3次元における直交曲線座標
図1 - 一般的な曲線座標の座標面、座標線、および座標軸。 図2 - 球面座標の座標面、座標線、および座標軸。面： r - 球、θ - 円錐、Φ - 半平面。線： r - 直線、θ - 垂直半円、Φ - 水平円。 軸： r - 直線、θ - 垂直半円への接線、Φ - 水平円への接線。 とりあえず、3次元空間 を考えてみましょう。3次元空間内の点P （またはその 位置ベクトル r ） は 、デカルト座標( x , y , z )[( x1 , x2 , x3 ) ]を用いて次のように定義できます。r = x e x + y e y + z e z {\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {e} _{x}+y\mathbf {e} _{y}+z\mathbf {e} _{z}} e x e y e zは 標準基底 ベクトル
また、曲線座標 （q 1 、q 2 、q 3 ）によって定義することもできます。この3つの数値が1つの点を明確に定義する場合です。座標間の関係は、可逆変換関数によって与えられます。
x = f 1 （ q 1 、 q 2 、 q 3 ） 、 y = f 2 （ q 1 、 q 2 、 q 3 ） 、 z = f 3 （ q 1 、 q 2 、 q 3 ） {\displaystyle x=f^{1}(q^{1},q^{2},q^{3}),\,y=f^{2}(q^{1},q^{2},q^{3}),\,z=f^{3}(q^{1},q^{2},q^{3})} q 1 = g 1 （ x 、 y 、 z ） 、 q 2 = g 2 （ x 、 y 、 z ） 、 q 3 = g 3 （ x 、 y 、 z ） {\displaystyle q^{1}=g^{1}(x,y,z),\,q^{2}=g^{2}(x,y,z),\,q^{3}=g^{3}(x,y,z)} q 1 = 定数、q 2 = 定数、q 3 = 定数の面は座標面 と呼ばれ、これらの面がペアで交わって形成される空間曲線は座標曲線 座標軸は、 3つの面の交点における座標曲線への 接線 によって決定されます。座標軸は一般に空間内で固定された方向を向いているわけではなく、これは単純なデカルト座標の場合とは異なります。そのため、曲線座標には一般に自然なグローバルな基底が存在しません。
デカルト座標系では、標準基底ベクトルは、点P の位置を局所座標で微分することによって導出できる。
e x = ∂ r ∂ x ; e y = ∂ r ∂ y ; e z = ∂ r ∂ z 。 {\displaystyle \mathbf {e} _{x}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}};\;\mathbf {e} _{y}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}};\;\mathbf {e} _{z}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial z}}.} 曲線座標系に点P で局所的に同じ導関数を適用すると、自然な基底ベクトルが定義されます。
h 1 = ∂ r ∂ q 1 ; h 2 = ∂ r ∂ q 2 ; h 3 = ∂ r ∂ q 3 。 {\displaystyle \mathbf {h} _{1}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}};\;\mathbf {h} _{2}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}};\;\mathbf {h} _{3}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\部分 q^{3}}}.} ベクトルが点ごとに方向や大きさが変化するような基底は、局所基底 と呼ばれます。曲線座標に関連付けられる基底はすべて必然的に局所基底です。すべての点で同じ基底ベクトルは大域基底と呼ばれ、線形座標系または アフィン座標系 にのみ関連付けることができます。
この記事では、eは 標準基底 （直交座標系）を表し、 h またはbは 曲線座標系を表します。
これらは単位長を持たない場合があり、直交しない場合もあります。導関数が明確に定義されるすべての点で直交する 場合、ラメ係数を定義します。 ガブリエル・ラメ に倣って）
h 1 = | h 1 | ; h 2 = | h 2 | ; h 3 = | h 3 | {\displaystyle h_{1}=|\mathbf {h} _{1}|;\;h_{2}=|\mathbf {h} _{2}|;\;h_{3}=|\mathbf {h} _{3}|} そして曲線直交基底 ベクトルは
b 1 = h 1 h 1 ; b 2 = h 2 h 2 ; b 3 = h 3 h 3 。 {\displaystyle \mathbf {b} _{1}={\dfrac {\mathbf {h} _{1}}{h_{1}}};\;\mathbf {b} _{2}={\dfrac {\mathbf {h} _{2}}{h_{2}}};\;\mathbf {b} _{3}={\dfrac {\mathbf {h} _{3}}{h_{3}}}.} これらの基底ベクトルはP の位置に依存する可能性があるので、領域全体で一定であると仮定してはならない。（厳密には、これらは接空間 の基底を形成する。）R 3 \displaystyle \mathbb {R} ^{3}} P において、したがってP に局所的である。）
一般に、曲線座標では、自然基底ベクトルh i は互いに直交する必要はなく、単位長さである必要もありません。つまり、任意の大きさと方向を持つことができます。直交基底を使用すると、非直交基底を使用する場合よりもベクトル操作が簡単になります。しかし、物理学 や工学 の一部の分野、特に流体力学 や連続体力学 では、物理量の複雑な方向依存性を考慮するために、変形や流体輸送を記述する際に非直交基底が必要となります。一般的なケースについては、このページの後半で説明します。
ベクトル解析
微分要素 直交曲線座標では、rの 全微分 変化は
d r = ∂ r ∂ q 1 d q 1 + ∂ r ∂ q 2 d q 2 + ∂ r ∂ q 3 d q 3 = h 1 d q 1 b 1 + h 2 d q 2 b 2 + h 3 d q 3 b 3 {\displaystyle d\mathbf {r} ={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}}dq^{1}+{\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}}dq^{2}+{\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}dq^{3}=h_{1}dq^{1}\mathbf {b} _{1}+h_{2}dq^{2}\mathbf {b} _{2}+h_{3}dq^{3}\mathbf {b} _{3}} スケールファクターはh 私 = | ∂ r ∂ q 私 | {\displaystyle h_{i}=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\right|}
