線形写像の空間上の位相

以下の集合は、線形写像の空間上の位相の基本開部分集合を構成します。任意の部分集合に対して${\displaystyle G\subseteq T}$そして${\displaystyle N\subseteq Y,}$させて $$\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N):=\{f\in F:f(G)\subseteq N\}.}$$

家族 $${\displaystyle \{{\mathcal {U}}(G,N):G\in {\mathcal {G}},N\in {\mathcal {N}}\}}$$ 原点に近傍基底^{[ 1 ]} を形成し、一意の並進不変トポロジーを形成する。${\displaystyle F,}$このトポロジーは必ずしもベクトルトポロジーではない（つまり、${\displaystyle F}$TVS に変換します）。このトポロジーは近傍ベースに依存しません${\displaystyle {\mathcal {N}}}$それは選択され、集合上の均一収束の位相として知られています。${\displaystyle {\mathcal {G}}}$または${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-トポロジー。^{[ 2 ]} ただし、この名前は、${\displaystyle {\mathcal {G}}}$（例えば、「コンパクト集合上の一様収束の位相」または「コンパクト収束の位相」など。詳細は脚注を参照^{[ 3 ]}）。

サブセット${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$の${\displaystyle {\mathcal {G}}}$に関して基本的であると言われている${\displaystyle {\mathcal {G}}}$それぞれ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ある要素のサブセットである${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}.}$ この場合、コレクション${\displaystyle {\mathcal {G}}}$に置き換えることができます${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$トポロジーを変更せずに${\displaystyle F.}$^{[ 2 ]} 置き換えることもできる${\displaystyle {\mathcal {G}}}$すべての有限集合の要素のすべての部分集合のコレクション${\displaystyle {\mathcal {G}}}$結果を変えることなく${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-トポロジー${\displaystyle F.}$^{[ 4 ]}

サブセットを呼び出す${\displaystyle B}$の${\displaystyle T}$${\displaystyle F}$-境界付きの場合${\displaystyle f(B)}$は、${\displaystyle Y}$すべての${\displaystyle f\in F.}$^{[ 5 ]}

物件

基本的な開集合の性質についてこれから説明しますので、${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$そして${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}.}$ それから${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)}$は吸収部分集合である${\displaystyle F}$すべての${\displaystyle f\in F,}$${\displaystyle N}$吸収する${\displaystyle f(G)}$[ ^{6 ]} もし^​${\displaystyle N}$がバランスが取れている^{[ 6 ]}（それぞれ凸である）ならば、${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N).}$

平等 ${\displaystyle {\mathcal {U}}(\varnothing ,N)=F}$ 常に保持されます。${\displaystyle s}$スカラーの場合${\displaystyle s{\mathcal {U}}(G,N)={\mathcal {U}}(G,sN),}$そのため、特に、${\displaystyle -{\mathcal {U}}(G,N)={\mathcal {U}}(G,-N).}$^{[ 6 ]} さらに、 ^{[ 4 ]}$${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)-{\mathcal {U}}(G,N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,N-N)}$$ 同様に^{[ 5 ]}$${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,M)+{\mathcal {U}}(G,N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,M+N).}$$

任意の部分集合について${\displaystyle G,H\subseteq X}$および空でない部分集合${\displaystyle M,N\subseteq Y,}$^{[ 5 ]}$${\displaystyle {\mathcal {U}}(G\cup H,M\cap N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,M)\cap {\mathcal {U}}(H,N)}$$ これは次のことを意味する。

• もし${\displaystyle M\subseteq N}$それから${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,M)\subseteq {\mathcal {U}}(G,N).}$^{[ 6 ]}
• もし${\displaystyle G\subseteq H}$それから${\displaystyle {\mathcal {U}}(H,N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,N).}$
• いかなる場合でも${\displaystyle M,N\in {\mathcal {N}}}$および部分集合${\displaystyle G,H,K}$の${\displaystyle T,}$もし${\displaystyle G\cup H\subseteq K}$それから${\displaystyle {\mathcal {U}}(K,M\cap N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,M)\cap {\mathcal {U}}(H,N).}$

