排中律

論理学 において、排中律あるいは排中原理とは、すべての命題について、その命題またはその否定のいずれかが真であると述べるものである。^{[1] [2]これは、}矛盾律、同一性律とともに思考の3法則の1つである。しかし、これらの法則のみに基づいて構築される論理体系はなく、これらの法則のいずれも、モダスポネンスやド・モルガンの法則などの推論規則を提供しない。この法則は、ラテン語で排第三の法則/原理とも呼ばれ、principium tertii exclusiである。この法則の別のラテン語表記は、 tertium non datur、つまり「第三の可能性は与えられていない」である。古典論理学では、この法則はトートロジーである。

現代論理学では、この原理は、すべての命題は真か偽かのいずれかであるとする意味論的原理である二価性原理とは区別される。二価性原理は常に排中律を意味するが、その逆は必ずしも真ではない。よく引用される反例としては、現在は証明できないが将来証明できる命題を用いて、二価性原理が成り立たないときに排中律が適用される可能性があることを示すものがある。^[3]

最も古い定式化は、アリストテレスの『解釈について』で初めて提唱された無矛盾の原理に関する議論の中にある。^{[4]彼は、二つの}矛盾する命題（つまり、一方の命題が他方の命題の否定である命題）のうち、一方は真で、他方は偽でなければならないと述べている。^{[5]彼はまた、}形而上学第4巻でもこれを原理として述べており、すべての場合に肯定か否定が必要であり、^[6]矛盾の二つの部分の間に何かが存在することは不可能である、と述べている。^[7]

アリストテレスは、曖昧さは曖昧な名前の使用から生じることはあるが、事実そのものには存在しない、と書いています。

したがって、「人間」が一つの主題について何かを意味するだけでなく、一つの意義も持つのであれば、「人間であること」がまさに「人間ではないこと」を意味するということはあり得ない。…そして、あることが同じことであり、また同じことでないことは、あいまいさのためでなければあり得ない。ちょうど、私たちが「人間」と呼び、他の人が「人間ではない」と呼ぶようなものである。しかし、問題となるのは、同じものが名目上は人間であり、かつ名目上は人間ではないということが同時にあり得るかどうかではなく、実際にあり得るかどうかである。（形而上学4.4、WD Ross（訳）、GBWW 8、525-526）。

アリストテレスの「同じものであると同時に同じではないということはあり得ない」という主張は、命題論理では ~( P ∧ ~ P ) と記述されます。現代のいわゆる古典論理では、この文は、アリストテレスの主張の否定を分配することで、排中律 ( P ∨ ~ P ) と同等になります。前者は、真と偽の両方の文は存在しないと主張しますが、後者は、すべての文が真か偽の いずれかであることを要求します。

しかし、アリストテレスは、「矛盾が同時に同じ事物について真であることは不可能であるので、明らかに、矛盾が同時に同じ事物に属することもできない」とも書いている（第 4 巻、第 6 章、531 ページ）。そして、「矛盾の間に中間的なものは存在できず、1 つの主題について、1 つの述語を肯定するか否定するかのいずれかにしなければならない」と提案している（第 4 巻、第 7 章、531 ページ）。アリストテレスの伝統的な論理学の文脈では、これは排中律P ∨ ~ Pの非常に正確な記述である。

しかし、アリストテレスは『解釈について』の中で、海戦についての議論の中で、 将来の偶発事象に関しては排中律を否定しているようだ。

通常の形式は、「すべての判断は真か偽かのどちらかである」[脚注 9] …"(Kolmogorov in van Heijenoort、p. 421 より) 脚注 9: 「これはライプニッツの非常に単純な定式化である ( Nouveaux Essais 、IV、2を参照)」(同書、p 421)

この原理は、ラッセルとホワイトヘッドによって『プリンキピア・マセマティカ』の中で命題論理の定理として述べられました。

${\displaystyle \mathbf {*2\cdot 11} .\ \ \vdash .\ p\ \vee \thicksim p}$^[8 ]

