マッケイグラフ

数学において、有限群Gの有限次元表現Vのマッケイグラフは、 Gの表現論の構造を符号化した重み付き箙である。各ノードはGの既約表現を表す。χ i 、χ j が G の既約表現である場合、_χ i_からχ jへ_の矢印_が存在するのは、χ _jがテンソル積の構成要素である場合に限る。${\displaystyle V\otimes \chi _{i}.}$すると矢印の重みn _ijは、この構成要素が出現する回数です。${\displaystyle V\otimes \chi _{i}.}$の有限部分群Hに対して${\displaystyle {\text{GL}}(2,\mathbb {C} ),}$Hの McKay グラフは、 Hの定義 2 次元表現の McKay グラフです。

Gがn 個の既約指標を持つ場合、次元dの表現Vのカルタン行列c _Vは次のように定義される。${\displaystyle c_{V}=(d\delta _{ij}-n_{ij})_{ij},}$ここでδはクロネッカーのデルタです。ロバート・スタインバーグの結果によると、gがGの共役類の代表である場合、ベクトルは${\displaystyle ((\chi _{i}(g))_{i}}$c _Vの固有ベクトルは、固有値に対応します。${\displaystyle d-\chi _{V}(g),}$ここで、χ _Vは表現Vの指標である。^{[ 1 ]}

ジョン・マッケイにちなんで名付けられたマッケイ対応は、有限部分群のマッケイグラフ間に1対1の対応関係が存在することを述べている。${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$⁠そして、単純リー代数のADE分類に現れる拡張ディンキン図。 ^{[ 2 ]}

Gを有限群、VをGの表現、χをその指標とする。${\displaystyle \{\chi _{1},\ldots ,\chi _{d}\}}$Gの既約表現とする。

${\displaystyle V\otimes \chi _{i}=\sum \nolimits _{j}n_{ij}\chi _{j},}$

次に、 Vに関するGのMcKay グラフΓ _{G を}次のように定義します。

• Gの各既約表現は、Γ _Gのノードに対応します。
• n _ij > 0の場合、 χ _iからχ _jへの重みn _ijの矢印が存在し、次のように表記されます。${\displaystyle \chi _{i}\xrightarrow {n_{ij}} \chi _{j},}$または、ラベルのない矢印n _{ijとして表される場合もあります。}
• もし${\displaystyle n_{ij}=n_{ji},}$χ _i、χ _jの間の反対方向の2つの矢印を、重みn _ijの無向エッジとします。さらに、${\displaystyle n_{ij}=1,}$重量表示は省略します。

内積を用いてn _ijの値を計算できます。${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$キャラクターについて：

${\displaystyle n_{ij}=\langle V\otimes \chi _{i},\chi _{j}\rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}V(g)\chi _{i}(g){\overline {\chi _{j}(g)}}。$

有限部分群のマッケイグラフ${\displaystyle {\text{GL}}(2,\mathbb {C} )}$は、その標準表現のマッケイグラフとして定義されます。

の有限部分群の場合${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),}$⁠の正準表現⁠${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$は自己双対であるため、${\displaystyle n_{ij}=n_{ji}}$すべてのi, jに対して。したがって、 の有限部分群の McKay グラフは⁠${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$⁠は方向性を持たない。

実際、マッケイ対応により、 の有限部分群の間には一対一の対応関係が存在する。${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$⁠そして、ADE型の拡張コクセター・ディンキン図。

Vのカルタン行列c _Vを次のように定義します。

${\displaystyle c_{V}=(d\delta _{ij}-n_{ij})_{ij},}$

ここで、δ _ijはクロネッカーのデルタです。

• 表現Vが忠実であれば、すべての既約表現は何らかのテンソル冪に含まれる。${\displaystyle V^{\otimes k},}$そして、 Vのマッケイグラフは連結している。
• 有限部分群のマッケイグラフ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$自己ループはありません。つまり、${\displaystyle n_{ii}=0}$すべてのiについて。
• 有限部分群のマッケイグラフの矢印${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$すべて重量1です。

• G = A × Bとし、A、 Bの正準既約表現c _A、 c _Bが存在するとする。χ i _、 i = 1, …, k 、 がAの既約表現であり、ψ _j、j = 1, …, ℓ 、 がBの既約表現である場合、

