古典的な群は、有限次元ベクトル空間上の非退化形式の自己同型群として最も自然に記述される。 [ 14 ] [ 15 ]
させてV {\displaystyle V} ベクトル空間である R {\displaystyle \mathbb {R} } C {\displaystyle \mathbb {C} } 線形 形式V {\displaystyle V}
φ : V × V → F {\displaystyle \varphi \colon V\times V\to F} それは各変数に関して線形です。複素ベクトル空間上の半双線形形式 は写像です。
φ : V × V → C {\displaystyle \varphi \colon V\times V\to \mathbb {C} } これは、最初の変数に関して共役線形であり、2番目の変数に関して線形である。[ 16 ]
四元数ベクトル空間の場合、通常は右辺で作業します H {\displaystyle \mathbb {H} } [ 17 ]
もしφ {\displaystyle \varphi } V {\displaystyle V}
オート （ φ ） = { g ∈ GL （ V ） ∣ φ （ g v 、 g w ） = φ （ v 、 w ） すべての人々のために v 、 w ∈ V } 。 {\displaystyle \operatorname {Aut} (\varphi )=\{g\in \operatorname {GL} (V)\mid \varphi (gv,gw)=\varphi (v,w){\text{ for all }}v,w\in V\}.} 基準を選択した後、φ {\displaystyle \varphi } Φ {\displaystyle \Phi } オート （ φ ） {\displaystyle \operatorname {Aut} (\varphi )}
g T Φ g = Φ 、 g * Φ g = Φ 、 {\displaystyle g^{\mathrm {T} }\Phi g=\Phi ,\qquad g^{*}\Phi g=\Phi ,} に応じてφ {\displaystyle \varphi } [ 18 ]
リー代数オート （ φ ） {\displaystyle \operatorname {Aut} (\varphi )}
1 u t （ φ ） = { X ∈ 終わり （ V ） ∣ φ （ X v 、 w ） + φ （ v 、 X w ） = 0 すべての人々のために v 、 w ∈ V } 、 {\displaystyle {\mathfrak {aut}}(\varphi )=\{X\in \operatorname {End} (V)\mid \varphi (Xv,w)+\varphi (v,Xw)=0{\text{ for all }}v,w\in V\},} または、行列形式では、
X T Φ + Φ X = 0 、 X * Φ + Φ X = 0. {\displaystyle X^{\mathrm {T} }\Phi +\Phi X=0,\qquad X^{*}\Phi +\Phi X=0.} [ 19 ]
双線形形式φ {\displaystyle \varphi }
対称の 場合φ （ v 、 w ） = φ （ w 、 v ） {\displaystyle \varphi (v,w)=\varphi (w,v)} 交互 （または歪対称）チャー F ≠ 2 {\displaystyle \operatorname {char} F\neq 2} φ （ v 、 v ） = 0 {\displaystyle \varphi (v,v)=0} v {\displaystyle v} φ （ v 、 w ） = − φ （ w 、 v ） {\displaystyle \varphi (v,w)=-\varphi (w,v)} 20 ] 両線形の形状h {\displaystyle h}
エルミート h （ v 、 w ） = h （ w 、 v ） ¯ {\displaystyle h(v,w)={\overline {h(w,v)}}} 歪エルミート の場合h （ v 、 w ） = − h （ w 、 v ） ¯ {\displaystyle h(v,w)=-{\overline {h(w,v)}}} 21 ] 以上R {\displaystyle \mathbb {R} } （ p 、 q ） {\displaystyle (p,q)} C {\displaystyle \mathbb {C} } R {\displaystyle \mathbb {R} } C {\displaystyle \mathbb {C} } [ 22 ]
複素ベクトル空間では、歪エルミート形式に私 {\displaystyle i} [ 23 ] [ 24 ]
直交群 させてφ {\displaystyle \varphi }
以上R {\displaystyle \mathbb {R} }
φ （ x 、 y ） = x T 私 p 、 q y 、 私 p 、 q = 診断 （ 私 p 、 − 私 q ） 、 {\displaystyle \varphi (x,y)=x^{\mathrm {T} }I_{p,q}y,\qquad I_{p,q}=\operatorname {diag} (I_{p},-I_{q}),} どこp + q = n {\displaystyle p+q=n} 不定直交群である。
