補完部分空間

関数解析と呼ばれる数学の分野では、 位相ベクトル空間の補部分空間とは、ベクトル部分空間であって、そのベクトル部分空間に対して、その（位相）補と呼ばれる別のベクトル部分空間が存在し、位相ベクトル空間のカテゴリにおける直和となるようなものである。正式には、位相直和は、特定の写像が連続することを要求することによって代数直和を強化する。その結果、有限次元ベクトル空間における直和の演算からの多くの優れた特性が保持される。 ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M\oplus N}$

バナッハ空間の有限次元部分空間はすべて補完空間であるが、他の部分空間はそうでない場合がある。一般に、すべての補完部分空間を分類することは難しい問題であり、いくつかのよく知られたバナッハ空間についてのみ解決されている。

補集合の概念は補集合の概念と類似していますが、異なります。ベクトル部分空間の集合論的補集合は、補集合にはなりません。

がベクトル空間であり、およびが のベクトル部分空間である場合、明確に定義された加法写像が存在します 。 この写像はベクトル空間のカテゴリ内の射であり 、つまり線型です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}S:\;&&M\times N&&\;\to \;&X\\&&(m,n)&&\;\mapsto \;&m+n\\\end{alignedat}}}$$${\displaystyle S}$

ベクトル空間は、次の同等の条件のいずれかが満たされるとき、 代数的直和（またはベクトル空間のカテゴリにおける直和）であると言われます。${\displaystyle X}$${\displaystyle M\oplus N}$

1. 加法写像はベクトル空間同型である。^{[1] [2]}${\displaystyle S:M\times N\to X}$
2. 加算マップは全単射です。
3. ${\displaystyle M\cap N=\{0\}}$および; この場合はにおけるの代数的補空間またはの補足空間と呼ばれ、2つの部分空間は補完空間または補足空間であると言われる。^{[2] [3]}${\displaystyle M+N=X}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$

これらの条件が満たされるとき、逆は明確に定義され、座標で次のように表すことができる。 最初の座標はの への正準射影と呼ばれる。同様に、2番目の座標は への正準射影である^[4]。${\displaystyle S^{-1}:X\to M\times N}$$${\displaystyle S^{-1}=\left(P_{M},P_{N}\right){\text{.}}}$$${\displaystyle P_{M}:X\to M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N.}$

同様に、およびはそれぞれおよびにおける一意のベクトルであり、 が 写像として成り立つことを満たす。ここで は上の恒等写像を表す。^[2]${\displaystyle P_{M}(x)}$${\displaystyle P_{N}(x)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N,}$$${\displaystyle x=P_{M}(x)+P_{N}(x){\text{.}}}$$$${\displaystyle P_{M}+P_{N}=\operatorname {Id} _{X},\qquad \ker P_{M}=N,\qquad {\text{ および }}\qquad \ker P_{N}=M}$$${\displaystyle \operatorname {Id} _{X}}$${\displaystyle X}$

ベクトル空間が の代数的直和であると仮定します。ベクトル空間のカテゴリでは、有限積と余積は代数的に一致し、と は区別できません。 の要素を含む問題が与えられた場合、上で定義した射影マップはとの への自然な包含の逆として機能するため、要素を と の成分に分解できます。次に、ベクトル部分空間で問題を解き、 を再結合して の要素を形成できます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle M\oplus N}$${\displaystyle M\oplus N}$${\displaystyle M\times N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

位相ベクトル空間のカテゴリでは、その代数分解はあまり役に立ちません。位相ベクトル空間の定義では、加法写像が連続していることが要求されますが、その逆は連続ではない場合があります。^[1]しかし、直和のカテゴリカル定義では 、およびが射、つまり連続線型写像であることが必要です。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S^{-1}:X\to M\times N}$${\displaystyle P_{M}}$${\displaystyle P_{N}}$

次のいずれかの同値な条件が成立する場合（そしてその場合に限り）、 空間はとの位相的な直和です。${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$

1. 加法写像はTVS同型（つまり、射影線型同相写像）である。^[1]${\displaystyle S:M\times N\to X}$
2. ${\displaystyle X}$は、およびの代数的直和であり、また、以下の同値な条件のいずれかです。${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$
   1. 加算写像の逆写像は連続的である。${\displaystyle S^{-1}:X\to M\times N}$
   2. 標準投影と は両方とも連続です。${\displaystyle P_{M}:X\to M}$${\displaystyle P_{N}:X\to N}$
   3. 標準投影の少なくとも 1 つが連続しています。${\displaystyle P_{M}}$${\displaystyle P_{N}}$
   4. 正準商写像 は位相ベクトル空間の同型写像（すなわち線型同相写像）である。^[2]${\displaystyle p:N\to X/M;p(n)=n+M}$
3. ${\displaystyle X}$は、位相ベクトル空間のカテゴリにおけると の直和です。${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$
4. この地図は全単射かつ開写像である。${\displaystyle S}$
5. 加法的 位相群として考えると、は部分群の位相的直和であり、${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle N.}$

