オルンシュタイン・ウーレンベック過程

数学において、オルンシュタイン・ウーレンベック過程は、金融数学や物理科学に応用される確率過程です。物理学における元々の応用は、摩擦の影響下にある質量のあるブラウン運動粒子の速度のモデルでした。この過程は、レナード・オルンシュタインとジョージ・ユージン・ウーレンベックにちなんで名付けられました。

オルンシュタイン・ウーレンベック過程は定常 ガウス・マルコフ過程であり、ガウス過程、マルコフ過程、時間的に同次であることを意味します。実際、空間変数と時間変数の線形変換を許容する点まで、これら3つの条件を満たす唯一の非自明な過程です。^[1]時間の経過とともに、この過程は平均関数に向かって移動する傾向があります。このような過程は平均回帰と呼ばれます。

この過程は連続時間におけるランダムウォーク、またはウィーナー過程の修正版であると考えることができる。ウィーナー過程の特性は、ランダムウォークが中心位置に戻る傾向があり、中心から離れるほど吸引力が大きくなるように変更されている。オルンシュタイン・ウーレンベック過程は、離散時間AR(1)過程の連続時間版と考えることもできる。

オルンシュタイン・ウーレンベック過程は次の確率微分方程式によって定義されます。 ${\displaystyle x_{t}}$

${\displaystyle dx_{t}=-\theta \,x_{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$

ここで、およびはパラメータであり、ウィーナー過程を表す。^{[2] [3] [4]}${\displaystyle \theta >0}$${\displaystyle \sigma >0}$${\displaystyle W_{t}}$

追加のドリフト項が追加されることがあります。

${\displaystyle dx_{t}=\theta (\mu -x_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}$

ここで は定数である。オルンシュタイン・ウーレンベック過程は、次の形式の ランジュバン方程式として書かれることもある。${\displaystyle \mu}$

${\displaystyle {\frac {dx_{t}}{dt}}=-\theta \,x_{t}+\sigma \,\eta (t)}$

ここで、ホワイトノイズとしても知られる は、ウィーナー過程の想定される導関数を表します。^[5]しかし、ウィーナー過程はどこでも微分可能ではないため、 は存在しません。^[6]そのため、ランジュバン方程式は分布の意味で解釈した場合にのみ意味をなします。物理学と工学の分野では、これは、ノイズ項がウィーナー過程の微分可能な（たとえばフーリエ）補間の導関数であると暗黙のうちに仮定することにより、オルンシュタイン-ウーレンベック過程や類似の確率微分方程式を表す一般的な表現です。 ${\displaystyle \eta (t)}$${\displaystyle dW_{t}/dt}$${\displaystyle dW_{t}/dt}$

オルンシュタイン・ウーレンベック過程は確率密度関数で記述することもできる。これは、過程が時刻 の状態にある確率を指定する。^[5]この関数はフォッカー・プランク方程式を満たす。${\displaystyle P(x,t)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial t}}=\theta {\frac {\partial }{\partial x}}(xP)+D{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x^{2}}}}$

ここで です。これは、さまざまな手法で解くことができる線形放物型偏微分方程式です。遷移確率はグリーン関数とも呼ばれ、平均と分散のガウス分布です。 ${\displaystyle D=\sigma ^{2}/2}$${\displaystyle P(x,t\mid x',t')}$${\displaystyle x'e^{-\theta (tt')}}$${\displaystyle {\frac {D}{\theta }}\left(1-e^{-2\theta (tt')}\right)}$

${\displaystyle P(x,t\mid x',t')={\sqrt {\frac {\theta }{2\pi D(1-e^{-2\theta (tt')})}}}\exp \left[-{\frac {\theta }{2D}}{\frac {(xx'e^{-\theta (tt')})^{2}}{1-e^{-2\theta (tt')}}}\right]}$

これは、時刻 における初期状態が与えられた場合に、時刻における状態が発生する確率を示します。同様に、は初期条件 を持つフォッカー・プランク方程式の解です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle t'<t}$${\displaystyle P(x,t\mid x',t')}$${\displaystyle P(x,t')=\delta (xx')}$

