代数多様体

代数多様体は、数学の分野である代数幾何学における中心的な研究対象である。古典的には、代数多様体は、実数または複素数上の多項式方程式系の解の集合として定義される。現代の定義では、この概念をいくつかの異なる方法で一般化しているが、元の定義の背後にある幾何学的直感を維持するよう努めている。^{[1] : 58}

代数多様体の定義に関する慣習は若干異なります。たとえば、いくつかの定義では代数多様体は既約であることが要求されます。既約とは、ザリスキ位相で閉じている2つの小さな集合の和集合ではないことを意味します。この定義では、既約でない代数多様体は代数集合と呼ばれます。他の慣習では既約性は要求されません。

代数学の基本定理は、複素数係数を持つ一変数の単項多項式（代数的対象）が複素平面上のその根（幾何学的対象）の集合によって決定されることを示すことにより、代数学と幾何学のつながりを確立します。この結果を一般化すると、ヒルベルトの零定理は、多項式環のイデアルと代数的集合の間の基本的な対応を提供します。零定理と関連する結果を使用して、数学者は代数的集合に関する質問と環論に関する質問の間に強い対応関係を確立しました。この対応関係は、代数幾何学を定義する特徴です。

多くの代数多様体は微分可能多様体ですが、代数多様体は特異点を持つことができますが、微分可能多様体には特異点はありません。代数多様体は次元によって特徴付けられます。次元が 1 の代数多様体は代数曲線と呼ばれ、次元が 2 の代数多様体は代数面と呼ばれます。

現代のスキーム理論の文脈では、体上の代数多様体とは、その体上の構造射が分離され有限型で ある積分（既約かつ被約）スキームです。

代数的に閉じた体上のアフィン多様体は概念的に最も定義しやすい多様体であり、このセクションではそれについて説明します。次に、同様の方法で射影多様体と準射影多様体を定義します。多様体の最も一般的な定義は、より小さな準射影多様体をつなぎ合わせることで得られます。この方法で多様体の真に新しい例を構築できるかどうかは明らかではありませんが、永田は1950 年代にそのような新しい多様体の例を示しました。

代数的に閉じた体Kと自然数 nに対して、A ^{n を}K上のアフィンn空間とし、アフィン座標系の選択によってと同一視する。環K [ x ₁ , ..., x _n ]の多項式fは、 f をA ⁿの点で評価することにより、つまり各x _iに対してKの値を選択することで、 A ⁿ上のK値関数と見なすことができる。K [ x ₁ , ..., x _n ]の多項式の各集合Sに対して、零点Z ( S ) を、 Sの関数が同時に消滅するA ⁿの点の集合として定義する。つまり、 ${\displaystyle K^{n}}$    

${\displaystyle Z(S)=\left\{x\in \mathbf {A} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ for all }}f\in S\right\}.}$

Anの部分集合Vは^、あるSに対してV = Z ( S )であるとき、アフィン代数集合と呼ばれます。^{[1] : 2}空でないアフィン代数集合Vは、 2 つの適切な代数部分集合の和集合として表すことができないとき、既約と呼ばれます。 ^{[1] : 3}既約なアフィン代数集合は、アフィン多様体とも呼ばれます。^{[1] : 3} （一部の著者は、既約であるかどうかに関係なく、アフィン代数集合を指すためにアフィン多様体という語句を使用しています。^{[注 1]}）

アフィン多様体は、閉集合がまさにアフィン代数集合であると宣言することによって自然な位相を与えることができる。この位相はザリスキー位相と呼ばれる。^{[1] : 2}

Anの部分集合Vが与えられたとき、I ( V )^をV上で消えるすべての多項式関数のイデアルとして定義します。

${\displaystyle I(V)=\left\{f\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]\mid f(x)=0{\text{ for all }}x\in V\right\}.}$