O （ p 、 q ） = { g ∈ G L n （ R ） ∣ g T 私 p 、 q g = 私 p 、 q } 。 {\displaystyle \mathrm {O} (p,q)=\{g\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )\mid g^{\mathrm {T} }I_{p,q}g=I_{p,q}\}.} 決定要因のサブグループ1 {\displaystyle 1} は特別な直交群 です
S O （ p 、 q ） = O （ p 、 q ） ∩ S L n （ R ） 。 {\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)=\mathrm {O} (p,q)\cap \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} ).} [ 25 ] いつq = 0 {\displaystyle q=0} O （ n ） {\displaystyle \mathrm {O} (n)} 1 {\displaystyle 1} S O （ n ） {\displaystyle \mathrm {SO} (n)} 26 ]
以上C {\displaystyle \mathbb {C} }
φ （ x 、 y ） = x T y 。 {\displaystyle \varphi (x,y)=x^{\mathrm {T} }y.} その自己同型群は複素直交群である。
O （ n 、 C ） = { g ∈ G L n （ C ） ∣ g T g = 私 n } 、 {\displaystyle \mathrm {O} (n,\mathbb {C} )=\{g\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )\mid g^{\mathrm {T} }g=I_{n}\},} 行列式付き-1 {\displaystyle 1} S O （ n 、 C ） {\displaystyle \mathrm {SO} (n,\mathbb {C} )} 27 ]
対応するリー代数は次のとおりです。
o （ p 、 q ） = { X ∈ M n （ R ） ∣ X T 私 p 、 q + 私 p 、 q X = 0 } 、 {\displaystyle {\mathfrak {o}}(p,q)=\{X\in M_{n}(\mathbb {R} )\mid X^{\mathrm {T} }I_{p,q}+I_{p,q}X=0\},} o （ n 、 C ） = s o （ n 、 C ） = { X ∈ M n （ C ） ∣ X T + X = 0 } 。 {\displaystyle {\mathfrak {o}}(n,\mathbb {C} )={\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )=\{X\in M_{n}(\mathbb {C} )\mid X^{\mathrm {T} }+X=0\}.} [ 28 ] もし
g = （ A B C D ） {\displaystyle g={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}} ブロックサイズ付きp × p {\displaystyle p\times p} p × q {\displaystyle p\times q} q × p {\displaystyle q\times p} q × q {\displaystyle q\times q} O （ p 、 q ） {\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}
A T A − C T C = 私 p 、 D T D − B T B = 私 q 、 A T B = C T D 。 {\displaystyle A^{\mathrm {T} }A-C^{\mathrm {T} }C=I_{p},\qquad D^{\mathrm {T} }D-B^{\mathrm {T} }B=I_{q},\qquad A^{\mathrm {T} }B=C^{\mathrm {T} }D.} 書き込み
X = （ P Q R S ） 、 {\displaystyle X={\begin{pmatrix}P&Q\\R&S\end{pmatrix}},} ブロック形式が得られる
o （ p 、 q ） = { （ P Q Q T S ） | P T = − P 、 S T = − S } 。 {\displaystyle {\mathfrak {o}}(p,q)=\left\{{\begin{pmatrix}P&Q\\Q^{\mathrm {T} }&S\end{pmatrix}}\;|\;P^{\mathrm {T} }=-P,\ S^{\mathrm {T} }=-S\right\}.} したがってs o （ n 、 C ） {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )} n × n {\displaystyle n\times n}
単一群 させてh {\displaystyle h} V {\displaystyle V} n {\displaystyle n}
h （ z 、 w ） = z * 私 p 、 q w 、 私 p 、 q = 診断 （ 私 p 、 − 私 q ） 、 {\displaystyle h(z,w)=z^{*}I_{p,q}w,\qquad I_{p,q}=\operatorname {diag} (I_{p},-I_{q}),} どこp + q = n {\displaystyle p+q=n} 31 ]
その自己同型群はユニタリ群である