どんな家族にも${\displaystyle {\mathcal {S}}}$サブセットの${\displaystyle T}$そしてどんな家族でも${\displaystyle {\mathcal {M}}}$起源の近隣地域${\displaystyle Y,}$^{[ 4 ]}$${\displaystyle {\mathcal {U}}\left(\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}S,N\right)=\bigcap _{S\in {\mathcal {S}}}{\mathcal {U}}(S,N)\qquad {\text{ and }}\qquad {\mathcal {U}}\left(G,\bigcap _{M\in {\mathcal {M}}}M\right)=\bigcap _{M\in {\mathcal {M}}}{\mathcal {U}}(G,M).}$$

いかなる場合でも${\displaystyle G\subseteq T}$そして${\displaystyle U\subseteq Y\times Y}$の取り巻き​${\displaystyle Y}$（どこ${\displaystyle Y}$は正準均一性を備えている） $${\displaystyle {\mathcal {W}}(G,U)~:=~\left\{(u,v)\in Y^{T}\times Y^{T}~:~(u(g),v(g))\in U\;{\text{ for every }}g\in G\right\}.}$$ 与えられた${\displaystyle G\subseteq T,}$すべての集合の家族${\displaystyle {\mathcal {W}}(G,U)}$として${\displaystyle U}$あらゆる基本的なアントラージュのシステムの範囲${\displaystyle Y}$均一な構造のための基本的なアンターラージュシステムを形成する${\displaystyle Y^{T}}$一様の均一性と呼ばれるものが収束する${\displaystyle G}$または単に${\displaystyle G}$-収束均一 構造。^{[ 7 ]}${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-収束一様構造はすべての最小上限です${\displaystyle G}$-収束均一構造として${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$範囲は${\displaystyle {\mathcal {G}}.}$^{[ 7 ]}

ネットと均一収束

させて${\displaystyle f\in F}$そして${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ネットになる${\displaystyle F.}$すると任意の部分集合に対して${\displaystyle G}$の${\displaystyle T,}$と言いましょう${\displaystyle f_{\bullet }}$一様に収束して${\displaystyle f}$の上${\displaystyle G}$すべての${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$いくつか存在する${\displaystyle i_{0}\in I}$すべての${\displaystyle i\in I}$満足${\displaystyle i\geq i_{0},I}$${\displaystyle f_{i}-f\in {\mathcal {U}}(G,N)}$（または同等に、${\displaystyle f_{i}(g)-f(g)\in N}$すべての${\displaystyle g\in G}$[ ^{5 ]​}

局所凸性

もし${\displaystyle Y}$が局所的に凸であれば、${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-トポロジー${\displaystyle F}$そしてもし${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i\in I}}$これは、このトポロジーを生成する連続セミノルムの族である。${\displaystyle Y}$それから${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-トポロジーは、以下のセミノルムの族によって誘導される。 $${\displaystyle p_{G,i}(f):=\sup _{x\in G}p_{i}(f(x)),}$$ として${\displaystyle G}$変動する${\displaystyle {\mathcal {G}}}$そして${\displaystyle i}$変動する${\displaystyle I}$[ ^{8 ]​}

ハウスドルフネス

もし${\displaystyle Y}$ハウスドルフと${\displaystyle T=\bigcup _{G\in {\mathcal {G}}}G}$それから${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-トポロジー${\displaystyle F}$ハウスドルフです。^{[ 5 ]}

仮に${\displaystyle T}$は位相空間である。${\displaystyle Y}$ハウスドルフと${\displaystyle F}$は、のベクトル部分空間です。${\displaystyle Y^{T}}$すべての連続マップで構成され、${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$そしてもし${\displaystyle \bigcup _{G\in {\mathcal {G}}}G}$密度が高い${\displaystyle T}$それから${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-トポロジー${\displaystyle F}$ハウスドルフです。

