一致サブグループ

もし${\displaystyle n\geqslant 1}$は整数であり、準同型が存在する。${\displaystyle \pi _{n}:\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\to \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$減少モジュロによって誘発される${\displaystyle n}$射影⁠${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$⁠。レベルの主一致部分群${\displaystyle n}$で${\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$はの核です${\displaystyle \pi _{n}}$⁠、そして通常は⁠ と表記されます${\displaystyle \Gamma (n)}$⁠。具体的には、以下のように説明されています。

${\displaystyle \Gamma (n)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ):a,d\equiv 1{\pmod {n}},\quad b,c\equiv 0{\pmod {n}}\right\}}$

この定義は直ちに次のことを意味する。${\displaystyle \Gamma (n)}$は有限指数の正規部分群である${\displaystyle \Gamma }$⁠。強近似定理（この場合は中国剰余定理の容易な帰結）は、次のことを意味する。${\displaystyle \pi _{n}}$は全射であるため、商は${\displaystyle \Gamma /\Gamma (n)}$はと同型である${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$この有限群の位数を計算すると、指数の式は次のようになります。

${\displaystyle [\Gamma$ :\Gamma (n)]=n^{3}\cdot \prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)}

ここで、積は、を割り切るすべての素数について取られる。${\displaystyle n}$⁠ .

もし${\displaystyle n\geqslant 3}$すると制限${\displaystyle \pi _{n}}$任意の有限部分群に対して${\displaystyle \Gamma }$これは単射である。これは以下の結果を意味する。

もし${\displaystyle n\geqslant 3}$次に、主要な一致サブグループ${\displaystyle \Gamma (n)}$ねじれがない。

グループ${\displaystyle \Gamma (2)}$含む${\displaystyle -\operatorname {Id} }$そしてねじれがないわけではない。一方、そのイメージは${\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )}$はねじれがなく、双曲平面をこの部分群で割った商空間は、3つの尖点を持つ球面である。

サブグループ${\displaystyle H}$で${\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$が存在する場合、それは合同部分群 と呼ばれる。${\displaystyle n\geqslant 1}$そのため${\displaystyle H}$主合同部分群を含む${\displaystyle \Gamma (n)}$レベル​​${\displaystyle l}$の${\displaystyle H}$は、そのような最小のものです。${\displaystyle n}$⁠ .

この定義から、次のことが導かれる。

• 合同部分群は有限指数である${\displaystyle \Gamma }$⁠ ;
• レベルの合同部分群${\displaystyle \ell }$は、 のサブグループと1対1で対応しています。${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} /\ell \mathbb {Z} )}$⁠ .

サブグループ⁠${\displaystyle \Gamma _{0}(n)}$⁠、時にはレベル ⁠ のヘッケ合同部分群と呼ばれることもあります。${\displaystyle n}$⁠ は、 の逆像として定義される。${\displaystyle \pi _{n}}$上三角行列群の。つまり、

${\displaystyle \Gamma _{0}(n)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma :c\equiv 0{\pmod {n}}\right\}.}$

指数は次の式で与えられます。

${\displaystyle [\Gamma$ :\Gamma _{0}(n)]=n\cdot \prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)}

ここで、積は、を割り切るすべての素数について取られる。${\displaystyle n}$⁠ . もし${\displaystyle p}$素数ならば${\displaystyle \Gamma /\Gamma _{0}(p)}$有限体上の射影直線と自然な全単射関係にある。${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$⁠、そして（左または右）剰余類の明示的な代表${\displaystyle \Gamma _{0}(p)}$で${\displaystyle \Gamma }$以下の行列です。

${\displaystyle \operatorname {Id} ,{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}},\ldots ,{\begin{pmatrix}1&0\\p-1&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$

サブグループ${\displaystyle \Gamma _{0}(n)}$それらは常にマトリックスを含んでいるため、決してねじれのない状態にはならない。${\displaystyle -I}$⁠。無限にたくさんあります${\displaystyle n}$そのため、${\displaystyle \Gamma _{0}(n)}$で${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ねじり要素も含まれています。