U （ p 、 q ） = { g ∈ G L n （ C ） ∣ g * 私 p 、 q g = 私 p 、 q } 。 {\displaystyle \mathrm {U} (p,q)=\{g\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )\mid g^{*}I_{p,q}g=I_{p,q}\}.} 決定要因のサブグループ1 {\displaystyle 1} な単一群
S U （ p 、 q ） = U （ p 、 q ） ∩ S L n （ C ） 。 {\displaystyle \mathrm {SU} (p,q)=\mathrm {U} (p,q)\cap \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {C} ).} [ 32 ] いつq = 0 {\displaystyle q=0} U （ n ） {\displaystyle \mathrm {U} (n)} 1 {\displaystyle 1} S U （ n ） {\displaystyle \mathrm {SU} (n)} 33 ]
そのリー代数は
u （ p 、 q ） = { X ∈ M n （ C ） ∣ X * 私 p 、 q + 私 p 、 q X = 0 } 。 {\displaystyle {\mathfrak {u}}(p,q)=\{X\in M_{n}(\mathbb {C} )\mid X^{*}I_{p,q}+I_{p,q}X=0\}.} [ 34 ] もし
g = （ A B C D ） 、 {\displaystyle g={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}},} すると定義関係は以下と同等になる
A * A − C * C = 私 p 、 D * D − B * B = 私 q 、 A * B = C * D 。 {\displaystyle A^{*}A-C^{*}C=I_{p},\qquad D^{*}D-B^{*}B=I_{q},\qquad A^{*}B=C^{*}D.} ブロック形式で、
u （ p 、 q ） = { （ P Q Q * R ） | P * = − P 、 R * = − R } 。 {\displaystyle {\mathfrak {u}}(p,q)=\left\{{\begin{pmatrix}P&Q\\Q^{*}&R\end{pmatrix}}\;|\;P^{*}=-P,\ R^{*}=-R\right\}.} 特殊ユニタリリー代数はトレースレス部分代数である
s u （ p 、 q ） = { X ∈ u （ p 、 q ） ∣ tr （ X ） = 0 } 。 {\displaystyle {\mathfrak {su}}(p,q)=\{X\in {\mathfrak {u}}(p,q)\mid \operatorname {tr} (X)=0\}.}
四元基 四元数古典群の場合、識別するのが便利である
H = C ⊕ j C {\displaystyle \mathbb {H} =\mathbb {C} \oplus j\mathbb {C} } そして四元数を表すα + j β {\displaystyle \alpha +j\beta }
（ α − β ¯ β α ¯ ） 。 {\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\[2pt]\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}.} これは埋め込みにも適用されます
M n （ H ） ↪ M 2 n （ C ） 、 X + j Y ↦ （ X − Y ¯ Y X ¯ ） 。 {\displaystyle M_{n}(\mathbb {H} )\hookrightarrow M_{2n}(\mathbb {C} ),\qquad X+jY\mapsto {\begin{pmatrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{pmatrix}}.} [ 35 ]
n , H ) および SL( n , H )グループG L （ n 、 H ） {\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )} H n {\displaystyle \mathbb {H} ^{n}} G L （ 2 n 、 C ） {\displaystyle \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )}
（ A − B ¯ B A ¯ ） 、 A 、 B ∈ M n （ C ） 。 {\displaystyle {\begin{pmatrix}A&-{\overline {B}}\\B&{\overline {A}}\end{pmatrix}},\qquad A,B\in M_{n}(\mathbb {C} ).} [ 36 ] したがって、そのリー代数は
g l （ n 、 H ） = { （ A − B ¯ B A ¯ ） | A 、 B ∈ M n （ C ） } 。 {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {H} )=\left\{{\begin{pmatrix}A&-{\overline {B}}\\B&{\overline {A}}\end{pmatrix}}\;|\;A,B\in M_{n}(\mathbb {C} )\right\}.} 対応する実形式S L （ 2 n 、 C ） {\displaystyle \mathrm {SL} (2n,\mathbb {C} )} S U * （ 2 n ） {\displaystyle \mathrm {SU} ^{*}(2n)} S L （ n 、 H ） {\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {H} )} G L （ n 、 H ） {\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )} 縮小ノルム 1の要素の。 [ 37 ]