境界性

サブセット${\displaystyle H}$の${\displaystyle F}$は​​${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-トポロジーは、すべての${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$${\displaystyle H(G)=\bigcup _{h\in H}h(G)}$は${\displaystyle Y.}$^[8]

Pointwise convergence

If we let ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ be the set of all finite subsets of ${\displaystyle T}$ then the ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-topology on ${\displaystyle F}$ is called the topology of pointwise convergence. The topology of pointwise convergence on ${\displaystyle F}$ is identical to the subspace topology that ${\displaystyle F}$ inherits from ${\displaystyle Y^{T}}$ when ${\displaystyle Y^{T}}$ is endowed with the usual product topology.

If ${\displaystyle X}$ is a non-trivial completely regular Hausdorff topological space and ${\displaystyle C(X)}$ is the space of all real (or complex) valued continuous functions on ${\displaystyle X,}$ the topology of pointwise convergence on ${\displaystyle C(X)}$ is metrizable if and only if ${\displaystyle X}$ is countable.^[5]

Assumptions that guarantee a vector topology

• (${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ is directed): ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ will be a non-empty collection of subsets of ${\displaystyle X}$directed by (subset) inclusion. That is, for any ${\displaystyle G,H\in {\mathcal {G}},}$ there exists ${\displaystyle K\in {\mathcal {G}}}$ such that ${\displaystyle G\cup H\subseteq K}$.

The above assumption guarantees that the collection of sets ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)}$ forms a filter base. The next assumption will guarantee that the sets ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)}$ are balanced. Every TVS has a neighborhood basis at 0 consisting of balanced sets so this assumption isn't burdensome.

• (${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$ are balanced): ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ is a neighborhoods basis of the origin in ${\displaystyle Y}$ that consists entirely of balanced sets.

The following assumption is very commonly made because it will guarantee that each set ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)}$ is absorbing in ${\displaystyle L(X;Y).}$

• (${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ are bounded): ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ is assumed to consist entirely of bounded subsets of ${\displaystyle X.}$

The next theorem gives ways in which ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ can be modified without changing the resulting ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-topology on ${\displaystyle Y.}$

一般的な思い込み

一部の著者（例えばナリチ）は、${\displaystyle {\mathcal {G}}}$次の条件を満たす。これは特に、${\displaystyle {\mathcal {G}}}$部分集合の包含によって制御される：

${\displaystyle {\mathcal {G}}}$有限集合の和集合の部分集合の形成に関して閉じていると仮定する${\displaystyle {\mathcal {G}}}$（つまり、有限集合のすべての和集合のすべての部分集合${\displaystyle {\mathcal {G}}}$に属する${\displaystyle {\mathcal {G}}}$)

一部の著者（例えばTrèves ^{[ 9 ]}）は、${\displaystyle {\mathcal {G}}}$部分集合包含関係に基づいて指示され、かつ以下の条件を満たすこと。

もし${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$そして${\displaystyle s}$がスカラーであれば、${\displaystyle H\in {\mathcal {G}}}$そのため${\displaystyle sG\subseteq H.}$

もし${\displaystyle {\mathcal {G}}}$出生学は${\displaystyle X,}$これはよくあるケースですが、その場合、これらの公理は満たされます。${\displaystyle {\mathcal {G}}}$は、有界部分集合の飽和族である。${\displaystyle X}$そうすれば、これらの公理も満たされる。

ハウスドルフネス

TVSのサブセット${\displaystyle X}$その線形スパンは、${\displaystyle X}$は、​${\displaystyle X.}$ もし${\displaystyle {\mathcal {G}}}$TVS のサブセットのファミリーです${\displaystyle T}$それから${\displaystyle {\mathcal {G}}}$は、${\displaystyle T}$線形スパンが${\displaystyle \bigcup _{G\in {\mathcal {G}}}G}$密度が高い${\displaystyle T.}$^{[ 10 ]}

