シューア乗数

数学の群論において、シューア乗数またはシューア乗法子は、群Gの第二ホモロジー群である。これは 、イッサイ・シューア(1904) が射影表現 に関する研究で導入した。 ${\displaystyle H_{2}(G,\mathbb {Z} )}$

有限群Gのシュアー乗数は、指数がGの位数を割り切る有限アーベル群です。Gのシローp部分群が何らかの p に対して巡回する場合、 の位数はpで割り切れません。特に、Gのすべてのシローp部分群が巡回する場合、 は 自明です。 ${\displaystyle \operatorname {M} (G)}$${\displaystyle \operatorname {M} (G)}$${\displaystyle \operatorname {M} (G)}$

たとえば、位数 6 の非可換群のシューア乗数は、すべてのシロー部分群が巡回的であるため、自明な群です。位数 16 の基本可換群のシューア乗数は位数 64 の基本可換群であり、乗数が群自体よりも厳密に大きくなる可能性があることを示しています。四元数群のシューア乗数は自明ですが、二面体 2 群のシューア乗数は位数 2 です。

有限単純群のシュアー乗数は有限単純群のリストに示されています。交代群と対称群の被覆群は、最近大きな関心を集めています。

シュアが乗数を研究する元々の動機は、群の射影表現を分類することであり、彼の定義の現代的な定式化は第二コホモロジー群である。射影表現は 群表現とよく似ているが、一般線型群への準同型ではなく、射影一般線型群への準同型をとる点が異なる。言い換えれば、射影表現は中心を法とする表現である。 ${\displaystyle H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times })}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \operatorname {PGL} (n,\mathbb {C} )}$

シューア (1904, 1907) は、すべての有限群Gにはシューア被覆と呼ばれる少なくとも 1 つの有限群Cが関連していることを示しました。シューア被覆は、 Gのすべての射影表現をCの通常の表現に持ち上げることができるという性質があります。シューア被覆は被覆群またはDarstellungsgruppeとも呼ばれます。有限単純群のシューア被覆は知られており、それぞれが準単純群の例です。完全群のシューア被覆は同型性まで一意に決定されますが、一般の有限群のシューア被覆は等傾斜性までしか決定されません。

このような被覆群の研究は、自然に中心延長部と幹延長部の研究につながりました。

群Gの中心拡大は拡大である

${\displaystyle 1\to K\to C\to G\to 1}$

ここで はCの中心の部分群です。 ${\displaystyle K\leq Z(C)}$

グループGの語幹拡張は拡張である

${\displaystyle 1\to K\to C\to G\to 1}$

ここで、はCの中心とCの導来部分群の交差の部分群である。これは中心よりも制限が厳しい。^[1]${\displaystyle K\leq Z(C)\cap C'}$

群Gが有限で、幹拡大のみを考慮する場合、そのような群Cには最大サイズがあり、そのサイズの任意のCに対して、部分群K はGのシューア乗数に同型です。有限群Gがさらに完全である場合、C は同型を除いて一意であり、それ自体が完全です。このようなC は、 Gの普遍完全中心拡大、または被覆群（位相幾何学における普遍被覆空間の離散類似体であるため）と呼ばれることがよくあります。有限群Gが完全でない場合、そのシューア被覆群（最大位数のそのようなすべてのC ）は、等傾斜のみになります。

これはより簡潔に普遍中心拡大とも呼ばれますが、 Gとアーベル群の直積が任意のサイズの Gの中心拡大を形成するため、最大中心拡大は存在しないことに注意してください。

幹拡張には、 Gの生成集合の任意のリフトがCの生成集合であるという優れた特性があります。グループGが、生成子の集合上の自由グループFと、生成子上の関係の集合によって生成された正規部分群Rによって表され、 となる場合、被覆グループ自体は、より小さな正規部分群Sを伴うFによって表すことができます。つまり、 です。Gの関係は、 Cの一部として考えた場合のKの要素を指定するため、 である必要があります。 ${\displaystyle G\cong F/R}$${\displaystyle C\cong F/S}$${\displaystyle S\leq [F,R]}$