の特定の値を条件として、平均は ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } (x_{t}\mid x_{0})=x_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})}$

そして共分散は

${\displaystyle \operatorname {cov} (x_{s},x_{t})={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\left(e^{-\theta |ts|}-e^{-\theta (t+s)}\right).}$

定常（無条件）プロセスの場合、 の平均はであり、との共分散はです。 ${\displaystyle x_{t}}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle x_{s}}$${\displaystyle x_{t}}$${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}e^{-\theta |ts|}}$

オルンシュタイン-ウーレンベック過程は、ウィーナー過程とは対照的に、分散が制限され、定常確率分布を許容するガウス過程の一例です。この 2 つの過程の違いは、「ドリフト」項にあります。ウィーナー過程の場合、ドリフト項は一定ですが、オルンシュタイン-ウーレンベック過程の場合、ドリフト項は過程の現在の値に依存します。過程の現在の値が (長期) 平均より小さい場合、ドリフトは正になります。過程の現在の値が (長期) 平均より大きい場合、ドリフトは負になります。言い換えると、平均は過程の平衡レベルとして機能します。このことから、この過程は「平均回帰」というわかりやすい名前で呼ばれています。

時間的に均質なオルンシュタイン・ウーレンベック過程は、スケールされた時間変換されたウィーナー過程として表すことができます。

${\displaystyle x_{t}={\frac {\sigma }{\sqrt {2\theta }}}e^{-\theta t}W_{e^{2\theta t}}}$

ここで、は標準的なウィーナー過程である。これは、Doob 1942の定理1.2にほぼ相当する。同様に、変数を変更すると、次のようになる。 ${\displaystyle W_{t}}$${\displaystyle s=e^{2\theta t}}$

${\displaystyle W_{s}={\frac {\sqrt {2\theta }}{\sigma }}s^{1/2}x_{(\ln s)/(2\theta )},\qquad s>0}$

このマッピングを使用すると、 の既知の特性を の対応するステートメントに変換できます。たとえば、の反復対数法則は次のようになります^[1]${\displaystyle W_{t}}$${\displaystyle x_{t}}$${\displaystyle W_{t}}$

${\displaystyle \limsup _{t\to \infty }{\frac {x_{t}}{\sqrt {(\sigma ^{2}/\theta )\ln t}}}=1,\quad {\text{確率1.}}}$

の確率微分方程式は、パラメータを変化させることによって正式に解くことができる。^[7 ] ${\displaystyle x_{t}}$

${\displaystyle f(x_{t},t)=x_{t}e^{\theta t}\,}$

私たちは得る

${\displaystyle {\begin{aligned}df(x_{t},t)&=\theta \,x_{t}\,e^{\theta t}\,dt+e^{\theta t}\,dx_{t}\\[6pt]&=e^{\theta t}\theta \,\mu \,dt+\sigma \,e^{\theta t}\,dW_{t}.\end{aligned}}}$

からを積分すると、 ${\displaystyle 0}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle x_{t}e^{\theta t}=x_{0}+\int _{0}^{t}e^{\theta s}\theta \,\mu \,ds+\int _{0}^{t}\sigma \,e^{\theta s}\,dW_{s}\,}$

そこで我々は

${\displaystyle x_{t}=x_{0}\,e^{-\theta t}+\mu \,(1-e^{-\theta t})+\sigma \int _{0}^{t}e^{-\theta (ts)}\,dW_{s}.\,}$

この表現から、第1モーメント（つまり平均）は次のように示される。

${\displaystyle \operatorname {E} (x_{t})=x_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})\!\ }$

