構造解析

構造解析は固体力学の一分野であり、棒、梁、シェルなどの固体の簡略化されたモデルを使用して工学上の意思決定を行う。その主な目的は、荷重が物理的構造とその構成要素に与える影響を判断することである。弾性理論とは対照的に、構造解析で使用されるモデルは、多くの場合、1つの空間変数の微分方程式である。このタイプの解析の対象となる構造物には、建物、橋、航空機、船舶など、荷重に耐えなければならないものすべてが含まれる。構造解析では、応用力学、材料科学、応用数学のアイデアを使用して、構造物の変形、内部力、応力、支持反力、速度、加速度、安定性を計算します。解析の結果は、多くの場合、物理的なテストを排除して、構造物の使用適合性を検証するために使用されます。したがって、構造解析は構造物の工学設計の重要な部分です。^[1]

構造解析の文脈では、構造とは、荷重を支えるために使用される接続された部品の本体またはシステムを指します。土木工学に関連する重要な例としては、建物、橋、塔などがあり、他の工学分野では、船や飛行機のフレーム、タンク、圧力容器、機械システム、電気支持構造が重要です。構造物を設計するには、エンジニアは経済的および環境的制約を考慮しながら、安全性、美観、保守性を考慮する必要があります。他の工学分野では、建物以外のさまざまな構造物に取り組んでいます。

構造システムとは、構造要素とその材料の組み合わせです。構造エンジニアにとって、構造を構成するさまざまな要素を認識して、構造をその形状または機能のいずれかで分類できることが重要です。材料を通じてシステムの力を導く構造要素には、コネクティングロッド、トラス、梁、柱だけでなく、ケーブル、アーチ、空洞またはチャネル、さらにはアングル、表面構造、フレームも含まれます。

構造物の寸法要件が定義されると、構造物が支えなければならない荷重を決定することが必要になります。したがって、構造設計は、構造物に作用する荷重を指定することから始まります。構造物の設計荷重は、多くの場合、建築基準法で指定されます。基準には、一般建築基準法と設計基準法の 2 種類があり、エンジニアは構造物の信頼性を維持するために、基準法のすべての要件を満たす必要があります。

構造工学の設計では、2 種類の荷重に対処しなければなりません。1 つ目の荷重は、さまざまな構造部材の重量と、構造物に恒久的に取り付けられている物体の重量で構成される固定荷重です。たとえば、柱、梁、桁、床スラブ、屋根、壁、窓、配管、電気器具、その他のさまざまな付属品などです。2 つ目の荷重は、大きさと場所が変化する活荷重です。活荷重には、建物荷重、高速道路橋の荷重、鉄道橋の荷重、衝撃荷重、風荷重、積雪荷重、地震荷重、その他の自然荷重など、さまざまな種類があります。

正確な解析を実行するには、構造エンジニアは構造荷重、形状、支持条件、材料特性などの情報を決定する必要があります。このような解析の結果には通常、支持反力、応力、変位が含まれます。次に、この情報は破損条件を示す基準と比較されます。高度な構造解析では、動的応答、安定性、非線形動作を調べることができます。解析には、材料力学アプローチ (材料強度とも呼ばれます)、弾性理論アプローチ (実際には、より一般的な連続体力学の分野の特殊なケース)、有限要素アプローチの 3 つのアプローチがあります。最初の 2 つは、主に単純な線形弾性モデルを適用する解析定式化を使用して閉じた形式の解を導き、多くの場合手作業で解くことができます。有限要素アプローチは、実際には弾性理論や材料強度などの力学理論によって生成された微分方程式を解く数値手法です。ただし、有限要素法はコンピューターの処理能力に大きく依存するため、任意のサイズと複雑さの構造に適しています。

アプローチに関係なく、定式化は同じ 3 つの基本関係、つまり平衡、構成、適合性に基づいています。これらの関係のいずれかが近似的に満たされている場合、または現実の近似値に過ぎない場合、解は近似値になります。