そのリー代数は
s l （ n 、 H ） ≅ s u * （ 2 n ） = { （ A − B ¯ B A ¯ ） | 再 tr （ A ） = 0 } 。 {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {H} )\cong {\mathfrak {su}}^{*}(2n)=\left\{{\begin{pmatrix}A&-{\overline {B}}\\B&{\overline {A}}\end{pmatrix}}\;|\;\operatorname {Re} \operatorname {tr} (A)=0\right\}.}
p , q )させてV = H p + q {\displaystyle V=\mathbb {H} ^{p+q}}
B （ w 、 z ） = w * 私 p 、 q z 、 私 p 、 q = 診断 （ 私 p 、 − 私 q ） 、 {\displaystyle B(w,z)=w^{*}I_{p,q}z,\qquad I_{p,q}=\operatorname {diag} (I_{p},-I_{q}),} は非退化四元数エルミート形式である。その等長変換群は四元数ユニタリ群である。
S p （ p 、 q ） = { g ∈ G L （ p + q 、 H ） ∣ g * 私 p 、 q g = 私 p 、 q } 。 {\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)=\{g\in \mathrm {GL} (p+q,\mathbb {H} )\mid g^{*}I_{p,q}g=I_{p,q}\}.} [ 38 ] いつq = 0 {\displaystyle q=0} S p （ n ） {\displaystyle \mathrm {Sp} (n)} 39 ]
サブグループとして見なされるG L （ 2 n 、 C ） {\displaystyle \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )} S p （ p 、 q ） {\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)} （ 2 p 、 2 q ） {\displaystyle (2p,2q)} [ 40 ]
s p （ p 、 q ） = { X ∈ M p + q （ H ） ∣ X * 私 p 、 q + 私 p 、 q X = 0 } 。 {\displaystyle {\mathfrak {sp}}(p,q)=\{X\in M_{p+q}(\mathbb {H} )\mid X^{*}I_{p,q}+I_{p,q}X=0\}.} [ 41 ] もし
g = （ A B C D ） {\displaystyle g={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}} 四元数ブロックの場合、定義関係は以下と同等である。
A * A − C * C = 私 p 、 D * D − B * B = 私 q 、 A * B = C * D 。 {\displaystyle A^{*}A-C^{*}C=I_{p},\qquad D^{*}D-B^{*}B=I_{q},\qquad A^{*}B=C^{*}D.} ブロック形式で、
s p （ p 、 q ） = { （ P Q Q * R ） | P * = − P 、 R * = − R } 。 {\displaystyle {\mathfrak {sp}}(p,q)=\left\{{\begin{pmatrix}P&Q\\Q^{*}&R\end{pmatrix}}\;|\;P^{*}=-P,\ R^{*}=-R\right\}.}
* (2n)させてV = H n {\displaystyle V=\mathbb {H} ^{n}}
C （ x 、 y ） = x * j y 。 {\displaystyle C(x,y)=x^{*}jy.} その等長変換群は実リー群である。
S O * （ 2 n ） 、 {\displaystyle \mathrm {SO} ^{*}(2n),} これは実際の形のS O （ 2 n 、 C ） {\displaystyle \mathrm {SO} (2n,\mathbb {C} )} 42 ]
同様に、
J n = （ 0 私 n − 私 n 0 ） 、 {\displaystyle J_{n}={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}},} それからS O * （ 2 n ） {\displaystyle \mathrm {SO} ^{*}(2n)}
S O * （ 2 n ） = { g ∈ S O （ 2 n 、 C ） ∣ θ （ g ） = g } 、 {\displaystyle \mathrm {SO} ^{*}(2n)=\{g\in \mathrm {SO} (2n,\mathbb {C} )\mid \theta (g)=g\},} どこθ （ g ） = − J n g ¯ J n {\displaystyle \theta (g)=-J_{n}{\overline {g}}J_{n}} [ 43 ]
