三角関数

三角形関数（三角形関数、ハット関数、テント関数とも呼ばれる）は、グラフが三角形の形をとる関数です。多くの場合、これは高さ1、底辺2の二等辺三角形であり、その場合は三角形関数と呼ばれます。三角形関数は、信号処理や通信システム工学において、理想化された信号の表現として有用であり、特に三角形関数は、例えばカーネル密度推定において、より現実的な信号を導出できる積分変換カーネル関数として使用されます。また、パルス符号変調において、デジタル信号を送信するためのパルス波形として、また信号を受信するための整合フィルタとして応用されています。さらに、バートレット窓とも呼ばれる三角形窓を定義するためにも使用されます。

最も一般的な定義は、区分的関数として定義される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (x)=\Lambda (x)\ &{\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\ \max {\big (}1-|x|,0{\big )}\\&={\begin{cases}1-|x|,&|x|<1;\\0&{\text{otherwise}}.\\\end{cases}}\end{aligned}}}$$

同様に、これは2つの同一の単位矩形関数の畳み込みとして定義することもできます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (x)&=\operatorname {rect} (x)*\operatorname {rect} (x)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (x-\tau )\cdot \operatorname {rect} (\tau )\,d\tau .\\\end{aligned}}}$$

三角関数は、直交関数と絶対値関数の積としても表すことができる。

$${\displaystyle \operatorname {tri} (x)=\operatorname {rect} (x/2){\big (}1-|x|{\big )}.}$$

なお、一部の著者は三角形関数の底辺の幅を2ではなく1と定義していることに注意してください。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (2x)=\Lambda (2x)\ &{\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\ \max {\big (}1-2|x|,0{\big )}\\&={\begin{cases}1-2|x|,&|x|<{\tfrac {1}{2}};\\0&{\text{otherwise}}.\\\end{cases}}\end{aligned}}}$$

最も一般的な形では、三角形関数は任意の線形B スプラインです: ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle \operatorname {tri} _{j}(x)={\begin{cases}(x-x_{j-1})/(x_{j}-x_{j-1}),&x_{j-1}\leq x<x_{j};\\(x_{j+1}-x)/(x_{j+1}-x_{j}),&x_{j}\leq x<x_{j+1};\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

冒頭の定義は特殊なケースである

$${\displaystyle \Lambda (x)=\operatorname {tri} _{j}(x),}$$

どこ${\displaystyle x_{j-1}=-1}$、${\displaystyle x_{j}=0}$、 そして${\displaystyle x_{j+1}=1}$。

線形Bスプラインは、連続的な区分的線形関数と同じである。${\displaystyle f(x)}$、そしてこの一般的な三角形関数は、形式的に定義するのに役立ちます${\displaystyle f(x)}$として

$${\displaystyle f(x)=\sum _{j}y_{j}\cdot \operatorname {tri} _{j}(x),}$$

どこ${\displaystyle x_{j}<x_{j+1}}$すべての整数に対して${\displaystyle j}$区分的線形関数は、座標で表されたすべての点を通過します。${\displaystyle (x_{j},y_{j})}$つまり、

$${\displaystyle f(x_{j})=y_{j}.}$$

任意のパラメータについて${\displaystyle a\neq 0}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} \left({\tfrac {t}{a}}\right)&={\tfrac {1}{\sqrt {a}}}\operatorname {rect} \left({\tfrac {t}{a}}\right)*{\tfrac {1}{\sqrt {a}}}\operatorname {rect} \left({\tfrac {t}{a}}\right)\\[1ex]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\tfrac {1}{|a|}}\operatorname {rect} \left({\tfrac {\tau }{a}}\right)\cdot \operatorname {rect} \left({\tfrac {t-\tau }{a}}\right)\,d\tau \\&={\begin{cases}1-|t/a|,&|t|<|a|;\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

フーリエ変換の畳み込みの性質と矩形関数のフーリエ変換を用いることで、変換を容易に求めることができる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{\operatorname {tri} (t)\}&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}\cdot {\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}^{2}\\&=\mathrm {sinc} ^{2}(f),\end{aligned}}}$$ どこ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)=\sin(\pi x)/(\pi x)}$は正規化されたsinc関数です。

一般形については、次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{\operatorname {tri} \left({\tfrac {t}{a}}\right)\}&={\mathcal {F}}\left\{{\tfrac {1}{\sqrt {a}}}\operatorname {rect} \left({\tfrac {t}{a}}\right)*{\tfrac {1}{\sqrt {a}}}\operatorname {rect} \left({\tfrac {t}{a}}\right)\right\}\\&={\tfrac {1}{a}}\ {\mathcal {F}}\left\{\operatorname {rect} \left({\tfrac {t}{a}}\right)\right\}\cdot {\mathcal {F}}\left\{\operatorname {rect} \left({\tfrac {t}{a}}\right)\right\}\\&={\tfrac {1}{a}}\ {\mathcal {F}}\left\{\operatorname {rect} \left({\tfrac {t}{a}}\right)\right\}^{2}\\&={\tfrac {1}{a}}\ {a}^{2}\ \mathrm {sinc} ^{2}(a\cdot f)={a}\ \mathrm {sinc} ^{2}(a\cdot f).\end{aligned}}}$$

• ケルレン関数（三角形関数とも呼ばれる）
• テントマップ
• 三角形分布
• 三角波、区分的線形周期関数
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