ブルジュノ数

数学において、ブルジュノ数（BrunoまたはBryunoと綴られることもある）は、ロシアの数学者アレクサンダー・ブルーノにちなんで名付けられた特殊なタイプの無理数であり、ブルーノは Brjuno (1971) でこれを導入しました。

無理数は 、無限和が ${\displaystyle \alpha}$

${\displaystyle B(\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\log q_{n+1}}{q_{n}}}}$

有限数に 収束します。

ここ：

• ${\displaystyle q_{n}}$は、の連分数展開のn次収束 の分母です。${\displaystyle {\tfrac {p_{n}}{q_{n}}}}$${\displaystyle \alpha}$
• ${\displaystyle B}$はBrjuno関数である

黄金比𝜙を考えてみましょう:

${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}.}}$

すると、n番目の収束は再帰関係によって見つけられる：^[1]${\displaystyle {\frac {p_{n}}{q_{n}}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}p_{n}=p_{n-1}+p_{n-2}&{\text{ }}p_{0}=1,p_{1}=2,\\q_{n}=q_{n-1}+q_{n-2}&{\text{ }}q_{0}=q_{1}=1.\end{cases}}}$

については、結果として、 ${\displaystyle q_{n+1} <q_{n}^{2}}$${\displaystyle n\geq 2}$

${\displaystyle {\frac {\log {q_{n+1}}}{q_{n}}}}<{\frac {2\log {q_{n}}}{q_{n}}}{\text{ }}n\geq 2 の場合}$

そして、任意の無理数に対して、𝜙はBrjuno数であることが証明できる。さらに、同様の方法を使用して、連分数展開が1の列で終わる任意の無理数がBrjuno数であることを証明できます。^[2]${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\log q_{n}}{q_{n}}}}\infty }$

対照的に、次のように定義される 定数を考える。${\displaystyle \alpha =[a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ]}$${\displaystyle (a_{n})}$

${\displaystyle a_{n}={\begin{cases}10&{\text{ if }}n=0,1,\\q_{n}^{q_{n-1}}&{\text{ if }}n\geq 2.\end{cases}}}$

すると となるので、比テストにより は発散することがわかる。したがって は Brjuno 数ではない。^[3]${\displaystyle q_{n+1}>q_{n}^{\frac {2q_{n}}{q_{n-1}}}}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\log q_{n+1}}{q_{n}}}}$${\displaystyle \alpha}$

Brjuno 数は、1 次元の解析的小因子問題で重要です。Bruno は、ジーゲルの定理のディオファントス条件を改良し、が Brjuno 数である場合、線形部分を持つ正則関数の芽が線形化可能であることを示しまし た。Jean -Christophe Yoccoz  (1995) は、1987 年に、この条件も必要であり、2 次多項式の場合は必要かつ十分であることを示しました。 ${\displaystyle e^{2\pi i\alpha }}$${\displaystyle \alpha}$

直感的に、これらの数は、収束のシーケンスにおいて、( n +1 )番目の収束の分母がn番目の収束の分母よりも指数的に大きくなるような大きな「ジャンプ」をあまり持ちません。したがって、リウヴィル数とは対照的に、有理数によるディオファントス近似が異常に正確ではありません。

Brjuno和またはBrjuno関数は ${\displaystyle B}$

${\displaystyle B(\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\log q_{n+1}}{q_{n}}}}$

どこ：

• ${\displaystyle q_{n}}$は、 の連分数展開のn次収束 の分母です。${\displaystyle {\tfrac {p_{n}}{q_{n}}}}$${\displaystyle \alpha}$

実数Brjuno関数は無理数に対して定義される^[4]${\displaystyle B(\alpha )}$${\displaystyle \alpha}$

${\displaystyle B:\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$

そして満足する

${\displaystyle {\begin{aligned}B(\alpha )&=B(\alpha +1)\\B(\alpha )&=-\log \alpha +\alpha B(1/\alpha )\end{aligned}}}$

0 から 1 までのすべての無理数に対して。 ${\displaystyle \alpha}$

ヨッコの変種であるブリジュノ和は次のように定義される: ^[5]

${\displaystyle Y(\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }\alpha _{0}\cdots \alpha _{n-1}\log {\frac {1}{\alpha _{n}}},}$

どこ：

• ${\displaystyle \alpha}$無理実数です:${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$
• ${\displaystyle \alpha _{0}}$は小数部です${\displaystyle \alpha}$
• ${\displaystyle \alpha_{n+1}}$は小数部です${\displaystyle {\frac {1}{\alpha _{n}}}}$

この和は、Brjuno 和が収束する場合にのみ収束し、実際、それらの差は普遍定数によって制限されます。

• 非合理性の尺度
• マルコフ定数

• Brjuno、Alexander D. (1971)、「微分方程式の解析形式。I、II」、Trudy Moskovskogo Matematičeskogo Obščestva、25 : 119–262、ISSN  0134-8663、MR  0377192
• Lee, Eileen F. (1999 年春)、「Brjuno 数の構造と位相」(PDF)、1999 年トポロジーおよびダイナミクス会議 (ソルトレイクシティ、ユタ州) の議事録、トポロジー議事録、第 24 巻、pp. 189–201、MR  1802686
• マルミ、ステファノ; ムサ、ピエール;ヨッコ、ジャン=クリストフ(2001)、「複素ブルジュノ関数」、アメリカ数学会誌、14 (4): 783–841、doi : 10.1090/S0894-0347-01-00371-X、ISSN  0894-0347、MR  1839917
• Yoccoz、Jean-Christophe (1995)、「Théorème de Siegel、nombres de Bruno et Polynômes quadratiques」、Petits diviseurs en Dimensions 1、Astérisque、vol. 231、3–88 ページ、MR  1367353