等連続性

数学的解析において、関数族が等連続であるとは、すべての関数が連続しており、特定の近傍にわたって等しく変化することを意味します。これは、ここで説明する正確な意味で当てはまります。特に、この概念は可算族、つまり関数の 列に適用されます。

等連続性はアスコリの定理の定式化に現れ、これは、コンパクト ハウスドルフ空間X上の連続関数の空間C ( X )の部分集合がコンパクトであるための必要十分条件であり、それは閉じていて、点ごとに有界で、等連続である、と述べている。系として、 C ( X ) 内の列が一様収束するため必要十分条件であり、それは等連続であり、点ごとに関数に収束する（必ずしも事前に連続であるとは限らない）。特に、距離空間または局所コンパクト空間^[1]上の連続関数f _nの等連続点収束列の極限は連続である。さらに、 f n が正則である場合、_極限も正則である。

一様有界性原理は、バナッハ空間間の連続線型作用素の点ごとに有界な族が等連続であることを述べている。^[2]

XとY を2つの距離空間とし、F をXからYへの関数の族とします。これらの空間のそれぞれの距離 をdで表します。

族 F が点 x ₀  ∈  Xで等連続であるとは、任意の ε > 0 に対して、 δ > 0 が存在して、すべてのƒ  ∈  Fに対してd ( ƒ ( x ₀ ),  ƒ ( x )) < ε が 成り立ち、すべてのxに対してd ( x ₀ ,  x ) < δ が成り立つことを言う。族が点ごとに等連続であるとは、 Xの各点で等連続であることを意味する。^[3]

族 Fが一様等連続であるとは、すべてのε>0に対してδ>0が存在して、 すべて_のƒ∈Fに対してd ( ƒ ( x1 ),  ƒ ( x2 ₎ )<εが_成り立ち、すべての_x1 , _x2∈Xに対して_d ( x1 ,  x2  )  <δ が 成り立つことをいう。^[4]

比較すると、「Fのすべての関数ƒは連続である」という記述は、すべての ε > 0、すべての ƒ  ∈  F、およびすべてのx ₀  ∈  Xに対して、 δ > 0 が存在して、d ( x ₀、  x ) < δとなるすべてのx  ∈  Xに対してd ( ƒ ( x ₀ )、  ƒ ( x )) < ε となることを意味します。

• 連続性のために、 δ は ε、ƒ、およびx ₀に依存する可能性があります。
• 一様連続の場合、 δ は ε と ƒに依存する可能性があります。
• 点ごとの等連続性については、 δ は ε とx ₀に依存する可能性があります。
• 一様等連続性の場合、δ は ε のみに依存する可能性があります。

より一般的には、Xが位相空間であるとき、 XからYへの関数の集合Fがxで等連続であるとは、任意の ε>0に対して xの近傍U _{xが存在し、}

${\displaystyle d_{Y}(f(y),f(x))<\epsilon }$

すべてのy ∈ U _xおよびƒ  ∈  Fに対して。この定義は通常、位相ベクトル空間の文脈で現れます。

Xがコンパクトな場合、集合は、コンパクト空間上で一様連続性と連続性が一致するのと本質的に同じ理由により、すべての点で等連続性がある場合に限り、一様等連続性を持ちます。「等連続性」という用語は、単独で使用される場合、文脈に応じて点単位または一様の概念のいずれかを指します。コンパクト空間では、これらの概念は一致します。

定義から、いくつかの基本的な特性がすぐにわかります。連続関数のすべての有限集合は等連続です。等連続集合の閉包もまた等連続です。一様等連続関数集合のすべてのメンバーは一様連続であり、一様連続関数のすべての有限集合は一様等連続です。

• 共通のリプシッツ定数を持つ関数の集合は（一様）等連続です。特に、集合が同じ定数で制限される導関数で構成される場合は、これが当てはまります。
• 一様有界性原理は、連続線形演算子の集合が等連続であるための十分な条件を与えます。
• 解析関数の反復族はファトゥ集合 上で連続である 。^{[5] [6]}

• 関数のシーケンス f _{n (x) = arctan(nx) は、x 0} =0で定義に違反するため、等連続ではありません。

T が位相空間で、Y が加法位相群（つまり、演算が連続になる位相を備えた 群）であるとします。位相ベクトル空間は位相群の代表的な例であり、すべての位相群には標準的な均一性があります。