が定数であると仮定する。さらに、伊藤等長法は共分散関数を 計算するために使用できる。${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (x_{s},x_{t})&=\operatorname {E} [(x_{s}-\operatorname {E} [x_{s}])(x_{t}-\operatorname {E} [x_{t}])]\\[5pt]&=\operatorname {E} \left[\int _{0}^{s}\sigma e^{\theta (u-s)}\,dW_{u}\int _{0}^{t}\sigma e^{\theta (v-t)}\,dW_{v}\right]\\[5pt]&=\sigma ^{2}e^{-\theta (s+t)}\operatorname {E} \left[\int _{0}^{s}e^{\theta u}\,dW_{u}\int _{0}^{t}e^{\theta v}\,dW_{v}\right]\\[5pt]&={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\,e^{-\theta (s+t)}(e^{2\theta \min(s,t)}-1)\\[5pt]&={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\left(e^{-\theta |t-s|}-e^{-\theta (t+s)}\right).\end{aligned}}}$

決定論的被積分関数の伊藤積分は正規分布するので、^[要出典]

${\displaystyle x_{t}=x_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})+{\tfrac {\sigma }{\sqrt {2\theta }}}W_{1-e^{-2\theta t}}}$

過程の無限小生成子は[ ^8]とすると、固有値方程式は次のように簡略化されます。 これはエルミート多項式の定義方程式です。その解は、であり、であり、これは粒子が境界上の点に衝突する平均初回通過時間が のオーダーであることを意味します。 $${\displaystyle Lf=-\theta (x-\mu )f'+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}f''}$$${\displaystyle y=x{\sqrt {\frac {2\mu }{\sigma ^{2}}}}}$$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dy^{2}}}\phi -y{\frac {d}{dy}}\phi +{\frac {\lambda }{\mu }}\phi =0}$$${\displaystyle \phi (y)=He_{n}(y)}$${\displaystyle \lambda =n\mu }$${\displaystyle \mu ^{-1}}$

幅の時間間隔で離散的にサンプリングされたデータを使用することにより、オルンシュタイン・ウーレンベック過程のパラメータの最大尤度推定量は、その真の値に漸近的に正規化される。 ^[9]より正確には、^{[検証に失敗した]}${\displaystyle t}$$${\displaystyle {\sqrt {n}}\left({\begin{pmatrix}{\widehat {\theta }}_{n}\\{\widehat {\mu }}_{n}\\{\widehat {\sigma }}_{n}^{2}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}\theta \\\mu \\\sigma ^{2}\end{pmatrix}}\right)\xrightarrow {d} \ {\mathcal {N}}\left({\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {e^{2t\theta }-1}{t^{2}}}&0&{\frac {\sigma ^{2}(e^{2t\theta }-1-2t\theta )}{t^{2}\theta }}\\0&{\frac {\sigma ^{2}\left(e^{t\theta }+1\right)}{2\left(e^{t\theta }-1\right)\theta }}&0\\{\frac {\sigma ^{2}(e^{2t\theta }-1-2t\theta )}{t^{2}\theta }}&0&{\frac {\sigma ^{4}\left[\left(e^{2t\theta }-1\right)^{2}+2t^{2}\theta ^{2}\left(e^{2t\theta }+1\right)+4t\theta \left(e^{2t\theta }-1\right)\right]}{t^{2}\left(e^{2t\theta }-1\right)\theta ^{2}}}\end{pmatrix}}\right)}$$

OUプロセスを標準偏差と相関時間で数値的にシミュレートする方法の1つは、有限差分式を適用することである。 ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \tau =1/\Theta }$

$${\displaystyle x(t+dt)=x(t)-\Theta \,dt\,x(t)+\Sigma {\sqrt {2\,dt\,\Theta }}\nu _{i}}$$ ここで、は平均0、分散1の正規分布乱数であり、各時間ステップで独立にサンプリングされる。^[10]${\displaystyle \nu _{i}}$${\displaystyle dt}$