各方法には注目すべき制限があります。材料力学の方法は、比較的単純な荷重条件の下にある非常に単純な構造要素に限定されます。ただし、許容される構造要素と荷重条件は、多くの有用な工学的問題を解決するのに十分です。弾性理論では、原則として、一般的な荷重条件の下にある一般的な形状の構造要素を解くことができます。ただし、解析的解決は比較的単純なケースに限定されます。弾性問題の解決には、偏微分方程式のシステムの解も必要であり、これはせいぜい常微分方程式の解を必要とする材料力学の問題の解決よりも数学的にかなり要求が厳しいものです。有限要素法は、おそらく最も制限が厳しく、同時に最も有用です。この方法自体は、方程式を解くために他の構造理論 (ここで説明した他の 2 つなど) に依存しています。ただし、この方法を使用すると、非常に複雑な形状と荷重条件であっても、常に何らかの数値誤差があるという制限付きで、これらの方程式を解くことが一般的に可能になります。この方法を効果的かつ確実に使用するには、その制限をしっかりと理解する必要があります。

ここで説明する 3 つの方法の中で最も単純な材料力学法は、軸方向に荷重がかかった棒、純粋に曲げられた状態の角柱梁、ねじれを受ける円形シャフトなど、特定の荷重を受ける単純な構造部材に使用できます。特定の条件下では、重ね合わせの原理を使用してソリューションを重ね合わせることで、複合荷重を受ける部材を解析できます。薄壁の圧力容器などの一般的な構造には、特殊なケースのソリューションが存在します。

システム全体の解析では、このアプローチを静力学と組み合わせて使用​​することができ、トラス解析用の断面法とジョイント法、小型ラーメン用のモーメント分布法、大型ラーメン用の門型ラーメン法と片持ち梁法が生まれます。1930 年代に使用されるようになったモーメント分布法を除き、これらの方法は 19 世紀後半に現在の形で開発されました。これらは現在でも、小型構造物や大型構造物の予備設計に使用されています。

解は、線形等方性微小弾性とオイラー・ベルヌーイ梁理論に基づいています。言い換えると、これらの解には、問題の材料が弾性であること、応力がひずみに線形関係にあること、材料（構造ではない）は適用される荷重の方向に関係なく同じように動作すること、すべての変形は小さいこと、梁は深さに比べて長いことなどの仮定（その他）が含まれています。工学における単純化の仮定と同様に、モデルが現実から遠ざかるほど、結果は役に立たなくなり（より危険になります）。

トラス要素の力を求めるのに一般的に使用される方法は 2 つあります。ジョイント法とセクション法です。以下は、この両方の方法を使用して解決した例です。下の最初の図は、トラス要素の力を求める必要がある問題です。2 番目の図は荷重図で、ジョイントからの反力が含まれています。

A にはピン ジョイントがあるため、反力は 2 つあります。1 つは x 方向、もう 1 つは y 方向です。B 点にはローラー ジョイントがあるため、y 方向の反力は 1 つだけです。これらの力がそれぞれ正の方向にあると仮定します (正の方向でない場合、値は負になります)。

システムは静的平衡状態にあるため、任意の方向の力の合計はゼロであり、任意の点の周りのモーメントの合計はゼロです。したがって、反力の大きさと方向を計算することができます。

${\displaystyle \sum M_{A}=0=-10*1+2*R_{B}\Rightarrow R_{B}=5}$

${\displaystyle \sum F_{y}=0=R_{Ay}+R_{B}-10\Rightarrow R_{Ay}=5}$

${\displaystyle \sum F_{x}=0=R_{Ax}}$

このタイプの方法では、トラス構造の各ジョイントにおける x 方向と y 方向の力のバランスを使用します。

Aでは、

${\displaystyle \sum F_{y}=0=R_{Ay}+F_{AD}\sin(60)=5+F_{AD}{\frac {\sqrt {3}}{2}}\Rightarrow F_{AD}=-{\frac {10}{\sqrt {3}}}}$

${\displaystyle \sum F_{x}=0=R_{Ax}+F_{AD}\cos(60)+F_{AB}=0-{\frac {10}{\sqrt {3}}}{\frac {1}{2}}+F_{AB}\Rightarrow F_{AB}={\frac {5}{\sqrt {3}}}}$