そのリー代数は次のように表される。s o * （ 2 n ） {\displaystyle {\mathfrak {so}}^{*}(2n)} 44 ]
標準的な複素数実現S O * （ 2 n ） {\displaystyle \mathrm {SO} ^{*}(2n)} G L （ 2 n 、 C ） {\displaystyle \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )}
S = （ 0 私 n 私 n 0 ） {\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\I_{n}&0\end{pmatrix}}} グラム行列を用いたエルミート形式
H = （ 私 n 0 0 − 私 n ） 。 {\displaystyle H={\begin{pmatrix}I_{n}&0\\0&-I_{n}\end{pmatrix}}.} 同様に、
S O * （ 2 n ） = { g ∈ G L （ 2 n 、 C ） ∣ g T S g = S 、 g * H g = H } 。 {\displaystyle \mathrm {SO} ^{*}(2n)=\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )\mid g^{\mathrm {T} }Sg=S,\ g^{*}Hg=H\}.} そのリー代数は
s o * （ 2 n ） = { （ A B − B ¯ A ¯ ） | A * = − A 、 B T = − B } 。 {\displaystyle {\mathfrak {so}}^{*}(2n)=\left\{{\begin{pmatrix}A&B\\-{\overline {B}}&{\overline {A}}\end{pmatrix}}\;|\;A^{*}=-A,\ B^{\mathrm {T} }=-B\right\}.}
任意の体上の古典群 野原を越えてk {\displaystyle k} [ 5 ] [ 10 ] R {\displaystyle \mathbb {R} } C {\displaystyle \mathbb {C} } [ 6 ]
他の古典的な群は、非退化形式の自己同型群として現れる。[ 5 ] [ 12 ]
もしω {\displaystyle \omega } V {\displaystyle V} シンプレクティック群である。
S p （ V 、 ω ） = { g ∈ G L （ V ） ∣ ω （ g v 、 g w ） = ω （ v 、 w ） ∀ v 、 w ∈ V } 。 {\displaystyle \mathrm {Sp} (V,\omega )=\{g\in \mathrm {GL} (V)\mid \omega (gv,gw)=\omega (v,w)\ \forall v,w\in V\}.} のために薄暗い V = 2 n {\displaystyle \dim V=2n} S p 2 n （ k ） {\displaystyle \mathrm {Sp} _{2n}(k)}
もしq {\displaystyle q} V {\displaystyle V} 直交群である
O （ V 、 q ） = { g ∈ G L （ V ） ∣ q （ g v ） = q （ v ） ∀ v ∈ V } 。 {\displaystyle \mathrm {O} (V,q)=\{g\in \mathrm {GL} (V)\mid q(gv)=q(v)\ \forall v\in V\}.} いつチャー （ k ） ≠ 2 {\displaystyle \operatorname {char} (k)\neq 2} 2では、直交群は依然として二次形式から定義されるが、関連する双線形形式との関係はより微妙である。[ 12 ] Ω （ V 、 q ） {\displaystyle \Omega (V,q)} 等方性の場合、特性が 2 でない場合、それはスピノルノルム の核、つまり からの準同型として記述できます。S O （ V 、 q ） {\displaystyle \mathrm {SO} (V,q)} O （ V 、 q ） {\displaystyle \mathrm {O} (V,q)} k × / （ k × ） 2 {\displaystyle k^{\times }/(k^{\times })^{2}} P Ω （ V 、 q ） {\displaystyle \mathrm {P} \Omega (V,q)} P S O （ V 、 q ） {\displaystyle \mathrm {PSO} (V,q)} 45 ]
もしK / k {\displaystyle K/k} 体拡張 であり、より一般的にはK {\displaystyle K} σ {\displaystyle \sigma } h {\displaystyle h} σ {\displaystyle \sigma } K {\displaystyle K} V {\displaystyle V} ユニタリ群である。
U （ V 、 h ） = { g ∈ G L K （ V ） ∣ h （ g v 、 g w ） = h （ v 、 w ） ∀ v 、 w ∈ V } 。 {\displaystyle \mathrm {U} (V,h)=\{g\in \mathrm {GL} _{K}(V)\mid h(gv,gw)=h(v,w)\ \forall v,w\in V\}.} その派生部分群は特殊ユニタリ群である。 S U （ V 、 h ） {\displaystyle \mathrm {SU} (V,h)} 12 ]