定義: ^[7] TからYへの写像の族Hがt ∈ Tにおいて等連続であるとは、 Yにおける0のすべての近傍Vに対して、 Tにおけるtの近傍U が存在し、任意のh ∈ Hに対してh ( U ) ⊆ h ( t ) + V が成立する場合を言う。 Hが等連続であるとは、 Tのすべての点で等連続である場合を言う。

Hが一点で等連続である場合、H内のすべての写像はその点で連続していることに注意してください。明らかに、 TからYへの連続写像のすべての有限集合は等連続です。

すべての位相ベクトル空間(TVS) は位相群であるため、位相群に対して与えられた等連続マップ族の定義は変更なしで TVS に転送されます。

2つの位相ベクトル空間間の形の写像の族が点において等連続であるとは、における原点の任意の近傍に対してにおける原点の近傍が存在し、すべての${\displaystyle H}$${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle h(x+U)\subseteq h(x)+V}$${\displaystyle h\in H.}$

が写像の族であり、が集合であるならば、と が集合であるならば、すべて に対して、かつその場合に限り、${\displaystyle H}$${\displaystyle U}$${\displaystyle H(U):=\bigcup _{h\in H}h(U).}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle h(U)\subseteq V}$${\displaystyle h\in H}$${\displaystyle H(U)\subseteq V.}$

およびを位相ベクトル空間(TVS)とし、を から への線型作用素の族とします 。このとき、以下は同値です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle H}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$

1. ${\displaystyle H}$等連続である。
2. ${\displaystyle H}$は、すべての点で等連続である。${\displaystyle X.}$
3. ${\displaystyle H}$ある時点で等連続である${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle H}$原点において等連続である。
   • つまり、における原点の任意の近傍に対して、 における原点の近傍が存在し、 となる(または同等に、のすべての に対して)ことになります。${\displaystyle V}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H(U)\subseteq V}$${\displaystyle h(U)\subseteq V}$${\displaystyle h\in H}$
   ^[8]
5. における原点のあらゆる近傍は、における原点の近傍である。${\displaystyle V}$${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \bigcap _{h\in H}h^{-1}(V)}$${\displaystyle X.}$
6. の閉包は等連続である。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$
   • ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$点ごとの収束の位相が備わっていることを示します。${\displaystyle L(X;Y)}$
7. のバランスのとれた殻は等連続です。${\displaystyle H}$

が局所的に凸である場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle Y}$

8. の凸包は等連続である。^[9]${\displaystyle H}$
9. の凸均衡包は等連続である。^{[10] [9]}${\displaystyle H}$

一方、およびが局所的に凸である場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

10. 上の任意の連続半ノルム に対して、上の連続半ノルムが存在し、すべての^[9]に対して${\displaystyle q}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle q\circ h\leq p}$${\displaystyle h\in H.}$
    • ここで、すべての${\displaystyle q\circ h\leq p}$${\displaystyle q(h(x))\leq p(x)}$${\displaystyle x\in X.}$

が樽型で局所的に凸である場合、このリストは以下を含むように拡張される可能性があります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

11. ${\displaystyle H}$は で囲まれている; ^[11]${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$
12. ${\displaystyle H}$^は[11]で制限される。${\displaystyle L_{b}(X;Y).}$
    • ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$は、有界収束の位相（つまり、有界な部分集合上の一様収束）を備えていることを表す。${\displaystyle L(X;Y)}$${\displaystyle X.}$

一方、およびがバナッハ空間である場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

13. ${\displaystyle \sup\{\|T\|:T\in H\}}\infty }$(つまり、は演算子ノルム内で一様に有界です)。${\displaystyle H}$

を体上の位相ベクトル空間（TVS）とし、連続双対空間とする。上の線型汎関数 族が点において等連続であるとは、上の原点の任意の近傍に対して、上の原点の近傍が存在し、すべてのに対して${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$${\displaystyle H}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle h(x+U)\subseteq h(x)+V}$${\displaystyle h\in H.}$

任意の部分集合に対して、以下は同値である: ^[9]${\displaystyle H\subseteq X^{\prime },}$

1. ${\displaystyle H}$等連続です。
2. ${\displaystyle H}$原点において等連続である。
3. ${\displaystyle H}$ある時点で等連続である${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle H}$^[10]の原点の近傍の極に含まれる${\displaystyle X}$
5. の（前）極は、原点の近傍である。${\displaystyle H}$${\displaystyle X.}$
6. の弱*閉包は等連続である。${\displaystyle H}$${\displaystyle X^{\prime}}$
7. のバランスのとれた殻は等連続です。${\displaystyle H}$
8. の凸包は等連続である。${\displaystyle H}$
9. の凸均衡包は等連続である。^[10]${\displaystyle H}$