サブグループ${\displaystyle \Gamma _{1}(n)}$は、単冪行列の部分群の逆像である。

${\displaystyle \Gamma _{1}(n)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma :a,d\equiv 1{\pmod {n}},c\equiv 0{\pmod {n}}\right\}.}$

それらの指数は次の式で与えられます。

${\displaystyle [\Gamma$ :\Gamma _{1}(n)]=n^{2}\cdot \prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)}

シータサブグループ${\displaystyle \Lambda }$は合同部分群である${\displaystyle \Gamma }$によって生成される位数2の巡回群の逆像として定義される${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$インデックスは3であり、明示的に次のように記述されます。^{[ 2 ]}

${\displaystyle \Lambda =\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma :ac\equiv 0{\pmod {2}},bd\equiv 0{\pmod {2}}\right\}.}$

これらのサブグループは、以下の包含条件を満たします。${\displaystyle \Gamma (n)\subset \Gamma _{1}(n)\subset \Gamma _{0}(n)}$⁠、また⁠${\displaystyle \Gamma (2)\subset \Lambda }$⁠ .

モジュラー群の合同部分群とそれに対応するリーマン面は、いくつかの特に優れた幾何学的および位相的性質によって区別されます。以下に例を示します。

• モジュラー曲面の種数がゼロの合同被覆は有限個しか存在しない。^{[ 3 ]}
• （セルバーグの3/16定理）もし${\displaystyle f}$は、固有値を持つモジュラー曲面の合同被覆上のラプラス・ベルトラミ作用素の非定数固有関数である。${\displaystyle \lambda }$それから${\displaystyle \lambda \geqslant {\tfrac {3}{16}}}$⁠ .

また、合同被覆上の滑らかな関数には、ヘッケ作用素と呼ばれる特別な作用素の集合があり、これらは互いに、またラプラス・ベルトラミ作用素と可換であり、後者の各固有空間で対角化可能です。これらの共通固有関数は、保型形式の基本的な例です。これらの合同部分群に関連する他の保型形式としては、正則モジュラー形式があり、これはアイヒラー・志村同型写像を介して、関連するリーマン面上のコホモロジー類として解釈できます。

正規化器${\displaystyle \Gamma _{0}(p)^{+}}$の${\displaystyle \Gamma _{0}(p)}$で${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$調査が行われてきました。1970年代のジャン＝ピエール・セール、アンドリュー・オッグ、ジョン・G・トンプソンによる成果の一つは、対応するモジュラー曲線（双曲平面を で割った商をとることによって得られるリーマン面）が であるということです。${\displaystyle \Gamma _{0}(p)^{+}}$⁠ )の種数がゼロである（すなわち、モジュラー曲線がリーマン球面である）のは、以下の条件を満たす場合のみである。${\displaystyle p}$は2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、41、47、59、または 71 です。後にオッグがモンスターのグループについて聞いたとき、これらがの大きさの素因数であることに気付きました。${\displaystyle M}$そこで彼は、この事実を説明できる人にジャックダニエルのウイスキー1本をプレゼントするという論文を書きました。これが、モジュラー関数理論とモンスター群の間の深いつながりを説明する「怪物密造酒理論」の出発点となりました。

算術群の概念は、基本的な例に基づいた広範な一般化である。${\displaystyle \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} )}$一般に、定義を与えるには半単純代数群が必要である。${\displaystyle \mathbf {G} }$定義済み${\displaystyle \mathbb {Q} }$そして忠実な描写${\displaystyle \rho }$⁠、また⁠上で定義される${\displaystyle \mathbb {Q} }$⁠、から${\displaystyle \mathbf {G} }$へ​${\displaystyle \mathrm {GL} _{d}}$⁠ ; すると算術群が${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$任意のグループ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$それは、有限指数部分格子の安定化群において有限指数である。${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$⁠ .

