではσ半線型写像をK線型写像にすることができます。しかし、異なる埋め込みτ ≠ σに対してτ半線型である写像は、 f が常にゼロでない限り、元の同一視σに関してK線型にはなりません。

より一般的には、右R加群Mと左S加群Nの間の写像ψ  : M → Nがσ半線型であるとは、環反準同型σ  : R → Sが存在し、 Mのすべてのx、y、Rのすべてのλに対して次が成り立つ ときである。

1. ${\displaystyle \psi (x+y)=\psi (x)+\psi (y),}$
2. ${\displaystyle \psi (x\lambda )=\sigma (\lambda )\psi (x).}$

半線形という用語は、上記の式を適切に調整した左モジュールと右モジュールの任意の組み合わせに適用され、σは必要に応じて準同型になります。^{[1] [2]}

このペア（ψ、σ）は二形性と呼ばれます。^[3]

を環同型、右- 加群と右- 加群、および-半線型写像とします。の転置を^{[4] を}満たす写像として定義します。 これは- 半線型写像です。 ${\displaystyle \sigma :R\to S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle N}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \psi :M\to N}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {}^{t}\psi :N^{*}\to M^{*}}$ $${\displaystyle \langle y,\psi (x)\rangle =\sigma \left(\left\langle {}^{\text{t}}\psi (y),x\right\rangle \right)\quad {\text{ for all }}y\in N^{*},{\text{ and all }}x\in M.}$$${\displaystyle \sigma ^{-1}}$

を環同型、右- 加群と右- 加群、および- 半線型写像とする。写像は - 線型形式 を定義する。^[5]${\displaystyle \sigma :R\to S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle N}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \psi :M\to N}$${\displaystyle \sigma }$$${\displaystyle M\to R:x\mapsto \sigma ^{-1}(\langle y,\psi (x)\rangle ),\quad y\in N^{*}}$$${\displaystyle R}$

• 標準基底 とする。写像を次のように 定義する。${\displaystyle K=\mathbf {C} ,V=\mathbf {C} ^{n},}$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$${\displaystyle f\colon V\to V}$

  ${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}z_{i}e_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}{\bar {z}}_{i}e_{i}}$

fは半線形（複素共役体自己同型に関して）だが線形ではない。

• をの位数のガロア体、p を特性とする。 とする。フレッシュマンズドリームにより、これは体の自己同型であることがわかっている。 K上のベクトル空間VとW の間のすべての線型写像に対して、-半線型写像 を確立できる。${\displaystyle K=\operatorname {GF} (q)}$${\displaystyle q=p^{i}}$${\displaystyle \ell ^{\theta }=\ell ^{p}}$${\displaystyle f\colon V\to W}$${\displaystyle \theta }$

  ${\displaystyle {\widetilde {f}}\left(\sum _{i=1}^{n}\ell _{i}e_{i}\right):=f\left(\sum _{i=1}^{n}\ell _{i}^{\theta }e_{i}\right).}$

実際、すべての線形マップは、このようにして半線形マップに変換できます。これは、次の結果にまとめられた一般的な観察の一部です。

• を非可換環、左- 加群、およびの可逆元とします。写像 を定義すると、 となり、 はの内部自己同型になります。したがって、同相写像は線型写像である必要はなく、 -半線型です。^[6]${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle R}$${\displaystyle \varphi \colon M\to M\colon x\mapsto \alpha x}$${\displaystyle \varphi (\lambda u)=\alpha \lambda u=(\alpha \lambda \alpha ^{-1})\alpha u=\sigma (\lambda )\varphi (u)}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x\mapsto \alpha x}$${\displaystyle \sigma }$

ベクトル空間Vが与えられたとき、すべての可逆な半線型変換V → V （すべての体自己同型に対して）の集合は、群 ΓL( V ) です。

K上のベクトル空間Vが与えられたとき、ΓL( V )は半直積として分解される。

${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V)=\operatorname {GL} (V)\rtimes \operatorname {Aut} (K),}$

ここで、Aut( K ) はKの自己同型です。同様に、他の線型群の半線型変換は、自己同型群との半直積として定義できます。または、より本質的には、いくつかの特性を保存するベクトル空間の半線型写像の群として 定義できます。

Vの基底Bを固定し、半線型写像を定義すること によって、 Aut( K )をΓL( V )の部分群と同一視する。

${\displaystyle \sum _{b\in B}\ell _{b}b\mapsto \sum _{b\in B}\ell _{b}^{\sigma }b}$

任意の に対して成り立ちます。この部分群を Aut( K ) _Bで表します。また、ΓL( V ) における GL( V ) の補集合は、基底の変化に対応するため、 GL( V )によって規則的に作用されることもわかります。 ${\displaystyle \sigma \in \operatorname {Aut} (K)}$

あらゆる線型写像は半線型なので、 となる。 Vの基底Bを固定する。ここで、体自己同型σ ∈ Aut( K )に関する任意の半線型写像fが与えられ、g  : V → Vを次のよう に定義する。${\displaystyle \operatorname {GL} (V)\leq \operatorname {\Gamma L} (V)}$

${\displaystyle g\left(\sum _{b\in B}\ell _{b}b\right):=\sum _{b\in B}f\left(\ell _{b}^{\sigma ^{-1}}b\right)=\sum _{b\in B}\ell _{b}f(b)}$

f ( B ) もVの基底なので、 g は単にVの基底交換であり、線形かつ可逆であることがわかります。つまり、 g ∈ GL( V )です。

を設定します。V内の任意の に対して、 ${\displaystyle h:=fg^{-1}}$${\displaystyle v=\sum _{b\in B}\ell _{b}b}$

${\displaystyle hv=fg^{-1}v=\sum _{b\in B}\ell _{b}^{\sigma }b}$

したがってh は固定基底Bに対する Aut( K ) 部分群に属します。この因数分解は固定基底Bに固有です。さらに、 GL( V ) は Aut( K ) _Bの作用によって正規化されるため、ΓL( V ) = GL( V ) ⋊ Aut( K )となります。

群はGL( V )の典型的な古典群を拡張する。このような写像を考えることの重要性は、射影幾何学の考察から導かれる。関連する射影空間P( V )への誘導作用は、${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V)}$${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V)}$射影半線型群 は射影線型群PGL(V) 拡張したもので、と表記される${\displaystyle \operatorname {P\Gamma L} (V)}$

ベクトル空間Vの射影幾何学はPG( V ) と表記され、 Vのすべての部分空間の格子である。典型的な半線型写像は線型写像ではないが、すべての半線型写像は順序保存写像を誘導する。つまり、すべての半線型写像は射影性を誘導する。この観察の逆 (射影直線を除く) は、射影幾何学の基本定理である。したがって、半線型写像はベクトル空間の射影幾何学の自己同型群を定義するので有用である。 ${\displaystyle f\colon V\to W}$${\displaystyle f\colon \operatorname {PG} (V)\to \operatorname {PG} (W)}$

群PΓL(3,4)は散在単純群の1つであるマシュー群M ₂₄を構成するために使用できます。PΓL(3,4)はM ₂₄の最大部分群であり、これを完全なマシュー群に拡張する方法は多数あります。

• 反線形マップ
• 複素共役ベクトル空間

• Assmus, EF; Key, JD (1994)、「デザインとそのコード」、ケンブリッジ大学出版局、p. 93、ISBN 0-521-45839-0
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