非直交座標では、長さは d r = d q 1 h 1 + d q 2 h 2 + d q 3 h 3 {\displaystyle d\mathbf {r} =dq^{1}\mathbf {h} _{1}+dq^{2}\mathbf {h} _{2}+dq^{3}\mathbf {h} _{3}} 平方根です d r ⋅ d r = d q 私 d q j h 私 ⋅ h j {\displaystyle d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =dq^{i}dq^{j}\mathbf {h} _{i}\cdot \mathbf {h} _{j}} アインシュタインの総和規約を 使用)。自然基底ベクトルの6 つの独立したスカラー積g ij = h i h j は 、直交座標に対して上記で定義された 3 つのスケール因子を一般化したものです。9 つの g ij は計量テンソル の成分であり、直交座標では 3 つの非ゼロ成分しかありません。g 11 = h 1 h 1 、g 22 = h 2 h 2 、g 33 = h 3 h 3 。
共変基底と反変基底 一般的に（ 必ずしも直交ではない q 1、 q 2 、q 3 ）において、ベクトル基底（黄色 、 左： e 1 、 e 2、e 3）、座標曲線（黒 ）への接線ベクトル、および共ベクトル基底または共基底（青、 右： e 1 、e 2 、e 3 ）、 座標 曲面（灰色 表される ベクトル v （赤 ） 。座標系が直交でない限り、基底と共基底は 一致しない。[ 1 ] 空間勾配、距離、時間微分、およびスケールファクターは、座標系内で2つの基底ベクトル群によって相互に関連付けられています。
関連する座標パスラインに局所的に接する基底ベクトル：b 私 = ∂ r ∂ q 私 {\displaystyle \mathbf {b} _{i}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}} は反変ベクトル （下付き添え字で示される）であり、 他の座標によって作成された等値面に局所的に垂直な基底ベクトル：b 私 = ∇ q 私 {\displaystyle \mathbf {b} ^{i}=\nabla q^{i}} 共変ベクトル （上付き添え字で示される）、∇ はdel 演算子 です。 アインシュタインの総和規約により、ベクトルの添え字の位置は座標の位置と逆になることに注意してください。
したがって、一般的な曲線座標系では、各点に対して2組の基底ベクトルが存在します。{ b 1 , b 2 , b 3 } は反変基底、{ b 1 , b 2 , b 3 } は共変（逆）基底です。共変基底ベクトルと反変基底ベクトルは、直交曲線座標系では同じ方向を持ちますが、通常どおり、互いの単位が反転しています。
以下の重要な等式に注目してください。 b 私 ⋅ b j = δ j 私 {\displaystyle \mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=\delta _{j}^{i}} δ j 私 {\displaystyle \delta _{j}^{i}} は一般化されたクロネッカーデルタ を表します。
証拠 デカルト座標系では（ e x 、 e y 、 e z ） {\displaystyle (\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z})}
b 私 ⋅ b j = （ ∂ x ∂ q 私 、 ∂ y ∂ q 私 、 ∂ z ∂ q 私 ） ⋅ （ ∂ q j ∂ x 、 ∂ q j ∂ y 、 ∂ q j ∂ z ） = ∂ x ∂ q 私 ∂ q j ∂ x + ∂ y ∂ q 私 ∂ q j ∂ y + ∂ z ∂ q 私 ∂ q j ∂ z {\displaystyle \mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} ^{j}=\left({\dfrac {\partial x}{\partial q_{i}}},{\dfrac {\partial y}{\partial q_{i}}},{\dfrac {\partial z}{\partial q_{i}}}\right)\cdot \left({\dfrac {\partial q_{j}}{\partial x}},{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial y}},{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial z}}\right)={\dfrac {\partial x}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial z}}} 微小変位を考えてみましょうd r = d x ⋅ e x + d y ⋅ e y + d z ⋅ e z {\displaystyle d\mathbf {r} =dx\cdot \mathbf {e} _{x}+dy\cdot \mathbf {e} _{y}+dz\cdot \mathbf {e} _{z}} 1 、dq 2 、dq 3 は、それぞれ曲線座標 q 1 、q 2 、q 3 の対応する微小変化を表すものとする。
連鎖律により、dq 1 は 次のように表すことができます。
d q 1 = ∂ q 1 ∂ x d x + ∂ q 1 ∂ y d y + ∂ q 1 ∂ z d z = ∂ q 1 ∂ x d x + ∂ q 1 ∂ y （ ∂ y ∂ q 1 d q 1 + ∂ y ∂ q 2 d q 2 + ∂ y ∂ q 3 d q 3 ） + ∂ q 1 ∂ z （ ∂ z ∂ q 1 d q 1 + ∂ z ∂ q 2 d q 2 + ∂ z ∂ q 3 d q 3 ） {\displaystyle dq_{1}={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}dy+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}dz={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}\left({\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{3}}}dq_{3}\right)+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}\left({\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{3}}}dq_{3}\right)} 変位 dr が dq 2 = dq 3 = 0 となる場合、すなわち 位置 ベクトル rが 座標軸 q 2 = const および q 3 = const に沿って微小量だけ移動する場合 、 次の よう になります。