させて${\displaystyle \Gamma }$算術群である: 簡略化のため、次のように仮定するのが良い。${\displaystyle \Gamma \subset \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$⁠。${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$縮小射が存在する${\displaystyle \pi _{n}:\Gamma \to \mathrm {GL} _{d}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$⁠。主合同部分群を定義することができます。${\displaystyle \Gamma }$核となる${\displaystyle \pi _{n}}$（これは表現方法に先験的に依存する可能性がある）${\displaystyle \rho }$⁠ )、および合同部分群${\displaystyle \Gamma }$主合同部分群（表現に依存しない概念）を含む任意の部分群である。これらは有限群の部分群に対応する有限指数部分群である。${\displaystyle \pi _{n}(\Gamma )}$⁠、そしてレベルが定義されます。

主な一致サブグループ${\displaystyle \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} )}$サブグループは${\displaystyle \Gamma (n)}$提供元:

${\displaystyle \Gamma (n)=\left\{(a_{ij})\in \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} ):\forall i\,a_{ii}\equiv 1{\pmod {n}},\,\forall i\neq j\,a_{ij}\equiv 0{\pmod {n}}\right\}}$

合同部分群は、次の部分群に対応する。${\displaystyle \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$。

算術群の別の例として、群が挙げられます。${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(O)}$どこ${\displaystyle O}$は、例えば数体における整数環である。${\displaystyle O=\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]}$⁠。そしてもし${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$有理素数を割り切る素イデアル${\displaystyle p}$サブグループ${\displaystyle \Gamma ({\mathfrak {p}})}$それが削減マップMODの核心です${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$は、 を法とする還元によって定義される主合同部分群を含むため、合同部分群である。${\displaystyle p}$⁠ .

もう一つの算術群は、シーゲルモジュラー群である。${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$⁠、定義：

${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )=\left\{\gamma \in \mathrm {GL} _{2g}(\mathbb {Z} ):\ \gamma ^{\mathrm {T} }{\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}}\gamma ={\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}}\right\}.}$

注意：${\displaystyle g=1}$それから${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2}(\mathbb {Z} )=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$シータサブグループ${\displaystyle \Gamma _{\vartheta }^{(n)}}$の${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$すべての集合です${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}}\right)\in \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$両方とも${\displaystyle AB^{\top }}$そして${\displaystyle CD^{\top }}$対角線が均等である。^{[ 4 ]}

与えられた算術群における合同部分群の族${\displaystyle \Gamma }$常にルボツキー・ツィンマーの性質（τ）を持つ。^{[ 5 ]}これは、彼らのシュライアー剰余類グラフの族のチーガー定数（固定された生成集合に関して）を意味すると考えられる。${\displaystyle \Gamma }$⁠ ) はゼロから一様に離れており、言い換えれば、それらはエクスパンダーグラフの族である。表現論的な解釈もある。${\displaystyle \Gamma }$はリー群の格子である。${\displaystyle G}$⁠すると、性質（ τ ）は、の非自明なユニタリ表現と等価である。${\displaystyle G}$空間で発生する${\displaystyle L^{2}(G/\Gamma )}$自明な表現から境界が離れている（フェル位相において、ユニタリ双対の⁠${\displaystyle G}$（τ）特性は、すべての有限インデックス部分群の族が特性（ τ ）を持つことを意味するカジュダン特性（T）の弱化です。

もし${\displaystyle \mathbf {G} }$は${\displaystyle \mathbb {Q} }$-グループと${\displaystyle S=\{p_{1},\ldots ,p_{r}\}}$は素数の有限集合であり、${\displaystyle S}$-算術部分群${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$は算術部分群として定義されるが、${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p_{1},\ldots ,1/p_{r}])}$代わりに⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$基本的な例は${\displaystyle \operatorname {SL} _{d}(\mathbb {Z} [1/p_{1},\ldots ,1/p_{r}])}$⁠ .

