e が無理数であることの証明

数e は1683年にヤコブ・ベルヌーイによって導入されました。半世紀以上経って、ヤコブの弟ヨハンの弟子であったオイラーが、e が無理数であること、つまり 2 つの整数の商として表すことができないことを証明しました。

オイラーは1737年にeが無理数であるという事実の最初の証明を書いた（しかしテキストが出版されたのは7年後だった）。^{[1] [2] [3]彼は}eを単純な連分数として表現し、それは

${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,\ldots ,2n,1,1,\ldots ].}$

この連分数は無限大であり、すべての有理数は終端連分数を持つため、eは無理数である。前の等式の簡単な証明は知られている。^{[4] [5]} eの単純連分数は周期的でないため、 eは有理係数の2次多項式の根ではないことも証明される。特に、e ^{2 は}無理数である。

最もよく知られている証明はジョセフ・フーリエの背理法による証明^[6]であり、これは次の等式に基づいています。

${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}.}$

最初にeは、次の形式の有理数であると仮定します。1つの/b⁠。その考え方は、eの級数表現と、その厳密に小さいb番目の部分和（極限値eに近似する）との間のスケールアップされた差（ここではxと表記）を分析することです。スケール係数をbの 階乗に選択することで、分数⁠1つの/b⁠とb番目の部分和は整数に変換されるため、x は正の整数でなければなりません。ただし、級数表現の高速収束は、xが依然として 1 より小さいことを意味します。この矛盾から、e は無理数であると推測されます。

では詳細を説明します。eが有理数である場合、 e = ⁠となる正の整数aとb が存在します。1つの/b⁠ . 数を定義する

${\displaystyle x=b!\left(e-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}\right).}$

e = ⁠という仮定を用いる。1つの/b⁠取得する

${\displaystyle x=b!\left({\frac {a}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}\right)=a(b-1)!-\sum _{n=0}^{b}{\frac {b!}{n!}}.}$

最初の項は整数であり、各項についてn ≤ b であるため、合計のすべての分数は実際には整数です。したがって、 eが有理数であるという仮定の下では、xは整数です。

ここで0 < x < 1であることを証明します。まず、xが正であることを証明するために、上記のeの級数表現をxの定義に代入して、

${\displaystyle x=b!\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}\right)=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}}>0,}$

すべての項が厳密に正であるからです。

ここでx < 1であることを証明します。n ≥ b + 1のすべての項について、上限推定値が得られます。

${\displaystyle {\frac {b!}{n!}}={\frac {1}{(b+1)(b+2)\cdots {\big (}b+(n-b){\big )}}}\leq {\frac {1}{(b+1)^{n-b}}}.}$

この不等式はn ≥ b + 2に対して厳密である。和の指数をk = n – bに変更し、無限等比級数の公式を用いると、次式が得られる。

${\displaystyle x=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}}<\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {1}{(b+1)^{n-b}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(b+1)^{k}}}={\frac {1}{b+1}}\left({\frac {1}{1-{\frac {1}{b+1}}}}\right)={\frac {1}{b}}\leq 1.}$

そしてそれゆえ${\displaystyle x<1.}$

0と1の間に厳密に含まれる整数は存在しないので、矛盾が生じ、eは無理数となる。QED

もう一つの証明^[7]は、次のことを指摘することで、前の証明から得られる。

${\displaystyle (b+1)x=1+{\frac {1}{b+2}}+{\frac {1}{(b+2)(b+3)}}+\cdots <1+{\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)}}+\cdots =1+x,}$

この不等式は、 bx < 1という主張と同等です。 もちろん、bとx は正の整数なので、これは不可能です。

さらに別の証明^{[8] [9]}は、

${\displaystyle {\frac {1}{e}}=e^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}$

次のように定義します。 ${\displaystyle s_{n}}$

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}$

それから

${\displaystyle e^{-1}-s_{2n-1}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}-\sum _{k=0}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}<{\frac {1}{(2n)!}},}$

これは

${\displaystyle 0<(2n-1)!\left(e^{-1}-s_{2n-1}\right)<{\frac {1}{2n}}\leq {\frac {1}{2}}}$

任意の正の整数に対して。 ${\displaystyle n}$

は常に整数であることに注意してください。 が有理数であると仮定すると、は互いに素であり、が整数、つまり となるように適切に選択することが可能です。したがって、この選択では、との差は整数になります。しかし、上記の不等式から、それは不可能です。したがって、は無理数です。これは、 が無理数であることを意味します。 ${\displaystyle (2n-1)!s_{2n-1}}$${\displaystyle e^{-1}}$${\displaystyle e^{-1}=p/q,}$${\displaystyle p,q}$${\displaystyle q\neq 0.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (2n-1)!e^{-1}}$${\displaystyle n\geq (q+1)/2.}$${\displaystyle (2n-1)!e^{-1}}$${\displaystyle (2n-1)!s_{2n-1}}$${\displaystyle e^{-1}}$${\displaystyle e}$

1840年、リウヴィルはe ²が無理数であることの証明^[10]を発表し、続いてe ²が有理係数の2次多項式の根ではないことの証明を発表しました。^[11]この最後の事実は、e ^{4が無理数であることを意味します。彼の証明は、フーリエによる}eの無理数の証明に似ています。 1891年、フルヴィッツは、同じ考え方に沿って、 e が有理係数の3次多項式の根ではないことを証明する方法を説明しました。これは、 e ³が無理数であることを意味します。^[12]より一般的には、e ^{q は}、任意の非ゼロの有理数qに対して無理数です。^[13]

シャルル・エルミートは1873年にeが超越数であることを証明した。これは、 e ^{α が}非ゼロの代数的 αの場合と同様に、e α が有理係数を持つ多項式の根ではないことを意味する。^[14]

• 指数関数の特徴
• 超越数（eが超越数であることの証明を含む）
• リンデマン・ワイエルシュトラスの定理
• π が無理数であることの証明