任意のアフィン代数集合Vに対して、Vの座標環または構造環は多項式環をこのイデアルで割った商である。 ^{[1] : 4}

k を代数的に閉体とし、 P n を k 上の射影 n 空間とする。k ^[ x 0 , ... , x n ] における f を次数 d の同次多項式とする。同次_座標におけるP _nの点におけるfの評価は明確に^定義されていない。しかし、fは同次、つまりf   ( λx ₀ , ..., λx _n ) = λ ^d f   ( x ₀ , ..., x _n )であるため、点[ x ₀  : ... : x _n ]でf が消えるかどうかを問うことは理にかなっている。同次多項式の各集合Sについて、 Sの零点を、Sの関数が消えるP ⁿの点の集合として定義する。           

${\displaystyle Z(S)=\{x\in \mathbf {P} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ for all }}f\in S\}.}$

P ⁿの部分集合Vは、あるSに対してV = Z ( S )が成り立つとき、射影代数集合と呼ばれる。^{[1] : 9}既約射影代数集合は射影多様体と呼ばれる。^{[1] : 10}

射影多様体には、すべての代数集合が閉じていると宣言することで、ザリスキ位相も備わっています。

P ⁿの部分集合Vが与えられたとき、I ( V ) をV上で消えるすべての同次多項式によって生成されるイデアルとする。任意の射影代数集合Vに対して、Vの座標環は多項式環をこのイデアルで割ったものである。^{[1] : 10}

準射影多様体は射影多様体のザリスキ開部分集合である。すべてのアフィン多様体は準射影的であることに注意する。 ^{[2]また、アフィン多様体における代数集合の補集合は準射影多様体であることにも注意する。アフィン多様体の文脈では、このような準射影多様体は、通常、多様体ではなく}構成可能集合と呼ばれる。

古典的な代数幾何学では、すべての多様体は定義により準射影多様体であり、つまり射影空間の閉部分多様体の開部分多様体である。例えば、ハーツホーンの第 1 章では、代数的に閉体上の多様体は準射影多様体であると定義されている[ 1 ] : ^15が、第 2 章以降では、多様体(抽象多様体とも呼ばれる) という用語は、局所的には準射影多様体であるが、全体として見ると必ずしも準射影的ではない、つまり射影空間への埋め込みを持たない可能性がある、より一般的な対象を指す。^{[1] : 105}そのため、古典的には代数多様体の定義には射影空間への埋め込みが必要であり、この埋め込みは多様体上の位相と多様体上の正則関数を定義するために使用されていました。このような定義の欠点は、すべての多様体が射影空間への自然な埋め込みを備えているわけではないことです。たとえば、この定義では、積P ¹ × P ¹は、より大きな射影空間に埋め込まれるまで多様体ではありません。これは通常、セグレ埋め込みによって行われます。さらに、射影空間への 1 つの埋め込みを許容する多様体は、たとえば、埋め込みをヴェロネーゼ埋め込みと合成することによって、他の多くの埋め込みを許容します。したがって、正則関数などの本質的であるべき多くの概念は、明らかにそうではありません。

代数多様体を埋め込みなしに抽象的に定義する最も初期の成功した試みは、アンドレ・ヴェイユによるものである。彼の著書『代数幾何学の基礎』では、付値 を用いている。クロード・シュヴァレーは、同様の目的を果たすがより一般的なスキームの定義を行った。しかし、アレクサンダー・グロタンディークのスキームの定義はさらに一般的であり、最も広く受け入れられている。グロタンディークの言語では、抽象代数多様体は通常、代数的に閉じた体上の有限型の整列分離スキームとして定義される^{[1] : 104–105。}ただし、一部の著者は既約性や既約性や分離性条件を省略したり、基礎となる体が代数的に閉じていなくてもよいとしている。^{[注 2]}古典的な代数多様体は、代数的に閉じた体上の準射影整列分離有限型スキームである。

非準射影代数多様体の最も初期の例の一つは永田によって与えられた。^[3]永田の例は完全ではなかった（コンパクト性の類似）が、その後すぐに完全かつ非射影な代数曲面を発見した。^{[4] [1] : 注 4.10.2 p.105}それ以来、他の例も発見されている。例えば、準射影ではないが完全なトーリック多様体を構築するのは簡単である。 ^[5]