d q 1 = ∂ q 1 ∂ x d x + ∂ q 1 ∂ y ∂ y ∂ q 1 d q 1 + ∂ q 1 ∂ z ∂ z ∂ q 1 d q 1 {\displaystyle dq_{1}={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}dq_{1}} dq 1 で割り、 dq 1 → 0の極限を取る。
1 = ∂ q 1 ∂ x ∂ x ∂ q 1 + ∂ q 1 ∂ y ∂ y ∂ q 1 + ∂ q 1 ∂ z ∂ z ∂ q 1 = ∂ x ∂ q 1 ∂ q 1 ∂ x + ∂ y ∂ q 1 ∂ q 1 ∂ y + ∂ z ∂ q 1 ∂ q 1 ∂ z {\displaystyle 1={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial q_{1}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}={\dfrac {\partial x}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}} または同等に：
b 1 ⋅ b 1 = 1 {\displaystyle \mathbf {b} _{1}\cdot \mathbf {b} ^{1}=1} ここで、変位dr が dq 1 = dq 3 =0となる場合、つまり位置ベクトルr が 座標軸 q 1 =const および q 3 =const に沿って微小量だけ移動する場合、次のようになります。
0 = ∂ q 1 ∂ x d x + ∂ q 1 ∂ y ∂ y ∂ q 2 d q 2 + ∂ q 1 ∂ z ∂ z ∂ q 2 d q 2 {\displaystyle 0={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}dq_{2}} dq 2で割り、dq 2 → 0の極限を取る。
0 = ∂ q 1 ∂ x ∂ x ∂ q 2 + ∂ q 1 ∂ y ∂ y ∂ q 2 + ∂ q 1 ∂ z ∂ z ∂ q 2 = ∂ x ∂ q 2 ∂ q 1 ∂ x + ∂ y ∂ q 2 ∂ q 1 ∂ y + ∂ z ∂ q 2 ∂ q 1 ∂ z {\displaystyle 0={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial q_{2}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}={\dfrac {\partial x}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}} または同等に：
b 2 ⋅ b 1 = 0 {\displaystyle \mathbf {b} _{2}\cdot \mathbf {b} ^{1}=0} 他の内積についても同様です。
代替証明：
δ j 私 d q j = d q 私 = ∇ q 私 ⋅ d r = b 私 ⋅ ∂ r ∂ q j d q j = b 私 ⋅ b j d q j {\displaystyle \delta _{j}^{i}dq^{j}=dq^{i}=\nabla q^{i}\cdot d\mathbf {r} =\mathbf {b} ^{i}\cdot {\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}dq^{j}=\mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}dq^{j}} そして、アインシュタインの総和規約 が暗黙のうちに適用される。
ベクトルv は 、基底のいずれかで指定できます。
v = v 1 b 1 + v 2 b 2 + v 3 b 3 = v 1 b 1 + v 2 b 2 + v 3 b 3 {\displaystyle \mathbf {v} =v^{1}\mathbf {b} _{1}+v^{2}\mathbf {b} _{2}+v^{3}\mathbf {b} _{3}=v_{1}\mathbf {b} ^{1}+v_{2}\mathbf {b} ^{2}+v_{3}\mathbf {b} ^{3}} アインシュタインの総和規約を用いると、基底ベクトルは[ 2 ] ： 30-32
v ⋅ b 私 = v k b k ⋅ b 私 = v k δ k 私 = v 私 {\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}\delta _{k}^{i}=v^{i}} v ⋅ b 私 = v k b k ⋅ b 私 = v k δ 私 k = v 私 {\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}\delta _{i}^{k}=v_{i}} そして
v ⋅ b 私 = v k b k ⋅ b 私 = g k 私 v k {\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v^{k}\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=g_{ki}v^{k}} v ⋅ b 私 = v k b k ⋅ b 私 = g k 私 v k {\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v_{k}\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=g^{ki}v_{k}} ここで、g は計量テンソルである（下記参照）。
ベクトルは、共変座標（添え字を下げてv k と表記）または反変座標（添え字を上げてv k と表記）で指定できます。上記のベクトル和から、反変座標は共変基底ベクトルに対応し、共変座標は反変基底ベクトルに対応していることがわかります。
添え字付き成分と基底ベクトルによるベクトルとテンソルの表現の重要な特徴は、共変的（または反変的）に変換されるベクトル成分が、反変的（または共変的）に変換される基底 ベクトルと対になっているという意味での不変性です。
統合
1次元における共変基底の構築 図3 – 一般的な曲線座標の場合の局所共変基底の変換 図3に示す一次元曲線を考えます。原点Pにおいて、 x はデカルト座標 の一つであり、q1 は 曲線座標の一つです。局所的な（単位ベクトルではない）基底ベクトルはb1 （上記ではh1と表記され、bは単位ベクトル用に予約されています）であり、 点 P におけるその座標線に接するq1 軸 上に 構築されています。q1軸、したがってベクトルb1 は 角度を形成し ます 。 α {\displaystyle \alpha } x 軸とデカルト座標の基底ベクトルe 1 を用いて。
三角形PAB から、
コス α = | e 1 | | b 1 | ⇒ | e 1 | = | b 1 | コス α {\displaystyle \cos \alpha ={\cfrac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {b} _{1}|}}\quad \Rightarrow \quad |\mathbf {e} _{1}|=|\mathbf {b} _{1}|\cos \alpha } ここで、| e 1 |、| b 1 | は 2 つの基底ベクトルの大きさ、すなわちスカラー切片PB とPA です。PA は b 1の x 軸への射影でもあります。