が正規化されている場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle X}$

10. ${\displaystyle H}$^は[10]の強く有界な部分集合である。${\displaystyle X^{\prime }.}$

一方、バレルスペースの場合は、このリストは次のように拡張される可能性があります。 ${\displaystyle X}$

11. ${\displaystyle H}$^は[11]上の弱位相において比較的コンパクトである。${\displaystyle X^{\prime }.}$
12. ${\displaystyle H}$は弱有界である（つまり、はにおいて有界である）。^[11]${\displaystyle H}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)-}$${\displaystyle X^{\prime}}$
13. ${\displaystyle H}$は有界収束の位相において有界である（つまり、は有界である）。^[11]${\displaystyle H}$${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)-}$${\displaystyle X^{\prime}}$

一様有界性原理（バナッハ・シュタインハウスの定理としても知られる）は、バナッハ空間間の線型写像の集合は、点ごとに有界である場合に等連続であると述べている。つまり、各 に対して である。結果は、が局所的に凸で が樽型空間である場合に一般化できる。^[12]${\displaystyle H}$${\displaystyle \sup _{h\in H}\|h(x)\|<\infty }$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

アローグルの定理は、の等連続部分集合の弱*閉包は弱*コンパクトであることを意味する。したがって、すべての等連続部分集合は弱*相対コンパクトである。^{[13] [9]}${\displaystyle X^{\prime}}$

が任意の局所凸TVSである場合、 内のすべての樽の族と内で凸で、バランスが取れていて、閉じていて、有界であるのすべての部分集合の族は、極性によって互いに対応します（ に関して）。^[14]したがって、のすべての有界部分集合が等連続である場合に限り、 局所凸TVSが樽型になります。^[14]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime}}$${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime },}$${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{\sigma}^{\prime}}$

X をコンパクトなハウスドルフ空間とし、C ( X ) に一様ノルムを持たせて、C ( X )をバナッハ空間、つまり計量空間にする。すると、アルツェラ・アスコリの定理によれば、 C ( X )の部分集合がコンパクトであるための必要十分条件は、それが閉じており、一様有界で、かつ等連続であることである。^[15] これは、R ⁿの部分集合がコンパクトであるための必要十分条件は、それらが閉じており、有界であることであるハイン・ボレルの定理に類似している。 ^[16] 系として、C ( X ) のすべての一様有界で等連続な列には、 X上の連続関数に一様収束する部分列が含まれる。

Arzelà-Ascoli の定理によれば、C ( X ) のシーケンスが一様収束するのは、それが等連続で点ごとに収束する場合のみです。 このステートメントの仮定は少し弱めることができます。C ( X ) のシーケンスが一様収束するのは、それが等連続で、 X上の何らかの関数 (連続とは想定されない) への稠密な部分集合上で点ごとに収束する場合です。

この弱いバージョンは、典型的には、可分コンパクト空間に対する Arzelà–Ascoli 定理を証明するために使用されます。もう 1 つの帰結は、距離空間または局所コンパクト空間上の連続関数の等連続点収束列の極限は連続であるということです。(例については以下を参照してください。) 上記では、Xのコンパクト性の仮定  を緩和することはできません。それを確認するには、g (0) = 1となるR上のコンパクトに支えられた連続関数g を考え、 ƒ _n ( x ) = g ( x − n )で定義されるR上の関数の等連続列 { ƒ _n }を考えます。すると、ƒ _{n は}点ごとに 0 に収束しますが、一様に 0 に収束しません。

この一様収束の基準は、実解析および複素解析でしばしば有用である。R ⁿの何らかの開集合G上で点ごとに収束する連続関数の列が与えられたとしよう。上で述べたように、それがGのコンパクト集合上で等連続であれば、それは実際にコンパクト集合上で一様収束する。実際には、等連続性を示すことはそれほど難しくないことが多い。例えば、列が微分可能関数または何らかの規則性を持つ関数 (例えば、関数が微分方程式の解である) で構成されている場合、平均値定理または他の種類の推定値を使用して、列が等連続であることを示すことができる。すると、列の極限はGのすべてのコンパクト集合上で連続し、したがってG上で連続することになる。関数が正則である場合にも同様の議論を行うことができる。例えば、コーシーの推定値を使用して (コンパクト集合上で) 等連続性を示し、極限が正則であると結論付けることができる。等連続性がここでは不可欠であることに注意してください。たとえば、ƒ _n ( x ) = arctan n x は不連続符号関数の倍数に収束します。  