もし${\displaystyle F}$は、のベクトル部分空間です。${\displaystyle Y^{T}}$すべての連続線形写像から成り、${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$それから${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-トポロジー${\displaystyle F}$ハウスドルフであれば${\displaystyle Y}$ハウスドルフと${\displaystyle {\mathcal {G}}}$合計${\displaystyle T.}$^{[ 6 ]}

完全

以下の定理では、${\displaystyle X}$は位相ベクトル空間であり、${\displaystyle Y}$は局所凸ハウスドルフ空間であり、${\displaystyle {\mathcal {G}}}$は、${\displaystyle X}$カバーするもの${\displaystyle X,}$部分集合包含によって方向付けられ、次の条件を満たす場合：${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$そして${\displaystyle s}$がスカラーであれば、${\displaystyle H\in {\mathcal {G}}}$そのため${\displaystyle sG\subseteq H.}$

• ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$完了です​
  1. ${\displaystyle X}$は局所的に凸であり、ハウスドルフである。
  2. ${\displaystyle Y}$完了しました。
  3. いつでも${\displaystyle u:X\to Y}$線形マップの場合${\displaystyle u}$すべてのセットに制限されています${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$連続であるということは、${\displaystyle u}$連続的である、
• もし${\displaystyle X}$マッキースペースですか${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$が完全であるのは、両方が完全である場合に限る。${\displaystyle X_{\mathcal {G}}^{\prime }}$そして${\displaystyle Y}$完了しました。
• もし${\displaystyle X}$樽詰めされたら${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$ハウスドルフ空間であり、準完全である。
• させて${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$TVSは${\displaystyle Y}$準完全であり、(1)を仮定する${\displaystyle X}$樽詰めされているか、そうでなければ（2）${\displaystyle X}$ベール空間であり、${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$局所的に凸である。${\displaystyle {\mathcal {G}}}$カバー${\displaystyle X}$すると、すべての閉じた等連続部分集合${\displaystyle L(X;Y)}$完了${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$そして${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$準完全である。^{[ 11 ]}
• させて${\displaystyle X}$出生学的な空間である、${\displaystyle Y}$局所凸空間、そして${\displaystyle {\mathcal {G}}}$有界部分集合の族${\displaystyle X}$すべてのヌルシーケンスの範囲は${\displaystyle X}$いくつかの中に含まれている${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}.}$もし${\displaystyle Y}$が準完全（または完全）であれば、${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$[ ^{12 ]​}

境界性

させて${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$位相ベクトル空間であり、${\displaystyle H}$のサブセットである${\displaystyle L(X;Y).}$ すると、以下は同等である。^{[ 8 ]}

1. ${\displaystyle H}$は​​${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$;
2. すべての${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$${\displaystyle H(G):=\bigcup _{h\in H}h(G)}$は${\displaystyle Y}$; ^{[ 8 ]}
3. すべての地域${\displaystyle V}$起源の${\displaystyle Y}$セット${\displaystyle \bigcap _{h\in H}h^{-1}(V)}$あらゆるものを吸収する${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}.}$

もし${\displaystyle {\mathcal {G}}}$は、${\displaystyle X}$その結合は完全である${\displaystyle X}$すると、すべての等連続部分集合${\displaystyle L(X;Y)}$は${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-トポロジー。^{[ 11 ]} さらに、${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$局所凸ハウスドルフ空間である場合、

• もし${\displaystyle H}$は${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$（つまり、点ごとに有界であるか、単に有界である場合）凸でバランスのとれた有界な完全部分集合上の一様収束の位相において有界である。${\displaystyle X.}$^{[ 13 ]}
• もし${\displaystyle X}$が準完全である（つまり、閉部分集合と有界部分集合が完全である）ならば、の有界部分集合は${\displaystyle L(X;Y)}$すべてにおいて同一である${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-トポロジー${\displaystyle {\mathcal {G}}}$は、有界部分集合の任意の族である。${\displaystyle X}$カバー${\displaystyle X.}$^{[ 13 ]}

