画像の手法

像法（または鏡像法）は、微分方程式を解くための数学的ツールであり、境界条件によって制限されない解を、その重み付けされた可能性のある鏡像と組み合わせることで境界条件を満たす。通常、元の特異点は関心領域内にありますが、関数は、関心領域の外側に追加の特異点を配置することで境界条件を満たすように作られています。通常、これらの追加の特異点の位置は、境界条件の位置に配置された鏡から見た元の特異点の仮想位置として決定されます。最も一般的には、鏡は超平面または超球です。^[曖昧]

イメージ法は、制限された離散ランダムウォークの数を数えるなど、境界条件のある離散問題を解く場合にも使用できます。

イメージ電荷法は、静電気学において、導電面付近の電荷の電界分布を単純に計算または視覚化するために使用されます。この方法は、導体表面の電界の接線成分がゼロであること、およびある領域の電界E がこの領域を囲む表面上の 法線成分によって一意に定義されるという事実に基づいています (一意性定理)。^[1]

像法は、超伝導表面に近い磁石の磁場を計算するために、静磁気学でも使用できます。いわゆるマイスナー状態の超伝導体は、磁場が浸透しない理想的な反磁性体です。したがって、その表面の磁場の法線成分はゼロである必要があります。次に、磁石の像を鏡像化する必要があります。したがって、磁石と超伝導表面の間の力は反発力になります。

平坦な導電面上の電荷双極子の場合と比較すると、鏡像磁化ベクトルは、軸ベクトルの追加の符号変化によるものと考えることができます。

第2種超伝導体における磁束ピンニング現象を考慮するために、凍結鏡像法を使用することができる。^[2]

環境エンジニアは、侵入不可能な（無フラックス）境界からの汚染物質のプルームの反射（場合によっては吸収）に関心を持つことがよくあります。この反射をモデル化する簡単な方法は、イメージ法を使用することです。

反射、つまり画像は、特定の境界を通過する（実際のプルームからの）あらゆる質量を完全に置き換えるように空間的に方向付けられます。^[3]境界が1つであれば、必要な画像は1つです。境界が2つ以上ある場合は、画像が無限に生成されます。ただし、湖での汚染物質流出の拡散などの質量輸送をモデル化する目的では、関連する境界が複数ある場合に無限の画像セットを含める必要がない場合があります。たとえば、反射を特定の物理的精度のしきい値内で表現するには、プライマリ画像とセカンダリ画像のみを含めることを選択できます。

最も単純なケースは、1 次元空間の単一の境界です。この場合、可能な画像は 1 つだけです。時間が経過するにつれて質量が境界に近づく場合、画像はその質量が境界を越えて反射する様子を適切に表すことができます。

もう 1 つの簡単な例は、2 次元空間の単一の境界です。この場合も、境界は 1 つしかないため、必要な画像は 1 つだけです。これは煙突を表しており、煙突からの排出物は、突き抜けられない地面から大気中に「反射」しますが、それ以外はほぼ境界がありません。

最後に、左右が貫通不可能な境界で囲まれた 1 次元空間での質量放出について考えます。2 つの一次像があり、それぞれが各境界を通過して反射する元の放出の質量を置き換えます。2 つの二次像があり、それぞれが反対側の境界を流れる一次像の 1 つの質量を置き換えます。また、2 つの三次像 (二次像によって失われた質量を置き換えます)、2 つの四次像 (三次像によって失われた質量を置き換えます) などがあり、これが無限に続きます。

特定のシステムでは、すべての画像を慎重に方向付けた後、指定された境界内での質量放出 (すべての画像に加えて実際のプルーム) を合計することで濃度フィールドが与えられます。この濃度フィールドは境界内でのみ物理的に正確です。境界外のフィールドは非物理的であり、ほとんどのエンジニアリング目的には無関係です。