位相的な直和も と書きます。その和が位相的な意味なのか代数的な意味なのかは、通常、文脈から明らかになります。 ${\displaystyle X=M\oplus N}$

すべての位相的直和 は代数的直和 であるが、その逆は保証されない。 と の両方が で閉じている場合でも、連続でない 場合があります。は、 がその病状を回避する場合、つまり、位相的に である場合、の (位相的)補集合または補足集合です。 (その場合、 は 同様に の補集合です。) ^[1] 上記の条件 2(d) は、 の任意の位相的補集合が、位相的ベクトル空間として、商ベクトル空間と同型であることを意味します。 ${\displaystyle X=M\oplus N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S^{-1}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X=M\oplus N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X/M}$

${\displaystyle M}$は、位相的に補集合を持つ場合、補集合と呼ばれます(持たない場合、非補集合と呼ばれます)。 の選択は非常に重要な意味を持ちます。すべての補集合には、位相的に補集合を持たない代数的補集合が存在します。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

2 つのノルム空間(またはバナッハ空間)間の線型写像が有界となるのは連続する場合のみであるため、ノルム空間 (またはバナッハ空間)のカテゴリにおける定義は位相ベクトル空間における定義と同じです。

ベクトル部分空間が補完的であるためには、次のいずれかが成り立つ必要がある: ^[1]${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$

• となる像を持つ連続線型写像が存在する。つまり、はへの連続線型射影である。（その場合、代数的にはであり、 の連続性はこれが補写像であることを意味する。）${\displaystyle P_{M}:X\to X}$ ${\displaystyle P_{M}(X)=M}$${\displaystyle P\circ P=P}$${\displaystyle P_{M}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X=M\oplus \ker {P}}$${\displaystyle P_{M}}$
• あらゆるTVSに対して制限写像は射影的である。^[5]${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle R:L(X;Y)\to L(M;Y);R(u)=u|_{M}}$

さらにバナッハであれば、同値な条件は ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle M}$が で閉じている場合、別の閉じた部分空間が存在し、 はの抽象直和からへの同型です。${\displaystyle X}$${\displaystyle N\subseteq X}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M\oplus N}$${\displaystyle X}$

• が測度空間であり、正の測度を持つ場合、 はにおいて補集合となります。${\displaystyle Y}$${\displaystyle X\subseteq Y}$${\displaystyle L^{p}(X)}$${\displaystyle L^{p}(Y)}$
• ${\displaystyle c_{0}}$に収束する数列の空間 は、収束する数列の空間において補完されます。${\displaystyle 0}$${\displaystyle c}$
• ルベーグ分解により、は に補完されます。${\displaystyle L^{1}([0,1])}$${\displaystyle \mathrm {rca} ([0,1])\cong C([0,1])^{*}}$

任意の 2 つの位相ベクトル空間とに対して、部分空間とはその中の位相補空間です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X\times \{0\}}$${\displaystyle \{0\}\times Y}$${\displaystyle X\times Y}$

のあらゆる代数的補集合、すなわち の閉包は位相的補集合でもある。これは が非離散位相 を持つためであり、したがって代数的射影は連続である。^[6]${\displaystyle {\overline {\{0\}}}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle {\overline {\{0\}}}}$

およびが射影的であれば、となる。^[2]${\displaystyle X=M\oplus N}$${\displaystyle A:X\to Y}$${\displaystyle Y=AM\oplus AN}$

がハウスドルフであり、局所凸であり、自由な位相ベクトル部分空間であるとする。ある集合 に対して、（tvs として）が成り立つ。すると は の閉じた補ベクトル部分空間となる。^{[証明 1]} 特に、 の任意の有限次元部分空間は補ベクトルである。^[7]${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle I}$${\displaystyle Y\cong \mathbb {K} ^{I}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

任意の位相ベクトル空間において、有限次元ベクトル部分空間が位相補完的であるための必要十分条件は、任意の非零の に対して、から分離する上の連続線型汎関数が存在することである。^[1] これが当てはまらない例については、§ フレシェ空間を参照のこと。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$${\displaystyle 0}$

TVSの有限次元ベクトル部分空間の全てが閉じているわけではないが、閉じているものには補空間が存在する。 ^{[7] [8]}

ヒルベルト空間において、任意の閉ベクトル部分空間の直交補 空間は必ず の位相補空間となる。この性質はバナッハ空間のクラスにおけるヒルベルト空間の特徴である。すなわち、すべての無限次元の非ヒルベルト・バナッハ空間は閉じた非補部分空間を含む、というヨラム・リンデンシュトラウスとリオル・ツァフリリの深い定理である。^{[9] [3]}${\displaystyle M^{\bot}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