部分多様体とは、それ自体が多様体である多様体の部分集合です (周囲の多様体によって誘導される位相構造に関して)。たとえば、多様体のすべての開部分集合は多様体です。閉じた浸漬も参照してください。

ヒルベルトの零点定理によれば、アフィン多様体または射影多様体の閉部分多様体は、多様体の座標環の素イデアルまたは非無関係な同次素イデアルと一対一に対応する。

k = Cとし、A ^2をC上の2次元アフィン空間とする。環C [ x , y ] の多項式は、 A ²の点で評価することにより、A ²上の複素数値関数として見ることができる。 C [ x , y ]のサブセットSに単一の要素f   ( x , y )が含まれるとします。  

${\displaystyle f(x,y)=x+y-1.}$

f   ( x , y )の零点とは、この関数が消えるA ²内の点の集合である。つまり、y = 1 − xとなる複素数 ( x , y )のすべてのペアの集合である。これはアフィン平面の直線と呼ばれる。(複素数上の位相幾何学から派生した古典的な位相幾何学では、複素直線は次元 2 の実多様体である。) これは集合Z (  f  )である。  

${\displaystyle Z(f)=\{(x,1-x)\in \mathbf {C} ^{2}\}.}$

したがって、 A ²の部分集合V = Z (  f  )は代数集合です。集合Vは空ではありません。2 つの適切な代数部分集合の和集合として表すことができないため、既約集合です。したがって、これはアフィン代数多様体です。

k = Cとし、A ^2をC上の2次元アフィン空間とする。環C [ x , y ] の多項式は、 A ²の点で評価することにより、A ²上の複素数値関数として見ることができる。 C [ x , y ]のサブセットSに単一の要素g ( x , y ) が含まれるとします。

${\displaystyle g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1.}$

g ( x , y )の零点位置は、この関数が消失するA ²内の点の集合、つまりx ² + y ² = 1となる点 ( x , y ) の集合です。 g ( x , y ) は絶対既約多項式なので、代数多様体です。その実数点 (つまり、 xとyが実数である点)の集合は単位円として知られており、この名前は多様体全体にもよく使用されます。

次の例は、超曲面でも線型空間でも一点でもない。A ^{3 を}C 上の3次元アフィン空間とする。C 上の x に対する点の集合 ( x , x 2 , x 3 )は代数^多様体で^あり、より正確にはどの平面にも含まれない代数曲線である。^{[注 3]}これは、上の図に示されているねじれた3次曲線である。これは、次の式で定義される。

${\displaystyle {\begin{aligned}yx^{2}&=0\\zx^{3}&=0\end{aligned}}}$

この代数集合の既約性は証明が必要です。この場合の 1 つのアプローチは、射影 ( x , y , z ) → ( x , y )が解の集合に単射であり、その像が既約平面曲線であることを確認することです。

より難しい例の場合、同様の証明が常に与えられる可能性がありますが、難しい計算を意味する可能性があります。最初に次元を計算するためのグレブナー基底計算、次に変数のランダムな線形変更（常に必要なわけではありません）が続きます。次に、別の単項式順序付けに対するグレブナー基底計算を行って射影を計算し、それが一般に単射であり、その像が超曲面であることを証明し、最後に多項式因数分解を行って像の既約性を証明します。

基底体k上のn行n列の行列の集合は、 が行列 の( i , j ) 番目の要素となるような座標を持つアフィンn ²空間と同一視できます。この場合、行列式は の多項式となり、の超曲面を定義します。この場合、 の補集合は、すべての可逆なn行n列の行列、つまり一般線型群からなるの開部分集合になります。一般に、アフィン多様体における超曲面の補集合はアフィンであるため、これはアフィン多様体です。具体的には、アフィン直線に座標tが与えられている場所を考えます。この場合、は の多項式の における零点位置になります。 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n^{2}}}$${\displaystyle x_{ij}}$${\displaystyle x_{ij}(A)}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \det}$${\displaystyle x_{ij}}$${\displaystyle H=V(\det )}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n^{2}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n^{2}}}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n^{2}}\times \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n^{2}}\times \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle x_{ij},t}$