オルンシュタイン・ウーレンベック過程は、ブラウン運動がランダムウォークのスケーリング限界であるのと同じように、離散過程のスケーリング限界として解釈できます。青と黄色のボールが入った壷を考えてみましょう。各ステップでボールがランダムに選択され、反対色のボールと置き換えられます。ステップ後の壷の中の青いボールの数を とします。すると は、無限大に向かうにつれてオルンシュタイン・ウーレンベック過程に収束します。これは、マーク・カックによって得られました。^[11]${\displaystyle n}$${\displaystyle X_{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\frac {X_{[nt]}-n/2}{\sqrt {n}}}}$${\displaystyle n}$

経験的に、これを次のように得ることができます。

とすると、極限における確率微分方程式が得られます。まず を推論します。 これにより、 の平均と分散を計算でき、それぞれ、および になります。したがって、極限では となり、解は (分布が標準正規分布であると仮定)となります。 ${\displaystyle X_{t}^{(n)}:={\frac {X_{[nt]}-n/2}{\sqrt {n}}}}$${\displaystyle n\to \infty }$$${\displaystyle \Delta t=1/n,\quad \Delta X_{t}^{(n)}=X_{t+\Delta t}^{(n)}-X_{t}^{(n)}.}$$${\displaystyle \Delta X_{t}^{(n)}}$${\displaystyle -2X_{t}^{(n)}\Delta t}$${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle dX_{t}=-2X_{t}\,dt+dW_{t}}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X_{t}=e^{-2t}W_{e^{4t}}}$

オルンシュタイン・ウーレンベック過程は、ノイズ緩和過程の原型である。典型的な例としては、 摩擦係数によって過剰減衰するバネ定数を持つフックバネ（調和振動子）がある。温度による熱変動がある場合、バネの長さはバネの静止長の周りで変動する。その確率的ダイナミクスは、次のオルンシュタイン・ウーレンベック過程によって記述される。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle T}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=k/\gamma ,\\\mu &=x_{0},\\\sigma &={\sqrt {2k_{B}T/\gamma }},\end{aligned}}}$

ここで、有効拡散定数に関するストークス・アインシュタイン方程式から導かれる。 ^{[12] [13]このモデルは}光トラップ内のブラウン運動を特徴付けるために使用されている。^{[13] [14]}${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle D=\sigma ^{2}/2=k_{B}T/\gamma }$

平衡状態では、バネは等分配定理に従って平均エネルギーを蓄える。^[15]${\displaystyle \langle E\rangle =k\langle (x-x_{0})^{2}\rangle /2=k_{B}T/2}$

オルンシュタイン・ウーレンベック過程は、金利のヴァシチェクモデルで使用されている。 ^[16]オルンシュタイン・ウーレンベック過程は、金利、為替レート、商品価格を確率的にモデル化（修正あり）するために使用されるいくつかのアプローチの1つである。パラメータは、ファンダメンタルズによってサポートされる均衡または平均値、ショックによって引き起こされるその周囲の変動の度合い、およびこれらのショックが消散して変数が平均値に戻る速度を表す。この過程の1つの応用は、ペアトレードと呼ばれる取引戦略である。^{[17] [18] [19]}${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \theta }$

マルチェロ・ミネナは、対数正規分布ダイナミクスの下で株式リターンをモデル化するために、オルンシュタイン・ウーレンベック過程のさらなる実装を導出した。このモデリングは、市場の乱用現象を予測するための信頼区間を決定することを目的としている。^{[20] [21]}

オルンシュタイン・ウーレンベック過程は、生物の表現型の時間的変化をモデル化するためのブラウン運動モデルの改良として提案されている。^[22]ブラウン運動モデルは、表現型が無制限に移動できることを意味しているが、ほとんどの表現型では、自然淘汰により、どちらの方向にも大きく移動した場合にコストがかかる。250の化石表現型時系列のメタ分析では、オルンシュタイン・ウーレンベックモデルが、調査した時系列の115（46%）に最も適合し、静止状態が一般的な進化パターンであることを裏付けていることが示された。^[23] ただし、その使用には一定の課題がある。モデル選択メカニズムは、十分なサポートがないとOUプロセスを優先する傾向があることが多く、無防備なデータサイエンティストは誤解しやすい。^[24]

