別居関係

構成的数学において、分離関係は不等式の構成的形式であり、等式よりも基本的であると考えられることが多い。

分離関係は、より弱い等式の否定（否定不等式）と区別するために、（ユニコードでは⧣ ）と表記されることが多い。文献では、記号はこれらのどちらにも使用されていることが確認されている。 ${\displaystyle \#}$${\displaystyle \neq}$

二項関係が分離関係であるのは、次の条件を満たす場合である: ^[1]${\displaystyle \#}$

1. ${\displaystyle \neg (x\#x)}$
2. ${\displaystyle x\#y\;\to \;y\#x}$
3. ${\displaystyle x\#y\;\to \;(x\#z\;\vee \;y\#z)}$

したがって、分離関係は、2 つの要素が離れている場合、他のすべての要素は少なくともそのうちの 1 つから離れているという追加条件を伴う対称的な 非反射 二項関係です。この最後の特性は、共推移性または比較と呼ばれることがよくあります。

分離関係の補集合は同値関係であり、上記の3つの条件は反射性、対称性、推移性となる。この同値関係が実際に等価である場合、分離関係は緊密であると呼ばれる。つまり、は${\displaystyle \#}$さらに次の条件を満たす場合、密接な分離関係となります。

4.${\displaystyle \neg (x\#y)\;\to \;x=y.}$

古典数学では、すべての分離関係は同値関係の補集合であり、与えられた集合上の唯一の密接な分離関係は等値の補集合であるということも分かります。したがって、その分野では、この概念は役に立ちません。しかし、構成的数学ではそうではありません。

典型的な分離関係は実数の分離関係です。2 つの実数の間に有理数が存在する(構成できる)場合、それらの実数は分離していると言われます。言い換えると、実数と は、またはとなる有理数が存在する場合に分離しています。実数の自然な分離関係は、その自然な疑似順序の選言です。複素数、実ベクトル空間、および実際には任意の距離空間は、自然な順序付けが備わっていなくても、実数の分離関係を自然に継承します。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x<z<y}$${\displaystyle y<z<x.}$

2 つの実数の間に有理数が存在しない場合は、2 つの実数は等しい。したがって、古典的には、2 つの実数が等しくない場合は、それらの間に有理数が存在すると結論付けられる。しかし、実際にそのような数を構築できるというわけではない。したがって、2 つの実数が離れていると言うことは、等しくないと言うことよりも、構成的に強い表現であり、実数の等しさは離れていることで定義できるが、実数の離れていることは等しさで定義できない。このため、特に構成的位相幾何学では、集合上の離れている関係はしばしば原始的とみなされ、等しさは定義された関係である。

分離関係を与えられた集合は構成的集合体として知られている。そのような集合体と の間の関数は、強い外延性の性質が成り立つ場合 、 との射と呼ばれることがある。${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \#_{A}}$${\displaystyle \#_{B}}$

${\displaystyle \forall (x,\,y\colon A).\,f(x)\;\#_{B}\;f(y)\to x\;\#_{A}\;y.}$

これは関数の外延性、つまり関数が等式を保持するという性質と比較されるべきです。実際、共通集合論で定義された否定不等式の場合、前者は後者の逆否定を表します。

• 同値類 – 数学的概念