させて${\displaystyle \Gamma _{S}}$になる${\displaystyle S}$代数群における算術群${\displaystyle \mathbf {G} \subset \operatorname {GL} _{d}}$⁠ . もし${\displaystyle n}$は、 のどの素数でも割り切れない整数です。${\displaystyle S}$⁠、するとすべての素数${\displaystyle p_{i}}$は法を法として可逆である${\displaystyle n}$そして、射が存在する。${\displaystyle \pi _{n}:\Gamma _{S}\to \mathrm {GL} _{d}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$したがって、合同部分群を定義することが可能です。${\displaystyle \Gamma _{S}}$⁠、そのレベルは常に のすべての素数と互いに素である⁠${\displaystyle S}$⁠ .

一致サブグループ${\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$これらは有限インデックス部分群です。したがって、これらが のすべての有限インデックス部分群を網羅しているかどうかを問うのは自然なことです。${\displaystyle \Gamma }$答えは断固として「いいえ」です。この事実はフェリックス・クラインにはすでに知られており、合同でない有限指数部分群を示す方法は数多くあります。例えば：

1. 商の合成数列における単純群${\displaystyle \Gamma /\Gamma '}$⁠、そこで${\displaystyle \Gamma '}$は正規合同部分群であり、リー型（または巡回）の単純群でなければならない。実際には、群の1つである。${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {F} _{p})}$プライムのために${\displaystyle p}$しかし、すべての${\displaystyle m}$有限インデックス部分群が存在する${\displaystyle \Gamma '\subset \Gamma }$そのため${\displaystyle \Gamma /\Gamma '}$交代群と同型である${\displaystyle A_{m}}$（例えば${\displaystyle \Gamma (2)}$2 つの生成元を持つ任意の群、特にすべての交代群上の射、およびこれらの射の核は、その一例である。したがって、これらの群は合同でない必要がある。
2. 全射が存在する${\displaystyle \Gamma (2)\to \mathbb {Z} }$⁠ ; のために${\displaystyle m}$十分に大きいカーネル${\displaystyle \Gamma (2)\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$合同でないことが前提となる（これを示す一つの方法は、シュライアーグラフのチーガー定数が0になることである。また、前の項目と同様の考え方に基づく簡単な代数的証明も存在する）。
3. 番号${\displaystyle c_{N}}$一致サブグループの${\displaystyle \Gamma }$インデックスの${\displaystyle N}$満たす​${\displaystyle \log c_{N}=O\left((\log N)^{2}/\log \log N\right)}$一方、その数は${\displaystyle a_{N}}$指数の有限指数部分群の${\displaystyle N}$で${\displaystyle \Gamma }$満たす​${\displaystyle N\log N=O(\log a_{N})}$したがって、有限指数を持つほとんどの部分群は合同ではないはずです。 ^{[ 6 ]}

任意の算術群についても、モジュラー群と同様の質問をすることができる。

素朴な合同部分群問題：算術群が与えられたとき、その有限指数部分群はすべて合同部分群でしょうか？

この問題には肯定的な解決策がある。その起源は、ハイマン・バス、ジャン＝ピエール・セール、ジョン・ミルナー、イェンス・メニッケの研究にあり、彼らは、${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$、 いつ${\displaystyle n\geqslant 3}$すべての有限インデックス部分群${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )}$これらは合同部分群である。Bass – Milnor – Serreによる解法は、K 理論に関連する代数的整数論の一側面を含んでいた。^{[ 7 ]}一方、Serre の研究では、${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}}$数体に関する考察では、単純な質問に対する答えが「いいえ」である場合もあるが、問題を少し緩和すると肯定的な答えが得られることが示されている。^{[ 8 ]}

