平方数

数学では、平方数または完全平方数とは、ある整数の二乗である整数のことです。 ^{[ 1 ]}言い換えれば、ある整数とそれ自身との積です。例えば、9は32^に等しく、 3×3と書けるので平方数です。

数nの平方を表す通常の表記は、積n × nではなく、等価な指数n ²であり、通常は「n の平方」と発音されます。平方数という名前は、その形状の名前から来ています。面積の単位は、単位正方形( 1 × 1 )の面積として定義されます。したがって、辺の長さがnの正方形の面積はn ²です。平方数がn個の点で表される場合、それらの点は、各辺にnの平方根と同じ数の点がある正方形として行に並べることができます。したがって、平方数は図形数の一種です(他の例としては、立方数や三角数があります)。

実数系では、平方数は非負です。非負整数は、その平方根が再び整数である場合に平方数となります。例えば、${\displaystyle {\sqrt {9}}=3,}$つまり、9は平方数です。

1以外の平方因子を持たない正の整数は、平方因子を持たない整数と呼ばれる。

非負整数nに対して、n番目の平方数はn ²であり、0 ² = 0が0 番目の平方数です。平方の概念は、他のいくつかの数体系にも拡張できます。有理数を含めると、平方数は 2 つの平方整数の比であり、逆に、2 つの平方整数の比は平方数です。たとえば、 $\displaystyle \textstyle {\frac {4}{9}}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}}$。

1から始めて、${\displaystyle \lfloor {\sqrt {m}}\rfloor }$mまでの平方数、式${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$これは数xの切り捨てを表します。 

^60² = 3600より小さい正方形（OEISのシーケンスA000290）は次のとおりです。  

任意の平方数とその前の平方数との差は、n ² − ( n − 1) ² = 2 n − 1という恒等式で表されます。同様に、最後の平方数、最後の平方数の平方根、現在の平方根を足し合わせることで平方数を数えることもできます。つまり、n ² = ( n − 1) ² + ( n − 1) + nです。

数mが平方数であるのは、 m個の点を正方形の中に配置できる場合に限る。

n番目の平方数を表す式はn²^です。これは、上の図に示すように、最初のn個の奇数の合計にも等しくなります。図では、前の平方数に奇数個の点（マゼンタで示されている）を追加することで平方数が得られます。式は次のとおりです。$${\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).}$$例えば、5 ² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9。

平方数を計算する再帰的な方法はいくつかあります。たとえば、n番目の平方数は、前の平方数からn ² = ( n − 1) ² + ( n − 1) + n = ( n − 1) ² + (2 n − 1)で計算できます。あるいは、n番目の平方数は、前の 2 つの平方数から、( n − 1)番目の平方数を 2 倍し、 ( n − 2)番目の平方数を減算し、2 を加えることで計算できます^{。n 2} = 2( n − 1) ² − ( n − 2) ² + 2だからです。たとえば、

2 × 5 ² − 4 ² + 2 = 2 × 25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6 ²。

数mの 2 乗から 1 を引いた数は常に次の積です。${\displaystyle m-1}$そして${\displaystyle m+1;}$つまり、$${\displaystyle m^{2}-1=(m-1)(m+1).}$$例えば、7 ² = 49なので、${\displaystyle 6\times 8=48}$素数は1とそれ自身のみを因数として持ち、また、上記の等式の右辺に1の因数を与えるmの非ゼロ値はm = 2だけであるため、 3は平方数 ( 3 = 2 ² − 1 )より 1 小さい唯一の素数であることがわかります。

より一般的には、2 つの数の平方の差は、それらの和と差の積です。つまり、$${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$$これは平方差の公式で、暗算に役立ちます。たとえば、47 × 53 は50 ² − 3 ² = 2500 − 9 = 2491と簡単に計算できます。平方数は、2 つの連続する三角数の和でもあります。2 つの連続する平方数の和は、中心平方数です。すべての奇数平方数は、中心八角数でもあります。

平方数のもう一つの性質は、（0を除いて）正の約数が奇数個であるのに対し、他の自然数は正の約数が偶数個であるということです。平方数を作る際に自分自身と対になる約数は整数平方根のみであり、他の約数は対になって現れます。

ラグランジュの4平方定理は、任意の正の整数は4つ以下の平方数の和として表せると述べている。4 ^k (8 m + 7)の形の数には3つの平方数では不十分である。正の整数は、その素因数分解に4 k + 3の形の素数の奇数乗が含まれていない場合に限り、 2つの平方数の和として表すことができる。これは、ワーリングの問題によって一般化される。

10進数では、平方数は0、1、4、5、6、9のいずれかの数字で終わる必要があります。例は以下のとおりです。

• 数の末尾の桁が0の場合、その数の2乗は00で終わる。
• 数の最後の桁が1または9の場合、その数の2乗は偶数に続いて1で終わります。
• 数の末尾の桁が2または8の場合、その数の2乗は偶数に続いて4で終わります。
• 数の末尾の桁が3または7の場合、その数の2乗は偶数に続いて9で終わる。
• 数の最後の桁が4または6の場合、その2乗は奇数に続いて6で終わります。
• ある数の末尾の桁が5であれば、その数の2乗の末尾は25になる。

12進数では、平方数は平方数で終わる数字しか持つことができません（12進数では、素数は素数または1で終わる数字しか持つことができません）。つまり、0、1、4、9のいずれかになります。

• ある数が 2 と 3 の両方で割り切れる場合 (つまり、6 で割り切れる場合)、その数の平方の末尾は 0 になり、その前の桁は 0 または 3 でなければなりません。
• ある数が2でも3でも割り切れない場合、その数の2乗は1で終わり、その前の桁は偶数でなければならない。
• ある数が2で割り切れるが3では割り切れない場合、その数の平方の末尾は4となり、その前の桁は0、1、4、5、8、または9でなければならない。
• ある数が2で割り切れないが3で割り切れる場合、その数の2乗の末尾は9となり、その前の桁は0または6でなければならない。