対応する類似度 グループも存在するG S p {\displaystyle \mathrm {GSp} } G O {\displaystyle \mathrm {GO} } G U {\displaystyle \mathrm {GU} } [ 4 ]
対合を持つ中心単純代数からの古典群 前節では、体上のベクトル空間に付随する古典群と、二次体拡大に付随するユニタリ群について説明した。これは、分裂古典群と通常のユニタリ群を説明するものであるが、四元数族は含まない。R {\displaystyle \mathbb {R} } H {\displaystyle \mathbb {H} } 対合 を持つ中心単純代数 上の加群に置き換えます。代数が上の行列代数である場合、前の節の古典群の通常の構成が再現されます。k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} 46 ] [ 47 ]
有限体上のこの中心単純代数の仕組みは、通常の行列群以外の古典群を生成することはありません。なぜなら、有限体上のすべての中心単純代数は分裂するからです。したがって、有限古典群は対合を持つ代数の言語で記述できますが、その枠組みでは真に分裂しない例は現れません。
対合を伴う代数の完全な理論では、直交の場合にも二次対 を使用します。この追加の形式は、特性 2 を扱う場合にのみ必要です。[ 46 ] k {\displaystyle k}
( A , τ )に付随するグループ任意の中心単純代数A {\displaystyle A}
GL 1 （ A ） = A × {\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(A)=A^{\times }} 可逆要素のグループについては、
SL 1 （ A ） = カー （ Nrd : A × → k × ） {\displaystyle \operatorname {SL} _{1}(A)=\ker(\operatorname {Nrd} \colon A^{\times }\to k^{\times })} 縮小ノルム の核に対して。これらは、タイプの内部形式を与える。A {\displaystyle A} 49 ]
もし（ A 、 τ ） {\displaystyle (A,\tau )}
イソ （ A 、 τ ） = { 1 ∈ A × ∣ τ （ 1 ） 1 = 1 } {\displaystyle \operatorname {Iso} (A,\tau )=\{a\in A^{\times }\mid \tau (a)a=1\}} は等長変換 のグループであり、
シム （ A 、 τ ） = { 1 ∈ A × ∣ τ （ 1 ） 1 ∈ k × } {\displaystyle \operatorname {Sim} (A,\tau )=\{a\in A^{\times }\mid \tau (a)a\in k^{\times }\}} は相似 のグループです。スカラーμ （ 1 ） = τ （ 1 ） 1 {\displaystyle \mu (a)=\tau (a)a} [ 48 ] 群スキーム によって定義することができる。[ 48 ]
種類に応じてτ {\displaystyle \tau }
O （ A 、 τ ） = イソ （ A 、 τ ） {\displaystyle \mathrm {O} (A,\tau )=\operatorname {Iso} (A,\tau )} G O （ A 、 τ ） = シム （ A 、 τ ） {\displaystyle \mathrm {GO} (A,\tau )=\operatorname {Sim} (A,\tau )} P G O （ A 、 τ ） = オート （ A 、 τ ） {\displaystyle \mathrm {PGO} (A,\tau )=\operatorname {Aut} (A,\tau )} S p （ A 、 τ ） = イソ （ A 、 τ ） {\displaystyle \mathrm {Sp} (A,\tau )=\operatorname {Iso} (A,\tau )} G S p （ A 、 τ ） = シム （ A 、 τ ） {\displaystyle \mathrm {GSp} (A,\tau )=\operatorname {Sim} (A,\tau )} P G S p （ A 、 τ ） = オート （ A 、 τ ） {\displaystyle \mathrm {PGSp} (A,\tau )=\operatorname {Aut} (A,\tau )} [ 48 ] もし（ B 、 τ ） {\displaystyle (B,\tau )} K / k {\displaystyle K/k}
U （ B 、 τ ） = { b ∈ B × ∣ τ （ b ） b = 1 } {\displaystyle \mathrm {U} (B,\tau )=\{b\in B^{\times }\mid \tau (b)b=1\}} G U （ B 、 τ ） = { b ∈ B × ∣ τ （ b ） b ∈ k × } {\displaystyle \mathrm {GU} (B,\tau )=\{b\in B^{\times }\mid \tau (b)b\in k^{\times }\}} そして
P G U （ B 、 τ ） = オート K （ B 、 τ ） 。 {\displaystyle \mathrm {PGU} (B,\tau )=\operatorname {Aut} _{K}(B,\tau ).} 縮小ノルムの核はU （ B 、 τ ） {\displaystyle \mathrm {U} (B,\tau )}