${\displaystyle t\cdot \det[x_{ij}]-1,}$

つまり、解を持つような行列Aの集合です。これは代数的に見ると最もよくわかります。 の座標環は局所化であり、 と同一視できます。 ${\displaystyle t\det(A)=1}$${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}$ ${\displaystyle k[x_{ij}\mid 0\leq i,j\leq n][{\det }^{-1}]}$${\displaystyle k[x_{ij},t\mid 0\leq i,j\leq n]/(t\det -1)}$

基底体kの乗法群 k ^*はと同じであり、したがってアフィン多様体です。その有限積は代数トーラスであり、これもまたアフィン多様体です。 ${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(k)}$${\displaystyle (k^{*})^{r}}$

一般線型群は線型代数群の一例であり、群演算が多様体の射となるような 群の構造を持つアフィン多様体です。

A を体k上の必ずしも可換ではない代数とする。 Aが可換でなくても、 Aが-濾過を持ち、関連する環がk -代数として可換かつ縮約され有限生成される、つまりアフィン（可約）多様体Xの座標環となることはあり得る。たとえば、A が有限次元リー代数の普遍包絡代数である場合、 は多項式環（PBW 定理）である。より正確には、双対ベクトル空間 の座標環である。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {gr} A=\bigoplus _{i=-\infty }^{\infty }A_{i}/{A_{i-1}}}$${\displaystyle \operatorname {gr} A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {gr} A}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$

M をA上のフィルタされた加群（すなわち）とする。 が -代数として有限生成であれば、Xにおけるのサポート、すなわちがゼロにならない軌跡はMの特性多様体と呼ばれる。^{[6]この概念は}D -加群の理論において重要な役割を果たしている。 ${\displaystyle A_{i}M_{j}\subset M_{i+j}}$${\displaystyle \operatorname {gr} M}$${\displaystyle \operatorname {gr} A}$${\displaystyle \operatorname {gr} M}$${\displaystyle \operatorname {gr} M}$

射影多様体は射影空間の閉じた部分多様体です。つまり、素イデアルを生成する同次多項式の集合の零点です。

平面射影曲線は、3つの不定元における既約同次多項式の零点軌跡である。射影直線 P ^{1 は射影曲線の一例であり、射影平面}P ² = {[ x , y , z ] }上のx = 0で定義される曲線と見ることができる。別の例として、まずアフィン3次曲線を考える。

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x.}$

2次元アフィン空間（特性が2でない体上）では、次の3次斉次多項式方程式が成立する。

${\displaystyle y^{2}z=x^{3}-xz^{2},}$

これはP ^2内の楕円曲線と呼ばれる曲線を定義します。曲線の種数は 1 です (種数式)。特に、種数が 0 である射影直線P ¹とは同型ではありません。種数を使用して曲線を区別することは非常に基本的です。実際、種数は曲線を分類するために使用する最初の不変量です (代数曲線のモジュライの構築も参照)。

V を有限次元ベクトル空間とする。グラスマン多様体 G _n ( V ) は、 Vのn次元部分空間全体の集合である。これは射影多様体であり、プルッカー埋め込みによって射影空間に埋め込まれる。

${\displaystyle {\begin{cases}G_{n}(V)\hookrightarrow \mathbf {P} \left(\wedge ^{n}V\right)\\\langle b_{1},\ldots ,b_{n}\rangle \mapsto [b_{1}\wedge \cdots \wedge b_{n}]\end{cases}}}$

ここで、b _{i は}V内の任意の線形独立ベクトルの集合であり、はVのn番目の外乗であり、括弧 [ w ] は非ゼロベクトルwが張る直線を意味します。 ${\displaystyle \wedge^{n}V}$

グラスマン多様体には、トートロジーバンドルと呼ばれる自然なベクトルバンドル（または他の用語では局所自由層）が付属しており、これはチャーン類などの特性類の研究で重要です。