では、「真実」と「虚偽」とは一体何なのでしょうか? 冒頭で首相はいくつかの定義を簡単に発表します。

真理値。命題の「真理値」は、それが真であれば真理であり、偽であれば偽である* [*このフレーズはフレーゲによるものです] …「p ∨ q」の真理値は、p または q の真理値が真であれば真理であり、そうでない場合は偽である…「~ p」の真理値は p の真理値の反対である…」(pp. 7–8)

これはあまり役に立ちません。しかし、後で、より深い議論の中で (「真実と虚偽の定義と体系的な曖昧さ」第 II 章第 III 部、p. 41 以降)、PM は真実と虚偽を「a」と「b」と「知覚者」との関係で定義しています。たとえば、「この「a」は「b 」です」(たとえば、「この「オブジェクト a」は「赤い」です) は、実際には「「オブジェクト a」は感覚データ」であり、「「赤い」は感覚データ」であり、それらは互いに「関係して」おり、「私」との関係にあります。したがって、私たちが本当に意味しているのは、「私は「このオブジェクト a は赤い」と知覚する」ということであり、これは第三者によって否定できない「真実」です。

PM はさらに、「感覚データ」と「感覚」の区別を定義しています。

つまり、私たちが「これは赤い」と判断する（言う）とき、心と「これ」と「赤い」という3つの項の関係が生じます。一方、「これの赤さ」を知覚するとき、心と複合対象「これの赤さ」という2つの項の関係が生じます（pp. 43–44）。

ラッセルは、 PM（1910-1913） と同時期に出版された著書『哲学の問題』 （1912年）の中で、「感覚データ」と「感覚」の区別を繰り返した。

感覚で直接認識されるもの、たとえば色、音、匂い、硬さ、ざらつきなどを「感覚データ」と名付けましょう。これらのものを直接認識する経験には「感覚」という名前を付けましょう。色自体は感覚データであり、感覚ではありません。(p. 12)

ラッセルは、同じ本（第 12 章「真実と虚偽」 ） の中で、「真実」と「虚偽」の定義の背後にある理論をさらに説明しています。

ホワイトヘッドとラッセルは、排中律、つまり『プリンキピア・マテマティカ』の公式✸2.1 から、論理学者の議論ツールキットの中で最も強力なツールのいくつかを導き出しました。( 『プリンキピア・マテマティカ』では、公式と命題は、先頭のアスタリスクと 2 つの数字で識別されます (例: "✸2.1")。)

✸2.1 ~ p ∨ p「これが排中律である」（PM、p.101）。

✸2.1 の証明は、おおよそ次のようになります。「基本概念」1.08 は、p → q = ~ p ∨ qを定義します。この規則でq をpに置き換えると、 p → p = ~ p ∨ pになります。 p → p は真であるため(これは別途証明される定理 2.08 です)、 ~ p ∨ pも真でなければなりません。

✸2.11 p ∨ ~ p (公理 1.4 により、主張の入れ替えが許される)
✸2.12 p → ~(~ p ) (二重否定の原理、その 1: 「このバラは赤い」が真なら、「このバラは赤くない」は真ではない。)
✸2.13 p ∨ ~{~(~ p )} (補題 2.12 と合わせて 2.14 を導出する)
✸2.14 ~(~ p ) → p (二重否定の原理、その 2)
✸2.15 (~ p → q ) → (~ q → p ) (4 つの「転置の原理」の 1 つ。1.03、1.16、1.17 と似ている。ここでは非常に長い証明が必要だった。)
✸2.16 ( p → q ) → (~ q → ~ p ) （「このバラが赤いなら、この豚は飛ぶ」が真なら、「この豚が飛ばないなら、このバラは赤くない」も真である。）
✸2.17 ( ~ p → ~ q ) → ( q → p ) （「転置の原理」のもう 1 つ。）
✸2.18 (~ p → p ) → p （「帰納法の補数」と呼ばれる。これは、自身の誤りを仮定することから導かれる命題は真であると述べている（PM、pp. 103–104）。）