Dでは、

${\displaystyle \sum F_{y}=0=-10-F_{AD}\sin(60)-F_{BD}\sin(60)=-10-\left(-{\frac {10}{\sqrt {3}}}\right){\frac {\sqrt {3}}{2}}-F_{BD}{\frac {\sqrt {3}}{2}}\Rightarrow F_{BD}=-{\frac {10}{\sqrt {3}}}}$

${\displaystyle \sum F_{x}=0=-F_{AD}\cos(60)+F_{BD}\cos(60)+F_{CD}=-{\frac {10}{\sqrt {3}}}{\frac {1}{2}}+{\frac {10}{\sqrt {3}}}{\frac {1}{2}}+F_{CD}\Rightarrow F_{CD}=0}$

Cでは、

${\displaystyle \sum F_{y}=0=-F_{BC}\Rightarrow F_{BC}=0}$

各トラス要素の力が求められますが、残りの力のバランスを完了して結果を確認することをお勧めします。

${\displaystyle \sum F_{x}=-F_{CD}=-0=0\Rightarrow verified}$

Bでは、

${\displaystyle \sum F_{y}=R_{B}+F_{BD}\sin(60)+F_{BC}=5+\left(-{\frac {10}{\sqrt {3}}}\right){\frac {\sqrt {3}}{2}}+0=0\Rightarrow verified}$

${\displaystyle \sum F_{x}=-F_{AB}-F_{BD}\cos(60)={\frac {5}{\sqrt {3}}}-{\frac {10}{\sqrt {3}}}{\frac {1}{2}}=0\Rightarrow verified}$

この方法は、トラス要素の力を求める必要があるメンバーが少数の場合に使用できます。この方法は、力を計算する必要があるメンバーを切断する 1 本の直線を導入することによって使用されます。ただし、この方法には、切断線がトラス構造の最大 3 つのメンバーしか通過できないという制限があります。この制限は、この方法では x 方向と y 方向の力のバランスとモーメントのバランスが使用されるため、最大 3 つの方程式を使用して、この切断が行われる最大 3 つの未知のトラス要素力を求めることができます。上記の例で、力 FAB、FBD、および FCD を見つけます。

${\displaystyle \sum M_{D}=0=-5*1+{\sqrt {3}}*F_{AB}\Rightarrow F_{AB}={\frac {5}{\sqrt {3}}}}$

${\displaystyle \sum F_{y}=0=R_{Ay}-F_{BD}\sin(60)-10=5-F_{BD}{\frac {\sqrt {3}}{2}}-10\Rightarrow F_{BD}=-{\frac {10}{\sqrt {3}}}}$

${\displaystyle \sum F_{x}=0=F_{AB}+F_{BD}\cos(60)+F_{CD}={\frac {5}{\sqrt {3}}}-{\frac {10}{\sqrt {3}}}{\frac {1}{2}}+F_{CD}\Rightarrow F_{CD}=0}$

${\displaystyle \sum M_{B}=0={\sqrt {3}}*F_{CD}\Rightarrow F_{CD}=0}$

${\displaystyle \sum F_{y}=0=F_{BD}\sin(60)+R_{B}=F_{BD}{\frac {\sqrt {3}}{2}}+5\Rightarrow F_{BD}=-{\frac {10}{\sqrt {3}}}}$

${\displaystyle \sum F_{x}=0=-F_{AB}-F_{BD}\cos(60)-F_{CD}=-F_{AB}-\left(-{\frac {10}{\sqrt {3}}}\right){\frac {1}{2}}-0\Rightarrow F_{AB}={\frac {5}{\sqrt {3}}}}$

残りのメンバーのトラス要素力は、残りのメンバーを通過するセクションを使用して上記の方法を使用することで見つけることができます。

弾性法は、一般的に、あらゆる形状の弾性体に対して使用できます。梁、柱、シャフト、プレート、シェルなどの個々の部材をモデル化できます。解は線形弾性方程式から導出されます。弾性方程式は、15 個の偏微分方程式のシステムです。関係する数学の性質上、解析解は比較的単純な形状に対してのみ生成されます。複雑な形状の場合、有限要素法などの数値解法が必要です。

構造解析の基礎として微分方程式の近似解を使用するのは一般的な方法です。これは通常、数値近似手法を使用して行われます。構造解析で最も一般的に使用される数値近似は有限要素法です。