しかし、方向余弦 を用いた基底ベクトル変換のこの方法は、以下の理由により曲線座標には適用できません。
P からの距離を大きくすると、曲線q1 とデカルト座標軸x の間の角度はますますずれていく。 α {\displaystyle \alpha } 距離PBでは、真の角度は 点Cの 接線がx 軸と形成する角度であり、後者の角度は明らかにα {\displaystyle \alpha } q 1 線と x 軸がx 軸と形成する角度は、点P に近づくにつれて値が近づき、点P で完全に等しくなります。
点Eが P に非常に近い位置にあるとします。距離PE が 無限小になるほど近いとします。すると、q 1 軸上で測定したPE は、 q 1 線上で測定したPE とほぼ一致します。同時に、PD/PE 比( PDは PEの x 軸への投影) は、ほぼ正確に等しくなります。コス α {\displaystyle \cos \alpha }
無限小の切片PD とPEを それぞれdx とdq1と 表記 する。すると
コス α = d x d q 1 = | e 1 | | b 1 | {\displaystyle \cos \alpha ={\cfrac {dx}{dq^{1}}}={\frac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {b} _{1}|}}} したがって、方向余弦は、無限小の座標切片間のより正確な比率を用いた変換に置き換えることができる。したがって、 b 1の x 軸上の成分 (射影) は次のようになる。
p 1 = b 1 ⋅ e 1 | e 1 | = | b 1 | | e 1 | | e 1 | コス α = | b 1 | d x d q 1 ⇒ p 1 | b 1 | = d x d q 1 {\displaystyle p^{1}=\mathbf {b} _{1}\cdot {\cfrac {\mathbf {e} _{1}}{|\mathbf {e} _{1}|}}=|\mathbf {b} _{1}|{\cfrac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {e} _{1}|}}\cos \alpha =|\mathbf {b} _{1}|{\cfrac {dx}{dq^{1}}}\quad \Rightarrow \quad {\cfrac {p^{1}}{|\mathbf {b} _{1}|}}={\cfrac {dx}{dq^{1}}}} q i = q i ( x 1 , x 2 , x 3 ) およびx i = x i ( q 1 , q 2 , q 3 ) が滑らかな (連続的に微分可能な) 関数である場合、変換比は次のように記述できます。∂ q 私 ∂ x j {\displaystyle {\cfrac {\partial q^{i}}{\partial x_{j}}}} ∂ x 私 ∂ q j {\displaystyle {\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}} 偏微分である。
3次元における共変基底の構築 他の2次元の座標についても同様の操作を行うと、b 1は 次のように表すことができます。
b 1 = p 1 e 1 + p 2 e 2 + p 3 e 3 = ∂ x 1 ∂ q 1 e 1 + ∂ x 2 ∂ q 1 e 2 + ∂ x 3 ∂ q 1 e 3 {\displaystyle \mathbf {b} _{1}=p^{1}\mathbf {e} _{1}+p^{2}\mathbf {e} _{2}+p^{3}\mathbf {e} _{3}={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{3}} b 2 およびb 3 についても同様の式が成り立つため、標準基底 { e 1 , e 2 , e 3 } は、次の連立方程式によって局所的（順序付けされ正規化された b 1 , b 2 , b 3 } に変換されます。
b 1 = ∂ x 1 ∂ q 1 e 1 + ∂ x 2 ∂ q 1 e 2 + ∂ x 3 ∂ q 1 e 3 b 2 = ∂ x 1 ∂ q 2 e 1 + ∂ x 2 ∂ q 2 e 2 + ∂ x 3 ∂ q 2 e 3 b 3 = ∂ x 1 ∂ q 3 e 1 + ∂ x 2 ∂ q 3 e 2 + ∂ x 3 ∂ q 3 e 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {b} _{2}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {b} _{3}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{3}\end{aligned}}} 同様の推論により、局所基底から標準基底への逆変換が得られる。
e 1 = ∂ q 1 ∂ x 1 b 1 + ∂ q 2 ∂ x 1 b 2 + ∂ q 3 ∂ x 1 b 3 e 2 = ∂ q 1 ∂ x 2 b 1 + ∂ q 2 ∂ x 2 b 2 + ∂ q 3 ∂ x 2 b 3 e 3 = ∂ q 1 ∂ x 3 b 1 + ∂ q 2 ∂ x 3 b 2 + ∂ q 3 ∂ x 3 b 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{3}\\\mathbf {e} _{2}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{3}\\\mathbf {e} _{3}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{3}\end{aligned}}}
上記の連立一次方程式は、 アインシュタインの総和規約を用いて行列形式で次のように表すことができます。
∂ x 私 ∂ q k e 私 = b k 、 ∂ q 私 ∂ x k b 私 = e k {\displaystyle {\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}\mathbf {e} _{i}=\mathbf {b} _{k},\quad {\cfrac {\partial q^{i}}{\partial x_{k}}}\mathbf {b} _{i}=\mathbf {e} _{k}} この線形システムの係数行列は、変換の ヤコビ行列 （およびその逆行列）です。これらは、デカルト座標系を曲線座標系に変換したり、その逆変換を行うために使用できる方程式です。
3次元では、これらの行列の展開形は次のようになります。