これらの定理のほとんど、特に ✸2.1、✸2.11、および ✸2.14 は直観主義によって否定されます。これらのツールは、コルモゴロフが「ヒルベルトの 4 つの含意公理」および「ヒルベルトの 2 つの否定公理」として引用する別の形式に作り直されます (Kolmogorov in van Heijenoort、p. 335)。

命題✸2.12と✸2.14、「二重否定」：LEJブラウワーの直観主義の著作では、彼が「複数の種の相互性の原理、つまり、あらゆるシステムについて、ある特性の正しさはこの特性の不可能性から生じるという原理」と呼んでいるものに言及しています（ブラウワー、同書、335ページ）。

この原理は一般に「二重否定の原理」と呼ばれます ( PM、pp. 101–102)。排中律 (✸2.1 および ✸2.11) から、PM は原理 ✸2.12 を直ちに導きます。2.11 のpを ~ pに置き換えると、~ p ∨ ~(~ p ) となり、含意の定義 (つまり 1.01 p → q = ~p ∨ q) により、~p ∨ ~(~p)= p → ~(~p) となります。QED (2.14 の導出はもう少し複雑です。)

少なくとも二価論理の場合、つまりカルノー図で確認できる場合、この法則は彼の法則 (3) で使用されている包含​​的または包含的またはの「中間」を削除することは正しい。そして、これが、排他的または包含的またはの代わりとなるべきだと考える人がいるというライヘンバッハの論証のポイントである。

この問題について（確かに非常に技術的な言葉で）ライヘンバッハは次のように述べています。

テルティウム・ノン・ダトゥール

29. ( x )[ f ( x ) ∨ ~ f ( x )]

は主要な用語が網羅的ではなく、したがって誇張された式である。この事実は、(29)を包含的「または」で書くのは不合理であると考える人がいて、排他的「または」の記号で書くことを望む理由をおそらく説明できるかもしれない。

30. ( x )[ f ( x ) ⊕ ~ f ( x )]、ここで記号「⊕」は排他的論理和を表す^[9]

その形式であれば、それは完全に網羅的であり、したがって狭い意味での法則論的である。（ライヘンバッハ、376ページ）

（30）行目の「（x）」は「すべての」または「すべての」を意味し、ラッセルとライヘンバッハが使用した形式です。今日では、記号は通常xです。したがって、表現の例は次のようになります。 ${\displaystyle \forall}$

• (豚) : (ハエ(豚) ⊕ ~ハエ(豚))
• (「豚」が見られる場合と見られない場合のすべてのインスタンスについて): (「豚は飛ぶ」または「豚は飛ばない」ですが、両方が同時に起こることはありません)

1800 年代後半から 1930 年代にかけて、ヒルベルトとその追随者とヘルマン・ワイルおよびLEJ ブラウワーとの間で、激しく執拗な論争が繰り広げられました。ブラウワーの哲学は直観主義と呼ばれ、 1800 年代後半に レオポルド・クロネッカーによって本格的に始まりました。

ヒルベルトはクロネッカーの考えを激しく嫌っていた。

クロネッカーは、構築なしに存在はあり得ないと主張した。彼にとって、ポール・ゴーダン（もう一人の老数学者）にとって、ヒルベルトによる不変系の基底の有限性の証明は、単に数学ではなかった。一方、ヒルベルトは、概念に割り当てられた属性が決して矛盾をもたらさないことを証明できれば、その概念の数学的存在はそれによって確立される、と生涯にわたって主張した（リード、34 ページ）。

クロネッカーの主張は、実際に有限個の正の整数で構成できない限り、数学的存在を持つものは何もないということであった（リード、26ページ）

この論争はヒルベルトに大きな影響を与えた。リードは、ヒルベルトの第二の問題（1900 年にパリで開催された第二回国際会議でヒルベルトが提起した問題の 1 つ）がこの論争から生まれたと指摘している（原文ではイタリック体）。