有限要素法は、構造を、さまざまな形式で相互接続され、各要素に関連付けられた剛性を持つ要素またはコンポーネントのアセンブリとして近似します。したがって、プレートやシェルなどの連続システムは、有限数のノードで相互接続された有限数の要素を持つ離散システムとしてモデル化され、全体の剛性はさまざまな要素の剛性を加算した結果です。個々の要素の動作は、要素の剛性 (または柔軟性) 関係によって特徴付けられます。さまざまな剛性を、構造全体を表すマスター剛性マトリックスにまとめると、システムの剛性または柔軟性関係が得られます。特定の要素の剛性 (または柔軟性) を確立するには、単純な 1次元バー要素には材料力学アプローチを使用し、より複雑な 2 次元および 3 次元要素には弾性アプローチを使用できます。分析および計算の開発は、偏微分方程式を解く行列代数によって全体的に最も効果的に行われます。

マトリックス法の初期アプリケーションは、トラス、梁、柱の要素を持つ連結フレームワークに適用されました。その後のより高度なマトリックス法は「有限要素解析」と呼ばれ、1 次元、2 次元、3 次元の要素を持つ構造全体をモデル化し、圧力容器、プレート、シェル、3 次元ソリッドなどの連結システムと連続システムの両方に使用できます。構造解析用の市販のコンピュータ ソフトウェアは通常、マトリックス有限要素解析を使用します。マトリックス有限要素解析は、変位法または剛性法と力法または柔軟性法の 2 つの主なアプローチにさらに分類できます。剛性法は、実装が容易で高度なアプリケーションでも定式化しやすいため、圧倒的に人気があります。有限要素テクノロジは現在、十分な計算能力があればほぼすべてのシステムを処理できるほど洗練されています。その適用範囲には、線形および非線形解析、固体と流体の相互作用、等方性、直交異方性、異方性の材料、静的、動的、環境要因などの外部効果が含まれますが、これらに限定されません。ただし、これは、計算されたソリューションが自動的に信頼できることを意味するものではありません。これは、モデルとデータ入力の信頼性に大きく依存するためです。

• 1452–1519レオナルド ダ ヴィンチは多くの貢献をしました
• 1638年:ガリレオ・ガリレイは『二つの新しい科学』という本を出版し、その中で単純な構造の破壊について考察した。
• 1660年:ロバート・フックによるフックの法則
• 1687年：アイザック・ニュートンがニュートンの運動の法則をまとめた『自然哲学の数学的原理』を出版した。
• 1750:オイラー・ベルヌーイの梁方程式
• 1700-1782:ダニエル・ベルヌーイが仮想仕事の原理を提唱した
• 1707–1783:レオンハルト・オイラーが柱の座屈理論を考案
• 1826年：クロード・ルイ・ナビエが構造物の弾性挙動に関する論文を発表
• 1873年：カルロ・アルベルト・カスティリアーノは、変位をひずみエネルギーの偏微分として計算する定理を含む論文「弾性体の内在」を発表しました。この定理には、特別なケースとして「最小仕事」法が含まれています。
• 1878-1972スティーブン・ティモシェンコ ティモシェンコ・エーレンフェスト梁理論を含む現代応用力学の父
• 1936年:ハーディ・クロスがモーメント分布法を発表。これは後に、パイプネットワーク内の流れの問題に適用できる緩和法の一種として認識されるようになった。
• 1941年:アレクサンダー・フレニコフがMITに格子フレームワークを用いた平面弾性問題の離散化に関する理学博士論文を提出した。
• 1942年: R.クーラントは領域を有限のサブ領域に分割した。
• 1956年: J. Turner、RW Clough、HC Martin、LJ Toppによる「複雑な構造物の剛性とたわみ」に関する論文で「有限要素法」という名前が紹介され、今日知られているような方法の最初の包括的な扱いとして広く認識されました。

• 不完全性を考慮した幾何学的および物質的非線形解析
• 限界状態設計
• 構造工学理論
• 構造の健全性と故障
• 応力-ひずみ解析
• フォン・ミーゼス降伏基準
• 構造の確率的評価
• 構造試験

ウィキブックスには構造解析に関する詳細があります

ウィキバーシティには構造解析に関する学習リソースがあります