実際、Gが完全であれば、必要なのはこれだけです: C ≅ [ F , F ]/[ F , R ] かつ M( G ) ≅ K ≅ R /[ F , R ]。この単純さのため、(Aschbacher 2000, §33) などの説明では、まず完全ケースを扱います。Schur 乗数の一般的なケースも同様ですが、Fの導来部分群に制限することで、拡張が幹拡張であることを保証します: M( G ) ≅ ( R ∩ [ F , F ])/[ F , R ]。これらはすべて、Schur による少し後の結果であり、Schur は、これらをより明示的に計算するための有用な基準もいくつか示しました。

組合せ群論では、グループはしばしば表示から生じる。この数学の分野における重要なテーマの 1 つは、バウムスラッグ-ソリター群のような 1 つの関係子を持つグループなど、関係ができるだけ少ない表示を研究することである。これらのグループは、2 つの生成元と 1 つの関係を持つ無限グループであり、シュライアーの古い結果では、関係よりも生成元が多い表示では、結果として得られるグループは無限になることが示されている。したがって、境界ケースは非常に興味深い。関係と同じ数の生成元を持つ有限グループは、欠乏ゼロを持つと言われる。グループが欠乏ゼロを持つためには、グループが自明なシューア乗数を持つ必要がある。なぜなら、シューア乗数の最小生成元数は、常に関係の数と生成元の数の差以下であり、これが負の欠乏であるからである。効率的なグループとは、シューア乗数がこの数の生成元を必要とするグループである。^[2]

ごく最近の研究テーマは、自明なシュアー乗数を持つすべての有限単純群の効率的な表現を見つけることです。このような表現は、通常は短いため、ある意味では便利ですが、剰余類列挙などの標準的な方法には適していないため、見つけるのが難しく、扱いにくいという問題があります。

位相幾何学では、群は有限に提示された群として記述されることが多く、基本的な問題はそれらの積分ホモロジーを計算することです。特に、2 番目のホモロジーは特別な役割を果たしており、これによりハインツ ホップはそれを計算するための効果的な方法を見つけました。(Hopf 1942) の方法はホップの積分ホモロジー公式としても知られ、有限群のシューア乗数に対するシューアの公式と同一です。 ${\displaystyle H_{n}(G,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle H_{2}(G,\mathbb {Z} )\cong (R\cap [F,F])/[F,R]}$

ここで、Fは自由群である。Gが完全群の場合も同じ式が成り立つ。 ^[3]${\displaystyle G\cong F/R}$

これらの式が同じであるという認識から、サミュエル・アイレンバーグとサンダース・マクレーンは群のコホモロジーを創り出した。一般に、

${\displaystyle H_{2}(G,\mathbb {Z} )\cong {\bigl (}H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times }){\bigr )}^{*}}$

ここで星印は代数的双対群を表す。さらにGが有限のとき、不自然な同型 が存在する。

${\displaystyle {\bigl (}H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times }){\bigr )}^{*}\cong H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times }).}$

ホップの公式は、高次元に一般化されています。 1 つのアプローチと参考文献については、以下に示す Everaert、Gran、Van der Linden の論文を参照してください。 ${\displaystyle H_{2}(G)}$

完全群とは、最初の整数ホモロジーが消える群です。超完全群とは、最初の 2 つの整数ホモロジー群が消える群です。有限完全群のシューア被覆は超完全です。非巡回群とは、すべての既約整数ホモロジーが消える群です。

可換環Rの第二代数 K 群K ₂ ( R ) は、 R を要素とする（無限）基本行列の群E ( R ) の第二ホモロジー群H ₂ ( E ( R ), Z )と同一視できる。 [ ^4]

• 準単純群

Clair Miller の参考文献では、Schur 乗数を、交換子写像によって誘導される射 κ: G ∧ G → G の核として捉える別の見方が示されています。