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リーマン面理論および双曲幾何学において、アドルフ・フルヴィッツにちなんで名付けられたフルヴィッツ面は、 84( g - 1)個の自己同型写像を持つコンパクトなリーマン面である。ここでgは面の種数である。この数は、自己同型写像に関するフルヴィッツの定理（フルヴィッツ 1893 ）により最大となる。これらは、複素代数曲線（複素次元1＝実次元2）として解釈される場合、フルヴィッツ曲線とも呼ばれる。
フルヴィッツ曲面のフックス群は、（通常の）（2,3,7）三角形群の有限指数ねじれのない正規部分群である。有限商群は、まさに自己同型群である。
複素代数曲線の自己同型は、基礎となる実曲面の向きを保存する自己同型です。向きを反転する等長変換を許容すると、168( g - 1)の 2 倍の大きさの群が得られ、これは時に興味をそそることがあります。
用語に関する注記 – この文脈および他の文脈において、「(2,3,7) 三角形群」とは、多くの場合、完全な三角形群 Δ(2,3,7) (シュワルツ三角形(2,3,7)を持つコクセター群、または双曲反射群としての実現) ではなく、向きを保存する写像 (回転群) の通常の三角形群 (フォン・ダイク群) D (2,3,7) を指し、これは指数 2 です。複素自己同型群は通常の(向きを保存する) 三角形群の商であり、(向きを反転する可能性のある) 等長変換群は完全な三角形群の商です。
各種数には有限個のフルヴィッツ曲面しか存在しない。種数をその種数を持つフルヴィッツ曲面の数にマッピングすると、その値のほとんどはゼロであるにもかかわらず、その数は無限大になります。
収束する近似的に言えば、th フルヴィッツ曲面は少なくとも の 3 次関数として成長する（ラーセン 2001 ）。
最小種数のフルヴィッツ曲面は、種数 3 のクライン四次曲面であり、自己同型群は射影特殊線形群PSL(2,7)で、位数は 84(3 − 1) = 168 = 2 3 ·3·7 であり、これは単純群です(向き反転等長変換を許容する場合は位数 336 になります)。次に可能な種数は 7 で、これは自己同型群 PSL(2,8) を持つマクベス曲面が持ち、位数は 84(7 − 1) = 504 = 2 3 ·3 2 ·7 の単純群です。向き反転等長変換を含めると、この群の位数は 1,008 になります。
次の可能な種数、すなわち 14 では興味深い現象が起こります。ここでは、同一の自己同型群 (位数 84(14 − 1) = 1092 = 2 2 ·3·7·13) を持つ異なるリーマン面の三つ組が存在します。この現象の説明は算術的です。つまり、適切な数体の整数環では、有理素数 13 は 3 つの異なる素イデアルの積として分解されます。素数の三つ組によって定義される主合同部分群は、最初のフルヴィッツ三つ組に対応するフックス群を生成します。
フルヴィッツ曲面の種数の許容値のシーケンスは、