C を滑らかな完備曲線とし、そのピカール群、すなわちC上の直線束の同型類の群とする。Cは滑らかなので、はCの因子類群と同一視でき、したがって次数準同型 が存在する。Cのヤコビ多様体は、この次数写像の核、すなわち次数 0 のC上の因子類の群である。ヤコビ多様体は、アーベル多様体、すなわちその上に互換性のあるアーベル群構造を持つ完備多様体の一例である（ただし、アーベル群であるため「アーベル」という名前は当てはまらない）。アーベル多様体は射影的である（つまり、代数シータ関数は射影空間への埋め込みを与える。アーベル多様体 を定義する方程式を参照）。したがって、は射影多様体である。単位元におけるへの接空間は自然に^[7]と同型であるため、 の次元はの種数である。 ${\displaystyle \operatorname {Pic} (C)}$${\displaystyle \operatorname {Pic} (C)}$${\displaystyle \operatorname {deg} :\operatorname {Pic} (C)\to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {Jac} (C)}$${\displaystyle \operatorname {Jac} (C)}$${\displaystyle \operatorname {Jac} (C)}$${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C});}$${\displaystyle \operatorname {Jac} (C)}$${\displaystyle C}$

上の点を固定する。各整数に対して、自然な射が存在する^[8]${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle n>0}$

${\displaystyle C^{n}\to \operatorname {Jac} (C),\,(P_{1},\dots ,P_{r})\mapsto [P_{1}+\cdots +P_{n}-nP_{0}]}$

ここで、はCのn個のコピーの積である。 （つまり、Cは楕円曲線）に対して、上記の射は同型であることが分かる。^{[1] ：第 IV 章、例 1.3.7。}特に、楕円曲線はアーベル多様体である。 ${\displaystyle C^{n}}$${\displaystyle g=1}$${\displaystyle n=1}$

整数 が与えられたとき、種数 の滑らかな完全曲線の同型類の集合は、種数 の曲線のモジュライと呼ばれ、 と表記される。このモジュライがおそらく簡約な代数多様体の構造を持つことを示す方法はいくつかある。例えば、1 つの方法は、同型類の集合が (簡約な) 準射影多様体構造を持つことを保証する幾何学的不変量理論を使用することである。 ^[9]固定種数の曲線のモジュライなどのモジュライは、典型的には射影多様体ではない。おおよその理由は、滑らかな曲線の退化 (極限) は滑らかでないか簡約になりがちだからである。このことから、種数 の安定曲線、つまり、ひどく悪い特異点がなく、それほど大きくない自己同型群を持つ、必ずしも滑らかではない完全曲線という概念が生まれる。安定曲線のモジュライ、つまり種数 の安定曲線の同型類の集合は、開稠密な部分集合としてを含む射影多様体です。は に境界点を追加することで得られるため、口語的には のコンパクト化と呼ばれます。 歴史的には、Mumford と Deligne ^[10]の論文で、のとき が既約であることを示す安定曲線の概念が導入されました。 ${\displaystyle g\geq 0}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$${\displaystyle g\geq 2}$${\displaystyle {\overline {\mathfrak {M}}}_{g}}$${\displaystyle g\geq 2}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$${\displaystyle {\overline {\mathfrak {M}}}_{g}}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$${\displaystyle {\overline {\mathfrak {M}}}_{g}}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$${\displaystyle g\geq 2}$

曲線のモジュライは典型的な状況の例である。すなわち、良いオブジェクトのモジュライは射影的ではなく、準射影的である傾向がある。別のケースは、曲線上のベクトル束のモジュライである。ここでは、滑らかな完備曲線上の安定ベクトル束と半安定ベクトル束の概念がある。与えられたランクと与えられた次数（束の行列式の次数）の半安定ベクトル束のモジュライは、と表記される射影多様体であり、これはランクと次数の安定ベクトル束の同型類の集合を開集合として含む。^[11]線束は安定なので、そのようなモジュライは のヤコビ多様体の一般化である。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d}$${\displaystyle SU_{C}(n,d)}$${\displaystyle U_{C}(n,d)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d}$${\displaystyle C}$