を体上のフレシェ空間とする。このとき、以下は同値である: ^[10]${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {K} }$

1. ${\displaystyle X}$はノルム可能ではない（つまり、連続ノルムはトポロジを生成しない）
2. ${\displaystyle X}$はTVS同型のベクトル部分空間を含む${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.}$
3. ${\displaystyle X}$にTVS同型の補ベクトル部分空間が含まれます。${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$

ハウスドルフ空間の補集合（ベクトル）は、その補集合と同様に、必然的にの閉部分集合となる。^{[1] [証明 2]}${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ハメル基底の存在から、すべての無限次元バナッハ空間には閉じていない線型部分空間が含まれます。^{[証明 3]} 任意の補部分空間は閉じているため、それらの部分空間はどれも補空間ではありません。

同様に、が完全TVSで、が完全でない場合、^[11]には位相補集合が存在しない。${\displaystyle X}$${\displaystyle X/M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X.}$

が連続線型射影である場合、次の条件は同等です。 ${\displaystyle A:X\to Y}$

1. の核は位相的な補集合を持ちます。${\displaystyle A}$
2. 「右逆」、つまり となる連続線型写像が存在する。ここで は恒等写像である。^[5]${\displaystyle B:Y\to X}$${\displaystyle AB=\mathrm {Id} _{Y}}$${\displaystyle \operatorname {Id} _{Y}:Y\to Y}$

(注: この主張は、Trèves によって行われた誤った演習です。と が両方とも であり、が通常の位相を持ち、 が自明な位相を持つものとします。このとき、恒等写像は連続した線型一対一ですが、 の逆写像は連続ではありません。 はよりも細かい位相を持つからです。核は位相補写像としてを持ちますが、連続した右逆写像は存在し得ないことを示しました。も開いている場合 (したがって TVS 準同型)、主張された結果が成り立ちます。) ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A:X\to Y}$

位相ベクトル空間には、次のカントル-シュレーダー-ベルンシュタイン型定理が認められる。

とをTVSとし、と がの補数コピーを含み、が の補数コピーを含むとすると、 は とTVS同型となる。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X=X\oplus X}$${\displaystyle Y=Y\oplus Y.}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$

およびという「自己分裂」仮定は除去できない。ティム・ガワーズは1996年に、互いに補完関係にある非同型バナッハ空間およびが存在することを示した。 ^[12]${\displaystyle X=X\oplus X}$${\displaystyle Y=Y\oplus Y}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

任意のバナッハ空間の補部分空間を同型性まで理解することは古典的な問題であり、基底理論、特に絶対和演算子の開発における多くの研究の動機となってきた。この問題は、さまざまな重要なバナッハ空間、特に空間 に対して未解決のままである。^[13]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L_{1}[0,1]}$

いくつかのバナッハ空間では、この問いは閉じている。最も有名なのは、の場合、 の唯一の補完無限次元部分空間はに同型であり、 も同様である。このような空間は素空間と 呼ばれる（その唯一の補完無限次元部分空間が元の空間に同型である場合）。ただし、これらが唯一の素空間というわけではない。^[13]${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$${\displaystyle \ell_{p}}$${\displaystyle \ell_{p},}$${\displaystyle c_{0}.}$

実際には、これらの空間は素数ではなく、非同型な補空間が無数に存在する。^[13]${\displaystyle L_{p}[0,1]}$${\displaystyle p\in (1,2)\cup (2,\infty );}$

空間と はそれぞれとに同型なので、それらは素数である。^[13]${\displaystyle L_{2}[0,1]}$${\displaystyle L_{\infty }[0,1]}$${\displaystyle \ell_{2}}$${\displaystyle \ell _{\infty },}$

空間は素数ではない。なぜなら、空間には の補空間が含まれているからである。 の他の補空間は現在知られていない。^[13]${\displaystyle L_{1}[0,1]}$${\displaystyle \ell_{1}}$${\displaystyle L_{1}[0,1]}$

無限次元バナッハ空間は、その唯一の補空間が有限次元または - 余次元である場合に、分解不可能と呼ばれます。バナッハ空間の有限余次元部分空間は常に分解不可能なバナッハ空間と同型であるため、バナッハ空間は素数です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$

最もよく知られている不可分空間の例は、遺伝的に不可分であり、これはすべての無限次元部分空間も不可分であることを意味する。^[14]

• 直和 – オブジェクトを「より複雑な」オブジェクトに合成する抽象代数における演算
• 加群の直和 – 抽象代数における演算
• 位相群の直和

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