2番目の問題では、[ヒルベルト]は実数の算術公理の一貫性の数学的証明を求めました。

この問題の重要性を示すために、彼は次のような観察を加えました。

「もし矛盾する属性が概念に割り当てられるならば、その概念は数学的には存在しないと言う」（リード p. 71）

したがって、ヒルベルトは「pと ~ p の両方が真であることが証明された場合、p は存在しない」と述べ、それによって排中律を背理法の形で呼び出していました。

そして最後に、構成主義者は…数学を有限または潜在的に（実際にはそうではないが）無限の構造に対する具体的な操作の研究に限定し、完成した無限の全体性は…排中律に基づく間接的な証明と同様に拒否した。構成主義者の中で最も急進的だったのは、かつての位相学者 LEJ ブラウワーが率いる直観主義者であった（ドーソン p. 49）。

激しい論争は 1900 年代初頭から 1920 年代にかけて続き、1927 年に Brouwer は「[直観主義] に対して冷笑的な口調で論争する」ことに不満を漏らしました (Brouwer in van Heijenoort、p. 492)。しかし、論争は実り多いものでした。その結果、Principia Mathematica (1910-1913) が生まれ、その著作は排中律の正確な定義を与え、これらすべてが 20 世紀初頭の数学者に必要な知的環境とツールを提供しました。

この憎しみから、そして部分的にはそれが引き起こした、いくつかの重要な論理的発展が生まれた。ツェルメロの集合論の公理化（1908a）は、その2年後に続いた『プリンキピア・マテマティカ』第1巻で、ラッセルとホワイトヘッドは、型の理論を通じて、算術の多くを論理主義的な手段で開発できることを示した（ドーソン、49ページ）。

ブラウワーは、議論を「否定的」または「非存在」から設計された証明と「構成的」証明の使用に絞り込んだ。

ブラウワーによれば、与えられた特性を持つ物体が存在するという主張は、原理的には少なくともそのような物体を発見したり構築したりできる方法が知られている場合にのみ証明されるということである…

ヒルベルトは当然ながら反対した。

「純粋存在の証明は、我々の科学の歴史的発展において最も重要な画期的な出来事であった」と彼は主張した。（リード、155 ページ）

ブラウワーは排中律の論理原理を受け入れることを拒否した。彼の議論は次の通りである。

「A が「集合Sには、特性P を持つ要素が存在する」という文であるとする。集合が有限であれば、原理的には、Sの各要素を調べて、特性P を持つSのメンバーが存在するか、またはSのすべてのメンバーが特性P を欠いているかを判断することが可能である。」(引用符が抜けていた) したがって、有限集合については、Brouwer は排中律を有効なものとして受け入れた。彼は、無限集合についてはこの原理を受け入れることを拒否した。なぜなら、集合Sが無限であれば、原理的にさえ、集合の各メンバーを調べることができないからである。調べている途中で、特性Pを持つ集合のメンバーが見つかった場合、最初の選択肢が実証される。しかし、そのようなメンバーが見つからない場合、2 番目の選択肢はまだ実証されていない。

数学の定理は、否定すると矛盾が生じることを証明することによって証明されることが多いため、ブラウワーが示唆したこの 3 番目の可能性は、現在受け入れられている数学的な記述の多くに疑問を投げかけることになります。

「数学者から排中律を奪うことは、ボクサーに拳の使用を禁じることと同じだ」とヒルベルトは言った。

「ワイルは、負ける可能性を気にしていなかったようだ…ブラウワーのプログラムが今後のものだと彼はチューリッヒの友人たちに強く主張した。」(リード、149 ページ)

ゲーデルは1941年にイェール大学で行った講義とその後の論文で、次のような解決策を提案した。「普遍命題の否定は反例の存在を主張するものとして理解されるべきである」 (ドーソン、157ページ)

ゲーデルの排中律へのアプローチは、「『非述語的定義』の使用」に対する異議が「排中律や命題論理学の関連定理」よりも「重要だった」と主張することだった (ドーソン、156 ページ)。彼は「Σ システムを提案し、その解釈のいくつかの応用について言及して結論を​​下した。その中には、原理 ~ (∀A: (A ∨ ~A)) の直観主義論理との一貫性の証明 (仮定 ∃ A: ~ (A ∨ ~A)) があった (ドーソン、157 ページ) (閉じ括弧は付けられていなかった)