${\displaystyle \chi _{i}\times \psi _{j}\quad 1\leq i\leq k,\,\,1\leq j\leq \ell }$

はA × Bの既約表現であり、${\displaystyle \chi _{i}\times \psi _{j}(a,b)=\chi _{i}(a)\psi _{j}(b),(a,b)\in A\times B.}$この場合、

${\displaystyle \langle (c_{A}\times c_{B})\otimes (\chi _{i}\times \psi _{\ell }),\chi _{n}\times \psi _{p}\rangle =\langle c_{A}\otimes \chi _{k},\chi _{n}\rangle \cdot \langle c_{B}\otimes \psi _{\ell },\psi _{p}\rangle .}$

したがって、 Gのマッケイグラフには矢印があります。${\displaystyle \chi _{i}\times \psi _{j}}$そして${\displaystyle \chi _{k}\times \psi _{\ell }}$Aの McKay グラフにχ _iと χ _kの間に矢印があり、かつBの McKay グラフにψ _jと ψ _ℓの間に矢印がある場合に限り、 Gの McKay グラフの矢印の重みは、AとBの McKay グラフの対応する 2 つの矢印の重みの積になります。

• フェリックス・クラインは、 の有限部分群が であることを証明した。${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$は二元多面体群であり、すべて の部分群と共役である。${\displaystyle {\text{SU}}(2,\mathbb {C} ).}$マッケイ対応とは、これらの二元多面体群のマッケイグラフと拡張ディンキン図の間に一対一の対応関係があることを述べている。例えば、二元四面体群${\displaystyle {\overline {T}}}$によって生成されます⁠${\displaystyle {\text{SU}}(2,\mathbb {C} )}$行列:

${\displaystyle S=\left({\begin{array}{cc}i&0\\0&-i\end{array}}\right),\ \ V=\left({\begin{array}{cc}0&i\\i&0\end{array}}\right),\ \ U={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{array}{cc}\varepsilon &\varepsilon ^{3}\\\varepsilon &\varepsilon ^{7}\end{array}}\right),}$

ここで、εは1の8乗根である。実際、次のようになる。

${\displaystyle {\overline {T}}=\{U^{k},SU^{k},VU^{k},SVU^{k}\mid k=0,\ldots ,5\}.}$

の共役類${\displaystyle {\overline {T}}}$は：

${\displaystyle C_{1}=\{U^{0}=I\},}$

${\displaystyle C_{2}=\{U^{3}=-I\},}$

${\displaystyle C_{3}=\{\pm S,\pm V,\pm SV\},}$

${\displaystyle C_{4}=\{U^{2},SU^{2},VU^{2},SVU^{2}\},}$

${\displaystyle C_{5}=\{-U,SU,VU,SVU\},}$

${\displaystyle C_{6}=\{-U^{2},-SU^{2},-VU^{2},-SVU^{2}\},}$

${\displaystyle C_{7}=\{U,-SU,-VU,-SVU\}.}$

文字表​${\displaystyle {\overline {T}}}$は

ここ${\displaystyle \omega =e^{2\pi i/3}.}$正準表現Vは、ここではcで表されます。内積を用いると、次の McKay グラフが得られます。 ${\displaystyle {\overline {T}}}$は、拡張されたコクセター・ディンキン図のタイプである。${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}.}$

• ADE分類
• 二元四面体群

• ハンフリーズ、ジェームズ E. (1972)、リー代数と表現論入門、ビルクハウザー、ISBN 978-0-387-90053-7
• ジェームズ、ゴードン、リーベック、マーティン（2001）、『集団の表象と特性（第2版）』、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-00392-X
• クライン、フェリックス(1884)、「Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade」、トイブナー、ライプニッツ
• McKay, John (1980)、「グラフ、特異点、有限群」、純粋数学シンポジウム論文集、純粋数学シンポジウム論文集、第 37巻、アメリカ数学会、183–186ページ、 doi : 10.1090 /pspum/037/604577、ISBN  9780821814406
• リーメンシュナイダー、オズワルド（2005）、「商曲面特異点に対するマッケイ対応」、幾何学とトポロジーにおける特異点、トリエステ特異点サマースクールおよびワークショップ議事録、483～ 519ページ