S U （ B 、 τ ） = カー （ Nrd : U （ B 、 τ ） → K × ） 、 {\displaystyle \mathrm {SU} (B,\tau )=\ker(\operatorname {Nrd} \colon \mathrm {U} (B,\tau )\to K^{\times }),} そして、ユニタリ型の半単純単連結群を与える。[ 48 ]
シンプレクティックな場合、S p （ A 、 τ ） {\displaystyle \mathrm {Sp} (A,\tau )} P G S p （ A 、 τ ） {\displaystyle \mathrm {PGSp} (A,\tau )} S U （ B 、 τ ） {\displaystyle \mathrm {SU} (B,\tau )} P G U （ B 、 τ ） {\displaystyle \mathrm {PGU} (B,\tau )} [ 48 ] [ 49 ]
分割構造物の復旧 先に述べた体値群は、代数を分割すると復元される。[ 48 ]
もしA = 終わり k （ V ） {\displaystyle A=\operatorname {End} _{k}(V)} τ {\displaystyle \tau } h {\displaystyle h} V {\displaystyle V}
S p （ A 、 τ ） = S p （ V 、 h ） {\displaystyle \mathrm {Sp} (A,\tau )=\mathrm {Sp} (V,h)} そして、通常のシンプレクティック群が回復される。[ 48 ]
もしA = 終わり k （ V ） {\displaystyle A=\operatorname {End} _{k}(V)} τ {\displaystyle \tau } q {\displaystyle q}
O （ A 、 τ ） = O （ V 、 q ） {\displaystyle \mathrm {O} (A,\tau )=\mathrm {O} (V,q)} そして通常の直交群が回復される。[ 48 ]
もしK / k {\displaystyle K/k} B = 終わり K （ V ） {\displaystyle B=\operatorname {End} _{K}(V)} τ {\displaystyle \tau } K {\displaystyle K} V {\displaystyle V}
U （ B 、 τ ） = U （ V 、 h ） {\displaystyle \mathrm {U} (B,\tau )=\mathrm {U} (V,h)} そして
S U （ B 、 τ ） = S U （ V 、 h ） {\displaystyle \mathrm {SU} (B,\tau )=\mathrm {SU} (V,h)} こうして、通常のユニタリ群と特殊ユニタリ群が復元される。[ 48 ]
タイプの内部形態に関する分割記述もあるA {\displaystyle A}
K ≅ k × k 、 {\displaystyle K\cong k\times k,} それからB {\displaystyle B} A × A o p {\displaystyle A\times A^{\mathrm {op} }}
U （ B 、 τ ） ≅ GL 1 （ A ） 、 S U （ B 、 τ ） ≅ SL 1 （ A ） 、 P G U （ B 、 τ ） ≅ P G L 1 （ A ） 。 {\displaystyle \mathrm {U} (B,\tau )\cong \operatorname {GL} _{1}(A),\qquad \mathrm {SU} (B,\tau )\cong \operatorname {SL} _{1}(A),\qquad \mathrm {PGU} (B,\tau )\cong \mathrm {PGL} _{1}(A).} したがって、同じ形式主義には型の内形式と外形式の両方が含まれる。A {\displaystyle A} 48 ]
直交型とクリフォード代数 直交側では、群の構造は関連するクリフォード代数 によって支配される。直交対合の場合（ A 、 τ ） {\displaystyle (A,\tau )} + {\displaystyle +} スピン群 である。分割の場合、これは通常の群を回復する。
P G O + （ V 、 q ） {\displaystyle \mathrm {PGO} ^{+}(V,q)} そして
S p 私 n （ V 、 q ） {\displaystyle \mathrm {Spin} (V,q)} 50 ] 実数（および局所数 ）古典群の分類では、直交データには代数と直交の両方の知識が必要となる。A {\displaystyle A} 2 {\displaystyle 2} [ 50 ]