議論は弱まったようだ。数学者、論理学者、エンジニアは排中律（および二重否定）を日常業務で使い続けている。

以下は、「知る」ことの意味の背後にある深い数学的、哲学的問題を強調し、「法則」が意味するもの（つまり、法則が実際に意味するもの）を明らかにするのに役立ちます。法則に対する彼らの困難は、検証不可能な（テスト不可能、知り得ない）もの、または不可能なことや偽りから引き出された含意を真実として受け入れたくないという点です。（引用はすべて van Heijenoort によるもので、強調は筆者によるものです）。

ブラウワーは「排中律」の定義を提示しているが、ここでは「検証可能性」の問題も見られる。

先ほど述べた検証可能性に基づいて、特定の有限な主システム内で考え出された特性については、「排中律」、すなわち、あらゆるシステムにおいて、あらゆる特性は正しいか不可能かのどちらかであるという原理、特に相補種の相互性の原理、すなわち、あらゆるシステムにおいて、ある特性の正しさは、その特性の不可能性の不可能性から生じるという原理が成立する。(335) ^[要出典]

コルモゴロフの定義はヒルベルトの否定公理を引用している

5. A → (~ A → B )
6. ( A → B ) → { (~ A → B ) → B }

ヒルベルトの第一否定公理「偽からは何であれ従う」は、第一含意公理と同様に、記号論理の出現とともに初めて登場しました…一方…検討中の公理[公理5]は、不可能なことの結果について何かを主張しています。つまり、真の判断Aが偽であるとみなされる場合、 Bを受け入れなければならないということです…

ヒルベルトの第二否定公理は排中律を表現します。この原理は、導出に使用される形式で表現されます。つまり、B がAからも ~ Aからも導かれる場合、Bは真です。その通常の形式である「すべての判断は真か偽かのいずれかである」は、上記の形式と同等です。

否定の最初の解釈、つまり判断を真と見なすことの禁止からは、排中律が真であるという確信を得ることは不可能である…ブラウワーは、そのような超限判断の場合、排中律は自明であるとは考えられないことを示した。

脚注9：「これはライプニッツの非常に単純な定式化である（Nouveaux Essais 、IV、2を参照）。「 AはBであるか、そうでないかのどちらかである」という定式化は、判断の論理とは何の関係もありません。

脚注10：「象徴的に第2の形式は次のように表現される。

あ〜あ

ここで∨は「または」を意味します。2つの形式の同値性は簡単に証明できます（p. 421）

たとえば、P が命題である場合:

ソクラテスは死ぬ運命にある。

排中律によれば、論理和は次のようになります。

ソクラテスは死ぬか、死ぬことはないかのどちらかである。

は、その形式のみによって真である。つまり、ソクラテスは死ぬことも死ぬこともないという「中間」の立場は論理によって排除され、したがって、最初の可能性（ソクラテスは死ぬ）またはその否定（ソクラテスは死ぬわけではない）のいずれかが真でなければならない。

排中律に基づく議論の例は次の通りである。^[10]我々は次のことを証明しようとしている。

2 つの無理数 と、有理数となるような数が存在する。${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a^{b}}$

は無理数であることが知られている（証明を参照）。次の数を考える。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$。

明らかに（排中律）この数は有理数か無理数のいずれかである。有理数であれば証明は完了し、

${\displaystyle a={\sqrt {2}}}$そして。${\displaystyle b={\sqrt {2}}}$

しかし、が無理数であれば、 ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$そして。${\displaystyle b={\sqrt {2}}}$

それから

${\displaystyle a^{b}=\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{\left({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}\right)}={\sqrt {2}}^{2}=2}$、

そして 2 は確かに有理数です。これで証明は終わりです。

上記の議論では、「この数は有理数か無理数のいずれかである」という主張は排中律を前提としています。たとえば、直観主義者は、その主張をさらに裏付ける証拠がなければ、この議論を受け入れないでしょう。これは、問題の数が実際に無理数 (または場合によっては有理数) であることの証明、またはその数が有理数かどうかを判断できる有限アルゴリズムの形で示される可能性があります。