もし${\displaystyle X}$は、有界部分集合が弱有界部分集合と完全に一致するTVSです（例：${\displaystyle X}$はハウスドルフ局所凸空間である）ならば、${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-トポロジー${\displaystyle X^{\prime }}$（この記事で定義されているように）は極性トポロジーであり、逆に、すべての極性トポロジーは、${\displaystyle {\mathcal {G}}}$トポロジー。したがって、この場合、この記事で述べた結果は極性トポロジーにも適用できます。

しかし、もし${\displaystyle X}$が有界部分集合が弱有界部分集合と完全に一致しないTVSである場合、「有界」の概念は${\displaystyle X}$「は、という概念よりも強い」${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$-境界${\displaystyle X}$「（つまり、境界が${\displaystyle X}$暗示する${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$-境界${\displaystyle X}$) なので、${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-トポロジー${\displaystyle X^{\prime }}$（この記事で定義されているように）は必ずしも極位相ではない。重要な違いの1つは、極位相は常に局所的に凸であるのに対し、${\displaystyle {\mathcal {G}}}$トポロジーは必ずしもそうである必要はありません。

極位相は、本稿で説明するより一般的な一様収束位相よりも優れた結果を示しており、詳細についてはメイン記事「極位相」を参照されたい。ここでは、最も一般的な極位相をいくつか紹介する。

仮に${\displaystyle X}$は、有界部分集合と弱有界部分集合が同じであるTVSである。

表記法:${\displaystyle \Delta (Y,X)}$極位相を表す${\displaystyle Y}$それから${\displaystyle Y}$このトポロジーを備えたものは、で表されます。${\displaystyle Y_{\Delta (Y,X)}}$または単に${\displaystyle Y_{\Delta }}$（例：${\displaystyle \sigma (Y,X)}$私たちは${\displaystyle \Delta =\sigma }$となることによって${\displaystyle Y_{\sigma (Y,X)}}$そして${\displaystyle Y_{\sigma }}$すべては${\displaystyle Y}$恵まれた${\displaystyle \sigma (Y,X)}$)

仮に${\displaystyle X,Y,}$そして${\displaystyle Z}$は局所凸空間であり、${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\prime }}$そして${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\prime }}$等連続部分集合の集合である${\displaystyle X^{\prime }}$そして${\displaystyle X^{\prime }}$それぞれ。次に${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\prime }-{\mathcal {H}}^{\prime }}$-トポロジー${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Z\right)}$これは位相ベクトル空間トポロジーになります。このトポロジーはεトポロジーと呼ばれ、${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{b\left(X^{\prime },X\right)};Z\right)}$このトポロジーでは、次のように表されます。${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Z\right)}$または単に${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right).}$

このベクトル空間とこの位相の重要性の一部は、次のような多くの部分空間を含んでいることです。${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Z\right),}$これを次のように表す。${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime };Z\right).}$ この部分空間に部分空間トポロジーを与えると、${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)}$それは次のように表されます${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime };Z\right).}$

の場合${\displaystyle Z}$これらのベクトル空間のフィールドは、${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$はテンソル積です${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y.}$ 実際、もし${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$局所凸ハウスドルフ空間である場合${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$はベクトル空間的に同型である${\displaystyle L\left(X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Y_{\sigma (Y^{\prime },Y)}\right),}$これは、${\displaystyle L\left(X_{\tau \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Y\right).}$

これらの空間には以下の特性があります。

• もし${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$局所凸ハウスドルフ空間である場合${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$が完全であるのは、両方が完全である場合に限る。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$完了しました。
• もし${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$両方ともノルム化されている（それぞれ両方ともバナッハ・ノルム化されている）ならば、${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$