等連続性が定義できる最も一般的なシナリオは位相空間の場合ですが、一様等連続性では、ある点の近傍のフィルタが別の点の近傍のフィルタと何らかの形で比較可能である必要があります。後者は、一様構造を介して最も一般的に行われ、一様空間を与えます。これらの場合の適切な定義は次のとおりです。

2つの位相空間XとY の間で連続する関数の集合A が、点x ∈ Xと点 y ∈ Yで位相的に等連続であるとは、 yについての任意の開集合Oに対して、 xの近傍Uとyの近傍Vが存在して、任意のf ∈ Aに対して、 f [ U ] とVの共通部分が空でない場合、 f [ U ] ⊆ Oが成立する場合をいいます。 このとき、A がx ∈ Xで位相的に等連続であるとは、各y ∈ Yに対してxとyで位相的に等連続である場合をいいます。 最後に、A が等連続であるとは、すべての点x ∈ Xに対してxで等連続である場合をいいます。

2つの一様空間XとYの間の連続関数の集合Aが一様等連続であるとは、 Y上の一様性の任意の元Wに対して、集合

{ ( u,v ) ∈ X × X : すべてのf ∈ Aに対して。 ( f ( u ), f ( v )) ∈ W }

X上の一様性のメンバーである

等間隔空間の紹介

ここで、均一性の根底にある基本的な考え方について簡単に説明します。

一様性𝒱 は、 Y × Yの空でない部分集合の集合であり、他の多くの特性の中でも、特に、あらゆるV ∈ 𝒱において、V はYの対角線(つまり、{( y , y ) ∈ Y } ) を含みます。𝒱のすべての要素は、 entourageと呼ばれます。

一様性は、距離がr未満であることを意味する「r近い」（r > 0の場合）点（距離空間から取られた）の考え方を一般化します。これを明確にするために、（Y、d）が距離空間であると仮定します（したがって、 Yの対角線は集合{（y、z）∈ Y × Y  ：d（y、z） = 0}です）。任意のr > 0に対して、

U _r = {( y , z ) ∈ Y × Y  : d ( y , z ) < r }

rに近いすべての点のペアの集合を表します。 dが存在することを「忘れた」場合でも、任意のr > 0に対して、集合U _rのみを使用して、 Yの 2 つの点がrに近いかどうかを判断できることに注意してください。このように、集合U _{r は、}一様連続性や一様収束などを定義するために必要なすべての情報をカプセル化しており、メトリックは必要ありません。これらの集合の最も基本的なプロパティを公理化すると、一様性の定義につながります。実際、集合U _{r は、}メトリック空間( Y、d )に標準的に関連付けられている一様性を生成します。

この一般化の利点は、距離空間に意味のあるいくつかの重要な定義（例えば、完全性）を、より広いカテゴリの位相空間に拡張できることです。特に、位相群と位相ベクトル空間に拡張できます。

より弱い概念は、連続性さえあるというものである

2つの位相空間XとY の間の連続関数の集合Aがx ∈ Xおよびy ∈ Yで均等連続であるとは、 y を含む任意の開集合Oに対して、 f ( x ) ∈ Vのときはいつでもf [ U ] ⊆ Oとなるようなxの近傍Uとyの近傍Vが存在することをいう。任意のy ∈ Yに対してxとyで均等連続である場合、それはxで均等連続であり、任意のx ∈ Xに対してxで均等連続である場合、それは均等連続である。

確率的等連続性は、確率変数の関数の列とその収束の文脈で使用される等連続性の一種である。^[17]

• 絶対連続性 – 関数の連続性の形式
• 不連続性の分類 – 不連続点の数学的解析
• 粗い関数
• 連続関数 – 突然の変化がない数学関数
• 連続関数（集合論）  - 極限段階で想定される値が、前の段階のすべての値の極限（極限上限と極限下限）となるような順序数のシーケンスフォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• 連続確率過程 – 時間または指標パラメータの連続関数である確率過程
• ディニの連続性
• 方向保存関数- 離散空間における連続関数の類似物。
• マイクロ連続性 – 数学用語
• 正規関数 – 数学における順序数の関数
• 区分的 – 複数のサブ関数によって定義される関数リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 対称的に連続した関数
• 均一な連続性 – 機能の変化の均一な抑制

• 「等連続性」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• リード、マイケル、サイモン、バリー（1980）、機能分析（改訂増補版）、ボストン、マサチューセッツ州：アカデミックプレス、ISBN 978-0-12-585050-6。
• ナリシ、ローレンス; ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。位相ベクトル空間。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス。ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.

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