上記の証明は、直観主義者によって認められていない非構成的証明の例です。

この証明は非構成的です。なぜなら、定理を満たす具体的な数値は示されておらず、 2 つの別々の可能性しか示されていないからです。そのうちの 1 つは機能するはずです。(実際には無理数ですが、その事実の簡単な証明は知られていません。) (Davis 2000:220)${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$

(上記の特定の例の構成的証明は作成するのが難しくありません。たとえば、とが無理数であることが簡単に示され、;これは直観主義者によって認められた証明です)。 ${\displaystyle a={\sqrt {2}}}$${\displaystyle b=\log_{2}9}$${\displaystyle a^{b}=3}$

デイビスが非構成的と表現する意味は、「特定の条件を満たす数学的実体が実際に存在するという証明は、問題となっている実体を明示的に示す方法を提供する必要はない」ということである (p. 85)。このような証明は、完全な全体性の存在を前提としているが、これは直観主義者が無限に拡張した場合には認められない概念である。直観主義者にとって、無限は決して完全ではない。

古典数学では、直観主義者が受け入れない非構成的または間接的な存在証明が行われる。たとえば、 P ( n )となるnが存在することを証明するために、古典数学者は、すべてのnに対してP(n)となるのではなく、すべてのnに対してP ( n )となるという仮定から矛盾を演繹するかもしれない。古典論理と直観主義論理の両方において、背理法によって、これはすべてのnに対してP ( n )となるのではなく、すべてのnに対してP(n)となるわけではないという結果をもたらす。古典論理では、この結果をP( n )となるnが存在すると変換できるが、一般には直観主義的ではない…古典的な意味、つまり自然数の完全な無限総体のどこかにP ( n )となるnが存在するという表現は、直観主義者には利用できない。なぜなら、彼は自然数を完全な総体として考えていないからである。^[11] (Kleene 1952:49–50)

デイヴィッド・ヒルベルトとルイツェン・E・J・ブラウワーはともに、排中律が無限に拡張された例を挙げている。ヒルベルトの例：「素数は有限個しか存在しないか、無限個存在するかのいずれかであるという主張」（デイヴィス 2000:97 で引用）とブラウワーの例：「すべての数学的種は有限か無限のいずれかである」（ブラウワー 1923、ヴァン・ヘイジェノールト 1967:336 参照）。一般に、直観主義者は排中律の使用を有限集合（集合）に関する議論に限定する場合は認めるが、無限集合（自然数など）に関する議論で使用する場合は認めない。したがって、直観主義者は「無限集合Dに関するすべての命題Pについて、Pまたは ~ Pである」（クリーネ 1952:48）という包括的な主張を絶対に認めない。^[12]

排中律の反例としては、嘘つきのパラドックスやクワインのパラドックスが考えられる。これらのパラドックスの特定の解決法、特にLP で形式化されたグラハム・プリーストの二元論では、排中律が定理となっているが、嘘つきは真と偽の両方として解決される。このように、排中律は真であるが、真実そのもの、したがって選言は排他的でないため、選言の 1 つが逆説的であるか、真と偽の両方であるかはほとんど何も示さない。

カトゥスコティ（テトラレンマ）は、排中律の古代の代替法であり、命題とその否定に対する真理値の可能な4つの割り当てをすべて検討します。これは、ピュロン主義として知られる古代ギリシャの哲学学派だけでなく、インド論理学や仏教論理学でも重要でした。

多くの現代の論理体系では、排中律を否定は失敗という概念に置き換えている。命題は真か偽かのどちらかではなく、真であるか、真であると証明できないかのどちらかである。^{[13]これら2つの二分法は、}完全でない論理体系でのみ異なる。否定は失敗という原理は、自己認識論理の基礎として使用され、論理プログラミングで広く使用されている。これらのシステムでは、プログラマーは排中律を真の事実として自由に主張できるが、これらのシステムに先験的に組み込まれているわけではない。