J = [ ∂ x 1 ∂ q 1 ∂ x 1 ∂ q 2 ∂ x 1 ∂ q 3 ∂ x 2 ∂ q 1 ∂ x 2 ∂ q 2 ∂ x 2 ∂ q 3 ∂ x 3 ∂ q 1 ∂ x 3 ∂ q 2 ∂ x 3 ∂ q 3 ] 、 J − 1 = [ ∂ q 1 ∂ x 1 ∂ q 1 ∂ x 2 ∂ q 1 ∂ x 3 ∂ q 2 ∂ x 1 ∂ q 2 ∂ x 2 ∂ q 2 ∂ x 3 ∂ q 3 ∂ x 1 ∂ q 3 ∂ x 2 ∂ q 3 ∂ x 3 ] {\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{3}}}\\{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{3}}}\\{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{3}}}\\\end{bmatrix}},\quad \mathbf {J} ^{-1}={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{3}}}\\{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{3}}}\\{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}} 逆変換（第2の方程式系）では、未知数は曲線基底ベクトルです。任意の特定の位置に対して、基底ベクトルの組はただ1つしか存在しません（そうでなければ、その点で基底が適切に定義されません）。この条件は、方程式系が単一の解を持つ場合に限り満たされます。 線形代数 では、線形方程式系が単一の解（非自明な解）を持つのは、そのシステム行列の行列式がゼロでない場合のみです。
検出 （ J − 1 ） ≠ 0 {\displaystyle \det(\mathbf {J} ^{-1})\neq 0} これは、逆ヤコビ行列式に関する上記の要件の根拠を示している。
n 次元への一般化この形式は、以下のように任意の有限次元に拡張される。
実 ユークリッド n 次元空間、すなわちR n R × R × ... × R ( n 回)を考えます。ここでRは 実数 の集合 であり、× はデカルト積を表し、 ベクトル空間 です。
この空間の座標は、 x = ( x 1 , x 2 ,..., x n )と表すことができます。これはベクトル（ベクトル空間の要素）なので、次のように記述できます。
x = ∑ 私 = 1 n x 私 e 私 {\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} ^{i}} ここで、e 1 = (1,0,0...,0)、e 2 = (0,1,0...,0)、e 3 = (0,0,1...,0)、...、e n R nの 標準基底 ベクトルセットi = 1, 2,... n は成分をラベル付けするインデックスです。各ベクトルは各次元 (または「軸」) に正確に 1 つの成分を持ち、それらは互いに直交 (垂直) し、正規化されています ( 大きさが 1 です)。
より一般的には、基底ベクトルb i を q = ( q 1 , q 2 ,..., q n )に依存するように定義できます。つまり 、点ごとに変化します。b i b i q )。この場合、同じ点x を この代替基底で定義するには、この基底に関する座標 v i も必然的にx に依存するため、v i v i x ) となります。すると、この空間内のベクトルv は 、これらの代替座標と基底ベクトルに関して、この基底の線形結合として展開できます (これは、各基底 ベクトル e i v i スカラー乗算 )。
v = ∑ j = 1 n v ¯ j b j = ∑ j = 1 n v ¯ j （ q ） b j （ q ） {\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{j=1}^{n}{\bar {v}}^{j}\mathbf {b} _{j}=\sum _{j=1}^{n}{\bar {v}}^{j}(\mathbf {q} )\mathbf {b} _{j}(\mathbf {q} )} 新しい基底でv を表すベクトル和は、異なるベクトルから構成されるが、和自体は同じままである。
より一般的で抽象的な観点から言えば、曲線座標系とは、微分可能多様体 E n (n 次元ユークリッド空間 )上の座標パッチであり、その多様体上の デカルト 座標パッチと微分同相で ある。[ 3 ] 微分位相 の標準的な定理の応用にすぎない。
変換関数は、「古い」座標と「新しい」座標の点の間に一対一の関係が存在するようなものであり、つまり、これらの関数は全単射 であり、その定義域内 で以下の要件を満たします。
これらは滑らかな関数 です: q i i x ) 逆ヤコビ 行列式 J − 1 = | ∂ q 1 ∂ x 1 ∂ q 1 ∂ x 2 ⋯ ∂ q 1 ∂ x n ∂ q 2 ∂ x 1 ∂ q 2 ∂ x 2 ⋯ ∂ q 2 ∂ x n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ q n ∂ x 1 ∂ q n ∂ x 2 ⋯ ∂ q n ∂ x n | ≠ 0 {\displaystyle J^{-1}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{n}}}\\{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{n}}}\end{vmatrix}}\neq 0} はゼロではない。つまり、逆関数定理 によれば 変換は可逆で ある: x i ( q ) 。ヤコビ行列式がゼロではないという条件は、異なる族の 3 つの曲面がただ 1 点で交差し、その点の位置を一意に決定するという事実を反映している。[ 4 ]
曲線座標におけるテンソル 2階テンソルは次のように表すことができます。
S = S 私 j b 私 ⊗ b j = S 私 j b 私 ⊗ b j = S 私 j b 私 ⊗ b j = S 私 j b 私 ⊗ b j {\displaystyle {\boldsymbol {S}}=S^{ij}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S^{i}{}_{j}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=S_{i}{}^{j}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S_{ij}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}} どこ⊗ {\displaystyle \scriptstyle \otimes } はテンソル積 を表します。成分S ij は反変 成分、S i j は 混合右共変 成分、S i j は 混合左共変 成分、S ij は 2階テンソルの共変 成分と呼ばれます。2階テンソルの成分は、次の関係式で結ばれています。
S 私 j = g 私 k S k j = g j k S 私 k = g 私 k g j ℓ S k ℓ {\displaystyle S^{ij}=g^{ik}S_{k}{}^{j}=g^{jk}S^{i}{}_{k}=g^{ik}g^{j\ell }S_{k\ell }}
直交曲線座標における計量テンソル 各点において、小さな線要素 d x を構成できるので、線要素の長さの二乗はスカラー積 d x • d xとなり、 空間 の計量 と呼ばれ、次のように表されます。