一般に、曲線のモジュライの場合とは対照的に、モジュライのコンパクト化は一意である必要はなく、場合によっては、異なる方法を使用して、異なる著者によって異なる非同値なコンパクト化が構築されます。 上の例は、有界対称領域の算術離散群 の作用による商をコンパクト化する問題です。^[12]の基本的な例は、 がシーゲルの上半空間であり、 と通約可能である場合です。その場合、 は、次元の主分極複素アーベル多様体のモジュライとして解釈されます(主分極はアーベル多様体をその双対と同一視します)。 トーリック多様体 (またはトーラス埋め込み) の理論は、 をコンパクト化する方法、つまりそのトーラスコンパクト化の方法を提供します。^{[13] [14]}しかし、 をコンパクト化する他の方法もあります。例えば、ベイリーとボレルによるの極小コンパクト化がある。これは、モジュラー形式(シーゲルの場合は、シーゲル モジュラー形式; ^[15]も参照)によって形成される次数付き環に関連付けられた射影多様体である。コンパクト化の非一意性は、それらのコンパクト化のモジュライ解釈の欠如による。つまり、それらは (圏論の意味で) 自然なモジュライ問題を表現せず、正確な言葉で言えば、安定曲線のモジュライ スタックの類似物となる 自然なモジュライ スタックは存在しない。${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle D/\Gamma }$${\displaystyle D}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle D/\Gamma }$${\displaystyle D={\mathfrak {H}}_{g}}$${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2g,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle D/\Gamma }$${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{g}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle D/\Gamma }$${\displaystyle D/\Gamma }$${\displaystyle D/\Gamma }$

代数多様体は、アフィンでも射影でもないことがあります。例を挙げると、X = P ¹ × A ¹で、p : X → A ¹を射影とします。ここで、X は多様体の積なので代数多様体です。P ^1はXの閉部分多様体（ pの零点）なのでアフィンではありませんが、アフィン多様体は正の次元の射影多様体を閉じた部分多様体として含むことはできません。 Xには定数でない正則関数、つまりp があるので、射影でもありません。

非アフィン非射影多様体の別の例は、X = A ² − (0, 0)です（多様体の射 § 例を参照）。

上のアフィン直線について考えます。における円の補集合は代数多様体ではありません (代数集合でもありません)。はにおける多項式ではないことに注意してください(ただし、実座標 では多項式です)。 一方、 における原点の補集合は、原点が の零点であるため、代数 (アフィン) 多様体です。 これは次のように説明できます。アフィン直線の次元は 1 であり、したがって、それ自身以外のその部分多様体は厳密にそれより小さい次元、つまり 0 でなければなりません。 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} {\text{ with }}|z|^{2}=1\}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}=\mathbb {C} }$${\displaystyle |z|^{2}-1}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}=\mathbb {C} }$${\displaystyle z}$

同様の理由から、ユニタリ群（複素数上）は代数多様体ではありませんが、特殊線型群はの閉部分多様体、つまり の零点です。（ただし、異なる基底体上では、ユニタリ群に多様体の構造を与えることができます。） ${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \det -1}$

• アフィン代数集合Vが多様体であるための必要十分条件は、 I ( V ) が素イデアルである場合である。同様に、V が多様体であるための必要十分条件は、その座標環が整域である場合である。^{[16] : 52  [1] : 4}
• 空でないアフィン代数集合は、代数多様体の有限和として一意に表すことができる（分解内の多様体のいずれもが他の多様体の部分多様体ではない）。^{[1] : 5}
• 多様体の次元は、さまざまな同等の方法で定義できます。詳細については、代数多様体の次元を参照してください。
• 有限個の代数多様体の積（代数的に閉じた体上）は代数多様体である。アフィン多様体の有限積はアフィン多様体^[17]であり、射影多様体の有限積は射影多様体である。

V ₁、V _{2 を}代数多様体とする。正則写像φ  : V ₁ → V ₂とψ  : V ₂ → V ₁が存在し、合成ψ ∘ φとφ ∘ ψがそれぞれ V ₁とV ₂上の恒等写像となるとき、 V ₁とV ₂は同型であると言い、 V ₁ ≅ V ₂と書く。