この方法は、グリーン関数の特定の応用です。^[要出典]像の方法は、境界が平坦な表面で分布に幾何学的中心がある場合に適しています。これにより、分布を鏡のように反射するだけで、さまざまな境界条件を満たすことができます。図に示されているような単純な 1D の場合を考えてみましょう。この場合は、分布は の関数として存在し、境界は 1 つだけあり、実領域は で像領域はです。任意の に対して線形微分方程式を満たす解を考えますが、境界条件を満たす必要はありません。 ${\displaystyle \langle c\rangle }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{b}}$${\displaystyle x\geq x_{b}}$${\displaystyle x<x_{b}}$${\displaystyle f(\pm x+x_{0},t)}$${\displaystyle x_{0}}$

これらの分布は、ガウス分布を仮定するモデルでは一般的であることに注意してください。これは、環境工学、特にガウスプルームモデルを使用する大気の流れでは特に一般的です。

完全に反射する境界条件の数学的表現は次のとおりです。 $${\displaystyle \nabla y(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} =0}$$

これは、スカラー関数の導関数は壁の法線方向には導関数を持たないことを示しています。1D の場合、これは次のように簡略化されます。 ${\displaystyle y}$$${\displaystyle {\frac {d\langle c\rangle }{dx}}=0}$$

この条件は正の像に対して強制され、次のようになります: ^[要出典] ここで は像を平行移動し、所定の位置に反射します。 について微分すると: $${\displaystyle \langle c\rangle =f(x-x_{0},t)+f(-x+(x_{b}-(x_{0}-x_{b})),t)}$$${\displaystyle -x+(x_{b}-(x_{0}-x_{b}))}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle \left.{\frac {d\langle c\rangle }{dx}}\right|_{x_{b}}=\left.{\frac {df(x-x_{0},t)}{dx}}\right|_{x_{b}}+\left.{\frac {df(-x+(x_{b}-(x_{0}-x_{b})),t)}{dx}}\right|_{x_{b}}=\left.{\frac {df(x,t)}{dx}}\right|_{x_{b}-x_{0}}-\left.{\frac {df(x,t)}{dx}}\right|_{x_{b}-x_{0}}=0}$$

したがって、完全反射境界条件が満たされます。

完全吸収境界条件の記述は次の通りである: ^[要出典] $${\displaystyle y(x_{b})=0}$$

この条件は、負の鏡像を使用して強制されます。 $${\displaystyle \langle c\rangle =f(x-x_{0},t)-f(-x+(x_{b}-(x_{0}-x_{b})),t)}$$

そして： $${\displaystyle \langle c\rangle {\bigg |}_{x_{b}}=f(x_{b}-x_{0},t)-f(-x_{b}+(x_{b}-(x_{0}-x_{b})),t)=f(x_{b}-x_{0},t)-f(x_{b}-x_{0},t)=0}$$

したがって、この境界条件も満たされます。

像の方法は離散的な場合に使用できます。たとえば、位置0から始まり、サイズ±1のステップを踏み、合計nステップ継続し、位置kで終了するランダム ウォークの数は、 | k | ≤ nかつn + kが偶数であると仮定した場合の二項係数 で与えられます。ウォークのどの部分でもウォークが−1にステップすることを禁止するという境界条件があるとします。制限されたウォークの数は、位置0から始まり位置kで終わる制限のないウォークの数から、位置−2から始まり位置kで終わる制限のないウォークの数を引くことで計算できます。これは、任意のステップ数について、制限のない正の重み付きウォークと制限のない負の重み付きウォークがちょうど同じ数だけ−1に到達するためです。つまり、これらは互いに鏡像です。そのため、これらの負の重み付きウォークは、境界条件で禁止されている正の重み付きウォークを正確に打ち消します。 ${\displaystyle {\binom {n}{(n+k)/2}}}$

例えば、歩数がn = 2 mで最終位置がk = 0の場合、制限された歩行数はカタラン数である。 $${\displaystyle C_{m}={\binom {2m}{m}}-{\binom {2m}{m+1}}\,.}$$