この新たな問題は、算術群に関連付けられた特定のコンパクト位相群の観点からより適切に表現される。${\displaystyle \Gamma }$⁠。トポロジーが存在します${\displaystyle \Gamma }$自明な部分群の近傍の基底が有限指数の部分群の集合であるような部分群（プロ有限位相）が存在し、また合同部分群のみを用いて同様の方法で定義される別の位相も存在する。プロ有限位相は完備化をもたらす。${\displaystyle {\widehat {\Gamma }}}$の​​${\displaystyle \Gamma }$一方、「合同」トポロジーは別の完全性を生み出す。${\displaystyle {\overline {\Gamma }}}$どちらもプロ有限群であり、自然な全射射が存在する。${\displaystyle {\widehat {\Gamma }}\to {\overline {\Gamma }}}$（直感的には、合同位相ではプロ有限位相よりもコーシー列が満たすべき条件が少ない。） ^{[ 9 ] [ 10 ]}合同核${\displaystyle C(\Gamma )}$は、この射の核であり、上記の合同部分群問題は、${\displaystyle C(\Gamma )}$これは些細なことである。結論の弱化は、次の問題につながる。

合同部分群問題：合同核は${\displaystyle C(\Gamma )}$有限？

問題に肯定的な解決策がある場合、次のように言う。${\displaystyle \Gamma }$は合同部分群の性質を持つ。一般にセールに帰せられる予想によれば、半単純リー群の既約算術格子は${\displaystyle G}$が合同部分群の性質を持つのは、実ランクが${\displaystyle G}$は少なくとも 2 です。たとえば、格子では${\displaystyle \mathrm {SL} _{3}(\mathbb {R} )}$常にその財産を所有すべきである。

セールの予想は、階数1のリー群の格子は合同部分群の性質を持たないはずだと述べている。そのような群には3つの族がある。直交群、${\displaystyle \mathrm {SO} (d,1),d\geqslant 2}$ユニタリ群​${\displaystyle \mathrm {SU} (d,1),d\geqslant 2}$そしてグループ${\displaystyle \mathrm {Sp} (d,1),d\geqslant 2}$（ハミルトン四元数上のセスキリニア形式の等長変換群）と例外群${\displaystyle F_{4}^{-20}}$（単純リー群の一覧を参照）。合同部分群問題の現状は以下のとおりです。

• すべての群に対して負の解が存在することが知られており（予想を裏付ける）、${\displaystyle \mathrm {SO} (d,1)}$と共に​${\displaystyle d\neq 7}$⁠。証明では、2.の場合と同じ議論を使用します。${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$: 一般的には、全射を構成することははるかに困難です。${\displaystyle \mathbb {Z} }$⁠ 、証明はすべてのケースで一律ではなく、トライアリティ現象のため、次元7のいくつかの格子では失敗します。 ^{[ 11 ] [ 12 ]}次元2と3、および高次元のいくつかの格子では、議論1と3も適用されます。
• 多くの格子で知られています${\displaystyle \mathrm {SU} (d,1)}$、ただし全てではない（ここでも議論2の一般化を使用している）。^{[ 13 ]}
• 残りのすべてのケースについては、完全にオープンです。

合同部分群問題が正の解を持つことが期待される多くの状況において、実際にそうであることが証明されています。以下は、関連する算術格子に対して合同部分群の性質が成り立つことが知られている代数群のリストです。関連するリー群のランク（またはより一般的には実数と のランクの和）の場合です。${\displaystyle p}$⁠の場合の -進因子⁠${\displaystyle S}$⁠ -算術群) は少なくとも 2 です: ^{[ 14 ]}

• 非異方性群（これには Bass – Milnor – Serre が扱ったケース、および${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)}$です​${\displaystyle \min(p,q)>1}$（その他多数）
• 型ではない任意のグループ${\displaystyle A_{n}}$（例えば、実数階数のシンプレクティック群または直交群のすべての異方性形式）${\displaystyle \geqslant 2}$⁠ );
• エルミート形式のユニタリー群。

内外型のケース${\displaystyle A_{n}}$まだ未解決です。型の内部形式の場合の代数群${\displaystyle A_{n}}$これらは中心単純除法代数の単位群に関連付けられています。例えば、合同部分群の性質は格子では知られていません。${\displaystyle \mathrm {SL} _{3}(\mathbb {R} )}$または${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$コンパクト商を持つ。^{[ 15 ]}