上記の基本的な定義と事実により、古典的な代数幾何学を行うことができます。さらに多くのことを行うには、たとえば、代数的に閉じていない体上の多様体を扱うには、いくつかの基本的な変更が必要です。多様体の現代的な概念は、代数的に閉じた体上の多様体の場合は同等ですが、上記のものよりもかなり抽象的です。抽象代数多様体は特別な種類のスキームです。幾何学的な側でのスキームへの一般化により、上記の対応をより広いクラスの環に拡張できます。スキームは、すべての点が、局所的に環化された空間として、環のスペクトルに同型である近傍を持つような局所環付き空間です。基本的に、k上の多様体は、その構造層がk代数の層であり、上に現れる環R がすべて整域であり、すべて有限生成k代数である、つまり、多項式代数の素イデアルによる商であるという特性を持つスキームです。

この定義は任意の体k上で機能します。これにより、結果のオブジェクトを何らかの射影空間に配置できるかどうかを気にせずに、アフィン多様体 (共通の開集合に沿って) を接着できます。また、ゼロが 2 つ重になったアフィン直線など、いくぶん異常なオブジェクトを導入する可能性があるため、困難が生じます。このようなオブジェクトは通常、多様体とは見なされず、多様体の基礎となるスキームを分離することを要求することで排除されます。(厳密に言えば、上記の定義では有限個のアフィン パッチのみが必要であるという 3 番目の条件もあります。)

現代の研究者の中には、多様体が整域アフィンチャートを持つことに対する制約を取り除き、多様体について語るときには、アフィンチャートが自明なnilradical を持つことだけを要求する人もいます。

完全多様体とは、特異でない曲線の開部分集合からその曲線への任意の写像が、曲線全体に一意に拡張できる多様体です。すべての射影多様体は完全ですが、その逆は成り立ちません。

これらの多様体は、セールの層コホモロジー に関する基礎論文FAC ^[18]がこれらの多様体のために書かれたため、「セールの意味での多様体」と呼ばれています。より一般的なオブジェクトも補助的に使用される場合でも、これらは代数幾何学で研究を始めるための典型的なオブジェクトのままです。

一般化につながる方法の 1 つは、簡約可能な代数集合 (および代数的に閉じていない体k ) を許可することです。これにより、環R は整域でなくなる可能性があります。より重要な変更は、環の層に冪零点、つまり、簡約されない環を許可することです。これは、グロタンディークのスキーム理論 に組み込まれている古典的な代数幾何学のいくつかの一般化の 1 つです。

環に冪零元を許容することは、代数幾何学における「重複度」の追跡に関係しています。たとえば、x ^{2 = 0 で定義されるアフィン直線の閉じた部分スキームは、} x = 0 (原点)で定義される部分スキームとは異なります。より一般的には、 XとYが簡約されていても、 Yの点におけるスキームX → Yの射のファイバーは簡約されない場合があります。幾何学的には、これは、優れたマッピングのファイバーが非自明な「無限小」構造を持つ可能性があることを示しています。

さらに、代数空間やスタックと呼ばれる一般化もあります 。

代数多様体は代数多様体であり、m次元多様体でもあるため、十分に小さい局所パッチはすべてk ^mに同型です。同様に、多様体は滑らかです（特異点がありません）。kが実数Rのとき、代数多様体はナッシュ多様体と呼ばれます。代数多様体は、解析代数関数の有限集合の零集合として定義できます。射影代数多様体は、射影多様体の同等の定義です。リーマン球面はその一例です。

• 多様性（曖昧さ回避） - 数学的な意味もいくつか挙げている
• 代数多様体の関数体
• 双有理幾何学
• 動機（代数幾何学）
• 分析多様性
• ザリスキ・リーマン空間
• 半代数集合
• ファノ品種
• ムネーフの普遍性定理

この記事には、Creative Commons Attribution-Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされているPlanetMathの Isomorphism of variety の資料が組み込まれています。