注記 ↑ ロスマン 2002 ↑ グッドマン＆ ウォラック 2009 1 2 3 4 Humphreys, James E. (1975).線形代数群 . Springer-Verlag. 1 2 3 4 5 6 Springer, Tonny A. (1998). 線形代数群 (第 2 版). Birkhäuser. 1 2 3 Taylor, Donald E. (1992). The Geometry of the Classical Groups . Heldermann Verlag. 1 2 3 Humphreys, James E. (2006). Modular Representations of Finite Groups of Lie Type . Cambridge University Press. ↑ ワイル 1939 ↑ Wybourne, BG (1974). Classical Groups for Physicists , Wiley-Interscience. ISBN 0471965057 。 ↑ グッドマン＆ ウォラック 2009 1 2 ジャン・デュドネ (1971)。 古典的な集団 。スプリンガー・フェルラーク。 ↑ ロスマン 2002 1 2 3 4 5 Knus, Max-Albert (1991). Quadratic and Hermitian Forms over Rings . Springer-Verlag. ↑ グッドマン＆ ウォラック 2009 ↑ ロスマン 2002 pp. 91–107.↑ Goodman & Wallach 2009 pp. 1–16.↑ ロスマン 2002 pp. 91–93.↑ Goodman & Wallach 2009 pp. 9–11.↑ ロスマン 2002 pp. 92–93.↑ ロスマン 2002 pp. 91–93.↑ ロスマン 2002 pp. 104–107.↑ Goodman & Wallach 2009 pp. 9–11.↑ ロスマン 2002 pp. 104–107.↑ Goodman & Wallach 2009 p. 84.↑ Goodman & Wallach 2009 p. 84.↑ ロスマン 2002 pp. 106–109.↑ ロスマン 2002 pp. 106–109.↑ ロスマン 2002 pp. 110–111.↑ ロスマン 2002 pp. 108–111.↑ ロスマン 2002 pp. 109–110.↑ ロスマン 2002 pp. 109–110.↑ ロスマン 2002 pp. 111–113.↑ ロスマン 2002 pp. 111–113.↑ ロスマン 2002 pp. 111–113.↑ ロスマン 2002 pp. 111–113.↑ ロスマン 2002 pp. 94–95.↑ ロスマン 2002 pp. 94–95.↑ Goodman & Wallach 2009 pp. 7–9, 84–86.↑ Goodman & Wallach 2009 pp. 9–10.↑ Goodman & Wallach 2009 p. 84.↑ Goodman & Wallach 2009 pp. 10–11.↑ Goodman & Wallach 2009 pp. 15–16.↑ Goodman & Wallach 2009 pp. 10–11.↑ Goodman & Wallach 2009 pp. 10–11.↑ Goodman & Wallach 2009 pp. 16–17.↑ 「直交群」 。 数学百科事典 。 1 2 Knus, Max-Albert ; Merkurjev, Alexander ; Rost, Markus ; Tignol, Jean-Pierre (1998). The Book of Involutions . American Mathematical Society Colloquium Publications. Vol. 44. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0904-4 。↑ 「線形古典群」 。 数学百科事典 。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Knus , Max-Albert; Merkurjev, Alexander; Rost, Markus; Tignol, Jean-Pierre (1998). 『 The Book of Involutions』 . American Mathematical Society Colloquium Publications. Vol. 44. American Mathematical Society. pp. 346–351 , 363–368 . ISBN 978-0-8218-0904-4 。1 2 3 4 5 6 7 8 Milne, James S. (2006). "代数群と算術群" (PDF) . §27、pp. 192–200 . 2026-03-29 に取得. 1 2 Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander; Rost, Markus; Tignol, Jean-Pierre (1998). 『 The Book of Involutions』 . American Mathematical Society Colloquium Publications. Vol. 44. American Mathematical Society. pp. 187, 203–204 . ISBN 978-0-8218-0904-4 。1 2 3 4 グッドマン＆ ウォラック 2009 ↑ Milne, James S. (2006). "代数群と算術群" (PDF) . 命題 27.14 および定理 27.16、pp. 197–199 . 2026-03-29 に取得.
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![{\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\[2pt]\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83618b0adfc8aa4bdf47529be667b3c9225a8caa)