L. E. J. ブラウワーやアーレント・ヘイティングなどの数学者も、現代数学における排中律の有用性に異議を唱えている。^[14]

現代の数学的論理では、排中律は自己矛盾を引き起こす可能性があると論じられてきた。論理では、真でも偽でもない、よく構成された命題を作ることは可能であり、その一般的な例は「嘘つきのパラドックス」^[15] 、つまり「この文は偽である」という文が、それ自体が真でも偽でもないと論じられることである。アーサー・プライアーは、このパラドックスは真でも偽でもない文の例ではないと主張した。排中律はここでも成立し、この文「この文は偽ではない」の否定は真とすることができる。集合論では、そのような自己言及的パラドックスは、「自分自身を含まないすべての集合の集合」という集合を調べることによって構築することができる。この集合は明確に定義されているが、ラッセルのパラドックスにつながる: ^{[16] [17]}集合は、その要素の 1 つとして自分自身を含むか?しかし、現代のツェルメロ・フランケル集合論では、この種の矛盾はもはや認められていない。さらに、カリーのパラドックスのように、否定をまったく呼び出さなくても自己言及のパラドックスを構築することができる。^[要出典]

いくつかの論理体系には、異なるが類似した法則があります。有限のn値論理には、排他n +1法則と呼ばれる類似の法則があります。否定が循環的で、「∨」が「最大演算子」である場合、その法則はオブジェクト言語で (P ∨ ~P ∨ ~~P ∨ ... ∨ ~...~P) と表現できます。ここで、「~...~」はn −1 個の否定記号を表し、「∨ ... ∨」はn −1 個の選言記号を表します。文がn 個の真理値の少なくとも 1 つ (およびn 個以外の値ではない値)を受け取る必要があることは簡単に確認できます。

他のシステムでは法律を完全に拒否します。^[指定]

特によく研究されている中間論理はド・モルガン論理によって与えられ、これは直観主義論理に公理を追加したもので、弱い排中律と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle \neg P\lor \neg \neg P}$

これは他のいくつかのステートメントと同等です:

• ド・モルガンの法則をすべて満たし、${\displaystyle \neg (P\land Q)\,\leftrightarrow \,\neg P\lor \neg Q}$
• ${\displaystyle (P\to Q)\lor (\neg P\to \neg Q)}$
• ${\displaystyle (P\to (Q\lor \neg R))\to ((P\to Q)\lor (P\to \neg R))}$

• ブラウワー・ヒルベルト論争 – 20 世紀数学における基礎論争: 排中律をめぐる形式主義と直観主義の分裂に関する説明
• Consequentia mirabilis  – 命題論理における推論のパターン
• 構成的集合論
• ディアコネスクの定理
• 二分法 – 全体を重複しない2つの部分に分割すること。2元的な関係とプロセス
• 同質性（言語学）  - 複数形の意味特性リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ：自然言語で LEM が失敗するケース
• 排他四則 – 不確定値を含むシステムリダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 排中律は多値論理では成り立たない –三値論理 など真理値が 2 つ以上ある命題論理 – 不定値リダイレクト先の簡単な説明を表示するページやファジィ論理を含むシステム – 曖昧さについての推論システム
• 思考の法則 – 合理的議論の公理リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 全知の限定原理 – 数学的概念
• 論理グラフ – 命題論理の図式表記法の一種リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ：命題論理のグラフィカル構文
• 論理的決定論 - 未来についての命題は必然的に真であるか、その否定は必然的に真であるかのどちらかであるという見解：中間から様相フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページへの適用は排除される - 形式論理命題の種類
• 数学的構成主義
• プラサンギカにおける非肯定的否定 - チベット仏教の宗派における教義上の区別リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ。排中律が成り立たない別の体系。
• パースの法則 – 論理と哲学で使われる公理：直感を古典的にするもう一つの方法