d x ⋅ d x = ∂ x 私 ∂ q j ∂ x 私 ∂ q k d q j d q k {\displaystyle d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} ={\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}{\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}dq^{j}dq^{k}} 上記の方程式の次の部分
∂ x k ∂ q 私 ∂ x k ∂ q j = g 私 j （ q 私 、 q j ） = b 私 ⋅ b j {\displaystyle {\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{i}}}{\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{j}}}=g_{ij}(q^{i},q^{j})=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}} は、曲線座標におけるユークリッド空間 の基本テンソル（または計量テンソル） 対称 テンソルです。
指数は、以下の指標によって上下させることができます。
v 私 = g 私 k v k {\displaystyle v^{i}=g^{ik}v_{k}}
スケールファクターh i を定義する
h 私 h j = g 私 j = b 私 ⋅ b j ⇒ h 私 = g 私 私 = | b 私 | = | ∂ x ∂ q 私 | {\displaystyle h_{i}h_{j}=g_{ij}=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}\quad \Rightarrow \quad h_{i}={\sqrt {g_{ii}}}=\left|\mathbf {b} _{i}\right|=\left|{\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\right|} 計量テンソルとラメ係数の間の関係を示し、
g 私 j = ∂ x ∂ q 私 ⋅ ∂ x ∂ q j = （ h k 私 e k ） ⋅ （ h m j e m ） = h k 私 h k j {\displaystyle g_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{j}}}=\left(h_{ki}\mathbf {e} _{k}\right)\cdot \left(h_{mj}\mathbf {e} _{m}\right)=h_{ki}h_{kj}} ここで、h ij はラメ係数である。直交基底の場合、次の式も成り立つ。
g = g 11 g 22 g 33 = h 1 2 h 2 2 h 3 2 ⇒ g = h 1 h 2 h 3 = J {\displaystyle g=g_{11}g_{22}g_{33}=h_{1}^{2}h_{2}^{2}h_{3}^{2}\quad \Rightarrow \quad {\sqrt {g}}=h_{1}h_{2}h_{3}=J} R 2 の極座標を考えると、
（ x 、 y ） = （ r コス θ 、 r 罪 θ ） {\displaystyle (x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )} (r, θ) は曲線座標であり、変換 ( r ,θ) → ( r cos θ, r sin θ)のヤコビ行列式はr です。
直交基底ベクトルはb r b θ = (−r sin θ, r cos θ) です。スケール係数はh r h θ = r です。基本テンソルはg 11 =1、g 22 = r 2 、g 12 = g 21 =0 です。
交代テンソル 正規直交右手系基底において、3次交代テンソルは 次のように定義される。
E = ε 私 j k e 私 ⊗ e j ⊗ e k {\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {E}}}=\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}\otimes \mathbf {e} ^{k}} 一般的な曲線基底では、同じテンソルは次のように表すことができます。
E = E 私 j k b 私 ⊗ b j ⊗ b k = E 私 j k b 私 ⊗ b j ⊗ b k {\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {E}}}={\mathcal {E}}_{ijk}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}={\mathcal {E}}^{ijk}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}\otimes \mathbf {b} _{k}} また、以下のことも示せる。
E 私 j k = 1 J ε 私 j k = 1 + g ε 私 j k {\displaystyle {\mathcal {E}}^{ijk}={\cfrac {1}{J}}\varepsilon _{ijk}={\cfrac {1}{+{\sqrt {g}}}}\varepsilon _{ijk}}
クリストッフェルのシンボル 記号 Γ k 私 j {\displaystyle \Gamma _{kij}} b 私 、 j = ∂ b 私 ∂ q j = b k Γ k 私 j ⇒ b k ⋅ b 私 、 j = Γ k 私 j {\displaystyle \mathbf {b} _{i,j}={\frac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\mathbf {b} ^{k}\Gamma _{kij}\quad \Rightarrow \quad \mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i,j}=\Gamma _{kij}} ここで、コンマは偏微分 を表します( Ricci の計算を 参照)。 Γ kij を g ij で表すと、