同様の規則は、他の基数や、より前の桁（例えば、一の位ではなく十の位）にも適用できます。これらの規則はすべて、一定数のケースを検証し、モジュラー演算 を用いることで証明できます。

一般に、素数p が平方数mを割り切るならば、 pの平方もm を割り切る。pがm / pを割り切らないならば、mは明らかに平方数ではない。前の文の割り算を繰り返すと、すべての素数は与えられた平方数を偶数回（0 回を含む）割り切るという結論が得られる。したがって、数mが平方数であるのは、その標準表現においてすべての指数が偶数である場合に限る。  

^{平方性判定は、}大きな数の因数分解における代替手段として使用できます。割り切れるかどうかを判定する代わりに、平方性を判定します。与えられた数mとある数kに対して、k² - m が整数 n の平方であれば、 k - nはmを割り切ります。（これは、2 つの平方数の差の因数分解の応用です。）例えば、100² - 9991は 3 の平方なので、100 - 3は 9991 を割り切ります^{。この判定法は、} k - nからk + nまでの範囲の奇数の約数に対して確定的です。ここで、k はある自然数の範囲をカバーします。  ${\displaystyle k\geq {\sqrt {m}}.}$

平方数は完全数にはなり得ない。

最初のn個の平方数の合計は$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}.}$$これらの和の最初の値、つまり正四角錐数は次のとおりです。（OEISのシーケンスA000330）

0、1、5、14、30、55、91、140、204、285、385、506、650、819、1015、1240、1496、1785、2109、2470、2870、3311、3795、4324、4900、5525、6201...

1から始まる最初の奇数の和は平方数になります。1、1 + 3、1 + 3 + 5、1 + 3 + 5 + 7、など。これはガリレオの奇数の法則を説明しています。静止状態から落下する物体が最初の任意の時間間隔で1単位の距離を進む場合、同じ長さのその後の時間間隔では3、5、7、…単位の距離を進みます。${\displaystyle s=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}}$u = 0でaが定数(空気抵抗のない重力による加速度)の場合、sはt ²に比例し、開始点からの距離は経過時間の整数値に対して連続する平方数になります。^{[ 2 ]}

最初のn個の立方数の和は、最初のn個の正の整数の和の二乗に等しい。これがニコマコスの定理である。

4乗、6乗、8乗など、すべての数は平方数である。

三角数との独特な関係${\displaystyle T_{n}}$は：$${\displaystyle (T_{n})^{2}+(T_{n+1})^{2}=T_{(n+1)^{2}}}$$

偶数の平方数は偶数であり、4で割り切れます。なぜなら、(2 n ) ² = 4 n ²だからです。奇数の平方数は奇数であり、 8を法として1と合同です。なぜなら、(2 n + 1) ² = 4 n ( n + 1) + 1 であり、n ( n + 1)は常に偶数だからです。言い換えれば、すべての奇数の平方数は、8で割ると余りが1になります。

すべての奇数の平方数は、中心が八角数です。任意の2つの奇数の平方数の差は、8の倍数です。1とそれより大きい任意の奇数の平方数の差は常に三角数の8倍であり、9とそれより大きい任意の奇数の平方数の差は、三角数から8を引いた値の8倍です。すべての三角数は奇数の因数を持ちますが、2 ⁿの2つの値の差は奇数の因数を含むことはないため、2 ⁿ − 1の形の平方数は 1 のみであり、 2 ⁿ + 1の形の平方数は 9 のみです。

• 数がm 5の形式で、 m が前の桁を表す場合、その平方数は n 25 となります。ここでn = m ( m + 1)であり、25 より前の桁を表します。例えば、65 の平方数はn = 6 × (6 + 1) = 42で計算でき、平方数は 4225 となります。
• 数がm 0の形式である場合（ここでm は前の桁を表す）、その2乗はn 00であり、n = m ²です。たとえば、70 の2乗は 4900 です。
• 数が 2 桁で、5 mの形式である場合（m は一の位を表す）、その 2 乗はaabbで、^aa = 25 + m、bb = m ²です。たとえば、57 の 2 乗を計算するには、m = 7で、25 + 7 = 32、7 2 = 49なので、57 ² = 3249 となります。
• 数が 5 で終わる場合、その 2 乗も 5 で終わります。同様に、25、625、0625、90625、... 8212890625 などで終わる場合も同様です。数が 6 で終わる場合、その 2 乗も 6 で終わります。同様に、76、376、9376、09376、... 1787109376 などで終わる場合も同様です。例えば、55376 の 2 乗は 3066501376 で、どちらも376で終わります。（5、6、25、76 などは保型数と呼ばれます。これらはOEISでは数列A003226です。^{[ 3 ]}）
• 10進数では、平方数の最後の2桁は、25の倍数を中心に対称的に繰り返されるパターンに従います。24と26の例では、どちらも25から1つ離れており、24² = 576、26² = 676となり^、どちらも76で終わります。一般に、${\textstyle (25n+x)^{2}-(25n-x)^{2}=100nx}$250の倍数付近の最後の3桁についても同様のパターンが当てはまります。その結果、可能な100通りの最後の2桁のうち、平方数に含まれるのはわずか22通りです（00と25が重複するため）。

• コンウェイ、JH、ガイ、RK 『数字の書』ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、 30-32頁、1996年。ISBN 0-387-97993-X
• キラン・パルレカール。正方形の驚くべき性質とその計算。キラン・アニル・パルレカール、2012 https://books.google.com/books?id=njEtt7rfexEC