• トマス・アクィナス、「神学大全」、イングランド・ドミニコ会の父（訳）、ダニエル・J・サリバン（編）、第19～20巻、ロバート・メイナード・ハッチンズ（編）『西洋世界の偉大な本』、ブリタニカ百科事典社、イリノイ州シカゴ、1952年。GB 19～20として引用。
• アリストテレス、「形而上学」、WD ロス(訳)、第 8 巻、ロバート メイナード ハッチンズ(編)、西洋世界の偉大な書物、Encyclopædia Britannica、Inc.、イリノイ州シカゴ、1952 年。GB 8 として引用。初版、WD ロス (訳)、アリストテレス著作、オックスフォード大学出版局、オックスフォード、英国。
• Martin Davis 2000、「Engines of Logic: Mathematicians and the Origin of the Computer」、WW Norton & Company、NewYork、ニューヨーク、ISBN 0-393-32229-7 pbk。 
• ドーソン、J.、「論理的ジレンマ：クルト・ゲーデルの生涯と業績」、AKピーターズ、マサチューセッツ州ウェルズリー、1997年。
• van Heijenoort, J. , From Frege to Gödel, A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 , Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts, 1967. 1977年に訂正を加えて再版。
• ルイツェン・エグベルトゥス・ヤン・ブラウワー、1923年、「数学、特に関数論における排中律の重要性について」 [解説付きで再版、334ページ、ヴァン・ヘイエノールト]
• アンドレイ・ニコラエヴィチ・コルモゴロフ、1925年、「排中律について」[解説付き再版、p. 414、ヴァン・ヘイエノールト]
• Luitzen Egbertus Jan Brouwer、1927、「関数の定義域について」[解説付きで再版、p. 446、van Heijenoort] 直接関係はないが、Brouwer は (1923) の中で、この論文で定義されている特定の単語を使用している。
• Luitzen Egbertus Jan Brouwer、1927(2)、形式主義に対する直観主義的考察、[解説付き再版、p. 490、ファン・ハイエノールト]
• Stephen C. Kleene 1952 年初版、1971 年訂正第 6 刷、1991 年第 10 刷、「Introduction to Metamathematics」、North-Holland Publishing Company、アムステルダム、ニューヨーク、ISBN 0-7204-2103-9。 
• Kneale, W.およびKneale, M. , The Development of Logic , Oxford University Press, Oxford, UK, 1962. 1975 年に訂正を加えて再版。
• アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドとバートランド・ラッセル著『プリンキピア・マセマティカ』、ケンブリッジ大学出版局、1962年（1927年第2版、再版）。難解な記号表現のため非常に難しいが、真剣な論理学者には必携の書。
• バートランド・ラッセル、『意味と真理の探求』。1940 年にハーバード大学で行われたウィリアム・ジェームズ講演。
• バートランド・ラッセル著『哲学の問題、ジョン・ペリーによる新序文付き』オックスフォード大学出版局、ニューヨーク、1997年版（初版1912年）。読みやすい。
• バートランド・ラッセル、『哲学の技術とその他のエッセイ』、リトルフィールド・アダムス社、ニュージャージー州トトワ、1974 年版 (初版 1968 年)。「推論の技術」に関する素晴らしいエッセイが含まれています。
• ハンス・ライヘンバッハ『記号論理学の要素』ドーバー、ニューヨーク、1947年、1975年。
• トム・ミッチェル『機械学習』WCB McGraw–Hill、1997年。
• コンスタンス・リード『ヒルベルト、コペルニクス』：Springer–Verlag New York, Inc. 1996、初版1969年。インタビューから得た豊富な伝記情報が含まれています。
• Bart Kosko著『Fuzzy Thinking: The New Science of Fuzzy Logic』、Hyperion、ニューヨーク、1993 年。ファジー思考の最高峰であり、概念の入門書としても最適です。
• デイヴィッド・ヒューム『人間の理解力に関する探究』、ブリタニカ百科事典第35巻、1952年、449ページ以降に再版。この作品は、ヒュームが1758年に「少年期」の『人間本性論』を書き直したものとして出版された。『存在』は、道徳的主題に推論の実験的手法を導入する試みである。第1巻、理解力について初版は1739年で、再版はデイヴィッド・ヒューム『人間の本性論』 、ペンギン・クラシックス、1985年。また、デイヴィッド・アップルバウム『ヒュームのビジョン』 、ベガ、ロンドン、2001年も参照。 『探究』の一部の再版は94ページ以降から始まる。

• スタンフォード哲学百科事典の「矛盾」の項目