g 私 j 、 k = （ b 私 ⋅ b j ） 、 k = b 私 、 k ⋅ b j + b 私 ⋅ b j 、 k = Γ j 私 k + Γ 私 j k g 私 k 、 j = （ b 私 ⋅ b k ） 、 j = b 私 、 j ⋅ b k + b 私 ⋅ b k 、 j = Γ k 私 j + Γ 私 k j g j k 、 私 = （ b j ⋅ b k ） 、 私 = b j 、 私 ⋅ b k + b j ⋅ b k 、 私 = Γ k j 私 + Γ j k 私 {\displaystyle {\begin{aligned}g_{ij,k}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}=\mathbf {b} _{i,k}\cdot \mathbf {b} _{j}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j,k}=\Gamma _{jik}+\Gamma _{ijk}\\g_{ik,j}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}=\mathbf {b} _{i,j}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k,j}=\Gamma _{kij}+\Gamma _{ikj}\\g_{jk,i}&=(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}=\mathbf {b} _{j,i}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k,i}=\Gamma _{kji}+\Gamma _{jki}\end{aligned}}} 以来
b 私 、 j = b j 、 私 ⇒ Γ k 私 j = Γ k j 私 {\displaystyle \mathbf {b} _{i,j}=\mathbf {b} _{j,i}\quad \Rightarrow \quad \Gamma _{kij}=\Gamma _{kji}} これらを用いて上記の関係式を並べ替えると、
Γ k 私 j = 1 2 （ g 私 k 、 j + g j k 、 私 − g 私 j 、 k ） = 1 2 [ （ b 私 ⋅ b k ） 、 j + （ b j ⋅ b k ） 、 私 − （ b 私 ⋅ b j ） 、 k ] {\displaystyle \Gamma _{kij}={\frac {1}{2}}(g_{ik,j}+g_{jk,i}-g_{ij,k})={\frac {1}{2}}[(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}+(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}-(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}]} 記号 Γ k j 私 {\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ji}} Γ k 私 j = g k l Γ l 私 j = Γ k j 私 、 ∂ b 私 ∂ q j = b k Γ k 私 j {\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}=g^{kl}\Gamma _{lij}=\Gamma ^{k}{}_{ji},\quad {\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\mathbf {b} _{k}\Gamma ^{k}{}_{ij}} これは、
Γ k 私 j = ∂ b 私 ∂ q j ⋅ b k = − b 私 ⋅ ∂ b k ∂ q j {\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}\cdot \mathbf {b} ^{k}=-\mathbf {b} _{i}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{k}}{\partial q^{j}}}\quad } ∂ ∂ q j （ b 私 ⋅ b k ） = 0 {\displaystyle \quad {\cfrac {\partial }{\partial q^{j}}}(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} ^{k})=0} それに続くその他の関係は次のとおりです。
∂ b 私 ∂ q j = − Γ 私 j k b k 、 ∇ b 私 = Γ k 私 j b k ⊗ b j 、 ∇ b 私 = − Γ 私 j k b k ⊗ b j {\displaystyle {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{i}}{\partial q^{j}}}=-\Gamma ^{i}{}_{jk}\mathbf {b} ^{k},\quad {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} _{i}=\Gamma ^{k}{}_{ij}\mathbf {b} _{k}\otimes \mathbf {b} ^{j},\quad {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} ^{i}=-\Gamma ^{i}{}_{jk}\mathbf {b} ^{k}\otimes \mathbf {b} ^{j}}
3次元曲線座標におけるベクトルおよびテンソル解析 線積分 、面積積分 、体積 積分 の計算には調整が必要です。簡略化のため、以下では3次元かつ直交曲線座標系に限定します。ただし、同じ議論はn 次元空間にも適用できます。座標系が直交でない場合は、式にいくつかの追加項が現れます。
シモンズ[ 2 ] は、テンソル解析 に関する著書の中で、アルバート・アインシュタインの 言葉を引用している[ 10 ]
この理論の持つ魅力は、それを真に理解した者なら誰しもが必ずや魅了されるだろう。それは、ガウス、リーマン、リッチ、そしてレヴィ＝チヴィタによって確立された絶対微分積分法の真の勝利を象徴するものである。
一般曲線座標におけるベクトルおよびテンソル計算は、一般相対性理論 における4次元曲線多様体のテンソル解析 [ 11 ] シェル の力学[ 9 ] メタマテリアル [ 12 ] [ 13 ] で マクスウェル方程式 の不変 性を調べる際、
この節では、曲線座標におけるベクトルと2階テンソルの計算で役立ついくつかの関係式を示します。表記法と内容は主にOgden [ 14 ] [ 2 ] [ 5 ] [ 8 ] [ 9 ]によるものです。
φ = φ( x ) を明確なスカラー場、v = v ( x ) を明確なベクトル場 とし、λ 1 、λ 2 ... を座標のパラメータとする。
Differentiation The expressions for the gradient, divergence, and Laplacian can be directly extended to n -dimensions, however the curl is only defined in 3D.
The vector field b i qi coordinate curve and forms a natural basis at each point on the curve. This basis, as discussed at the beginning of this article, is also called the covariant curvilinear basis. We can also define a reciprocal basis , or contravariant curvilinear basis, b i x .