背景駆動過程がウィーナー過程ではなくレヴィ過程であるレヴィ駆動オルンシュタイン・ウーレンベック過程を定義することが可能である： ^{[25] [26]}

${\displaystyle dx_{t}=-\theta \,x_{t}\,dt+\sigma \,dL_{t}}$

ここでは、ウィーナー過程の微分がレヴィ過程の微分に置き換えられています。 ${\displaystyle W_{t}}$${\displaystyle L_{t}}$

さらに、金融では、 の値が大きくなるとボラティリティが増加する確率過程が用いられる。特に、ボラティリティ項を に置き換えたCKLS 過程(Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders) ^[27]は、 について閉じた形で解くことができるだけでなく、 についても閉じた形で解くことができ、これは従来の OU 過程に対応する。もう 1 つの特殊なケースは で、これはCox–Ingersoll–Ross モデル(CIR モデル) に対応する。${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma \,x^{\gamma }\,dW_{t}}$${\displaystyle \gamma =1}$${\displaystyle \gamma =0}$${\displaystyle \gamma =1/2}$

オルンシュタイン・ウーレンベック過程の多次元版はN次元ベクトルで表され、次のように定義される。 ${\displaystyle \mathbf {x} _{t}}$

${\displaystyle d\mathbf {x} _{t}=-{\boldsymbol {\beta }}\,\mathbf {x} _{t}\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}\,d\mathbf {W} _{t}.}$

ここで はN次元ウィーナー過程であり、 およびは定数N × N行列である。^[28]解は ${\displaystyle \mathbf {W} _{t}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{t}=e^{-{\boldsymbol {\beta }}t}\mathbf {x} _{0}+\int _{0}^{t}e^{-{\boldsymbol {\beta }}(t-t')}{\boldsymbol {\sigma }}\,d\mathbf {W} _{t'}}$

そして平均は

${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {x} _{t})=e^{-{\boldsymbol {\beta }}t}\operatorname {E} (\mathbf {x} _{0}).}$

これらの式では、行列指数が利用されています。

この過程は確率密度関数で記述することもでき、これはフォッカー・プランク方程式^{[29]を満たす。}${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial t}}=\sum _{i,j}\beta _{ij}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(x_{j}P)+\sum _{i,j}D_{ij}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}.}$

ここで、成分を持つ行列は で定義されます。1次元の場合、プロセスはガウス確率変数の線形変換であるため、それ自体がガウスでなければなりません。このため、遷移確率はガウスであり、明示的に記述できます。 の固有値の実部がゼロより大きい場合、さらに定常解が存在し、次のように表されます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$${\displaystyle D_{ij}}$${\displaystyle {\boldsymbol {D}}={\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {\sigma }}^{T}/2}$${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x} ',t')}$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$${\displaystyle P_{\text{st}}(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle P_{\text{st}}(\mathbf {x} )=(2\pi )^{-N/2}(\det {\boldsymbol {\omega }})^{-1/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{T}{\boldsymbol {\omega }}^{-1}\mathbf {x} \right)}$

ここで行列はリアプノフ方程式から決定される。^[5]${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}{\boldsymbol {\omega }}+{\boldsymbol {\omega }}{\boldsymbol {\beta }}^{T}=2{\boldsymbol {D}}}$

• 確率計算
• ウィーナー過程
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• 数理ファイナンス
• ヴァシチェク金利モデル​
• 短期金利モデル
• 拡散
• 変動散逸定理
• クライン・クラマース方程式

• リスク管理のための確率過程ツールキット、Damiano Brigo、Antonio Dalessandro、Matthias Neugebauer、Fares Triki
• オルンシュタイン・ウーレンベック過程のシミュレーションと較正、MA van den Berg
• 平均回帰過程の最大尤度推定、ホセ・カルロス・ガルシア・フランコ
• 「インタラクティブ Web アプリケーション: 定量的ファイナンスで使用される確率過程」。2015 年 9 月 20 日にオリジナルからアーカイブ。2015 年 7 月 3 日に取得。