Fictitious forces in general curvilinear coordinates 定義によれば、作用する力のない粒子の位置が慣性座標系 ( x 1 、x 2 、x 3 、t ) で表されている場合、その粒子には加速度がありません (d 2 x j t 2 = 0)。[ 15 ] 古典力学 における）絶対加速度の成分を表しますが、d 2 x j t 2 を加速度とみなし続け（座標が慣性座標であるかのように）、追加の項を力として扱うこともできます。この場合、それらは仮想力と呼ばれます。 [ 16 ] このような仮想力 の、粒子の経路に垂直で、経路の曲率の平面内にある成分は、遠心力 と呼ばれます。[ 17 ]
このより一般的な文脈では、回転座標系 と静止曲線座標系における遠心力の概念間の対応関係が明らかになります。（これらの概念はどちらも文献に頻繁に登場します。 [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] W で回転する極座標系に対して、半径r の円周上を角速度wで運動する質量 m の粒子を考えます。動径方向の運動方程式はmr ” = F r mr ( w + W ) 2 です。したがって、遠心力は粒子の絶対回転速度A = w + W の二乗にmr を掛けたものです。粒子と同じ速度で回転する座標系を選択すると、W = A かつw = 0 となり、この場合の遠心力はmrA 2 となります。一方、静止した座標系を選択すると、W = 0 かつw = A となり、この場合の遠心力はやはりmrA 2 となります。この結果が等しくなる理由は、どちらの場合も粒子の位置における基底ベクトルが時間とともに全く同じように変化するからです。したがって、これらは実際には全く同じものを記述する 2 つの異なる方法であり、一方は回転座標による記述、もう一方は静止した曲線座標による記述であり、どちらもその用語のより抽象的な意味によれば非慣性です。
一般的な運動を記述する場合、粒子に作用する実際の力は、運動経路に接する瞬間的な接触円 によって表されることが多い。そして、この円は一般的には固定された位置を中心としていないため、遠心力とコリオリ力への分解は常に変化する。これは、運動が静止座標で記述されているか回転座標で記述されているかに関わらず当てはまる。
参考文献 ↑ JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitation . WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0 。 1 2 3 4 5 6 Simmonds, JG (1994). テンソル解析の概要 . Springer. ISBN 0-387-90639-8 。↑ Boothby, WM (2002). 微分多様体とリーマン幾何学入門 （改訂 版）。ニューヨーク、NY：Academic Press。 ↑ McConnell, AJ (1957). テンソル解析の応用 . ニューヨーク、NY: Dover Publications, Inc. 第9章、第1節. ISBN 0-486-60373-3 。1 2 3 Green, AE; Zerna, W. (1968). Theoretical Elasticity . Oxford University Press. ISBN 0-19-853486-8 。↑ Ogden, RW (2000). 非線形弾性変形 . Dover. ↑ Naghdi, PM (1972). 「シェルとプレートの理論」。S. Flügge (編)『 物理学ハンドブック 』第 VIa/2巻、 425–640 ページ。 1 2 Basar, Y.; Weichert, D. (2000). 固体の数値連続体力学: 基本概念と展望 . Springer. 1 2 3 Ciarlet, PG (2000). シェル理論 。第 1 巻。Elsevier Science。 ↑ アインシュタイン、A. (1915). 「一般相対性理論への貢献」. ラチョス、C. (編) 『アインシュタインの10年 』p. 213. ISBN 0-521-38105-3 。↑ ミスナー、CW; ソーン、KS; ウィーラー、JA (1973). 重力 . WH フリーマン社. ISBN 0-7167-0344-0 。↑ Greenleaf, A.; Lassas, M.; Uhlmann, G. (2003). "EITでは検出できない異方性伝導率". Physiological Measurement . 24 (2): 413– 419. doi : 10.1088/0967-3334/24/2/353 . PMID 12812426 . ↑ Leonhardt, U.; Philbin, TG (2006). "電気工学における一般相対性理論". New Journal of Physics . 8 (10): 247. arXiv : cond-mat/0607418 . Bibcode : 2006NJPh....8..247L . doi : 10.1088/1367-2630/8/10/247 . ↑ オグデン ↑ フリードマン、マイケル（1989）。 時空理論の基礎 。プリンストン大学出版局 。ISBN 0-691-07239-6 。↑ ストメル、ヘンリー M.、ムーア、デニス W. (1989). コリオリ力入門 . コロンビア大学出版局. ISBN 0-231-06636-8 。↑ Beer; Johnston (1972). Statics and Dynamics (2nd ed.). McGraw–Hill. p. 485. ISBN 0-07-736650-6 。↑ ヒルデブランド、フランシス・B. ( 1992). 応用数学の方法 . ドーバー出版. p. 156. ISBN 0-13-579201-0 。↑ マクウォーリー、ドナルド・アラン (2000). 統計力学 . ユニバーシティ・サイエンス・ブックス. ISBN 0-06-044366-9 。↑ Weber, Hans-Jurgen; Arfken, George Brown (2004). Essential Mathematical Methods for Physicists . Academic Press. p. 843. ISBN 0-12-059877-9 。
さらに読む シュピーゲル、MR (1959)。ベクトル解析 。ニューヨーク: シャウムのアウトライン シリーズ。ISBN 0-07-084378-3 。 Arfken, George (1995). Mathematical Methods for Physicists . Academic Press. ISBN 0-12-059877-9 。
外部リンク Planetmath.org 曲線座標における単位ベクトルの導出 MathWorldの曲線座標に関するページ R・ブラノン教授による曲線座標に関する電子書籍 Wikiversity:弾性/テンソル入門#テンソル場の発散– Wikiversity 、弾性/テンソル入門。
![{\displaystyle \Gamma _{kij}={\frac {1}{2}}(g_{ik,j}+g_{jk,i}-g_{ij,k})={\frac {1}{2}}[(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}+(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}-(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5374e9beb07a8c7ab470909bb5d24b4bfb1f32c6)
![{\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =[(\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s}]u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}={\mathcal {E}}_{smn}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fbed721be25f93b6f46d2152fcadb59c91738f2)
