原子力発電所の運転員

• σ ( X , X ′)はX上の最も粗いトポロジーを表し、 X ′のすべてのマップを${\displaystyle X_{\sigma \left(X,X'\right)}}$または ${\displaystyle X_{\sigma }}$これは、このトポロジーを備えたXを表します。
• σ ( X ′, X )はX* 上の弱*位相を表し${\displaystyle X_{\sigma \left(X',X\right)}}$または ${\displaystyle X'_{\sigma }}$X ′はこのトポロジーを備えていることを表す。
  • すべての${\displaystyle x_{0}\in X}$マップを誘導する${\displaystyle X'\to \mathbb {R} }$定義される${\displaystyle \lambda \mapsto \lambda (x_{0})}$σ (X′, X) は X′ 上の最も粗いトポロジーであり、そのようなマップはすべて連続になります。
• b(X, X′)はX上の有界収束の位相を表し、${\displaystyle X_{b\left(X,X'\right)}}$または${\displaystyle X_{b}}$これは、このトポロジーを備えたXを表します。
• b(X′, X)はX′ 上の有界収束の位相、またはX′ 上の強双対位相を表し、${\displaystyle X_{b\left(X',X\right)}}$または${\displaystyle X'_{b}}$X ′はこのトポロジーを備えていることを表す。
  • 通常通り、X * が位相ベクトル空間とみなされるが、どのような位相が与えられているかが明確でない場合、位相は b( X ′, X ) であると仮定される。

XとYをベクトル空間とし（位相は不要）、Bi( X , Y )を、上で定義されたすべての双線形写像の空間とする。${\displaystyle X\times Y}$そして、その根底にあるスカラー場へと入っていく。

すべての${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$、 させて$\displaystyle \chi _{(x,y)}}$Bi( X , Y )上の標準線形形式を次のように定義する。${\displaystyle \chi _{(x,y)}(u):=u(x,y)}$すべてのu ∈ Bi( X , Y )に対して。これは正準写像を誘導する。${\displaystyle \chi :X\times Y\to \mathrm {Bi} (X,Y)^{\#}}$定義される${\displaystyle \chi (x,y):=\chi _{(x,y)}}$、 どこ${\displaystyle \mathrm {Bi} (X,Y)^{\#}}$はBi( X , Y ) の代数的双対を表します。 𝜒の値域をX ⊗ Yとすると、 X ⊗ Yと𝜒はXとYのテンソル積を形成することが示されます(ここでx ⊗ y := 𝜒 ( x , y ))。 これにより、 XとYの標準的なテンソル積が得られます。 

Zが他のベクトル空間である場合、 u ↦ u ∘ 𝜒で与えられる写像 Li( X ⊗ Y ; Z ) → Bi( X , Y ; Z )はベクトル空間の同型写像です。特に、これによりX ⊗ Yの代数的双対をX × Y上の双線形形式の空間と同一視することができます。^{[ 4 ]} さらに、XとY が局所凸位相ベクトル空間(TVS) であり、X ⊗ Yにπ位相が与えられている場合、すべての局所凸 TVS Zに対して、この写像はベクトル空間の同型写像に制限されます。${\displaystyle L(X\otimes _{\pi }Y;Z)\to B(X,Y;Z)}$ from the space of continuous linear mappings onto the space of continuous bilinear mappings.^[5] In particular, the continuous dual of X ⊗ Y can be canonically identified with the space B(X, Y) of continuous bilinear forms on X × Y; furthermore, under this identification the equicontinuous subsets of B(X, Y) are the same as the equicontinuous subsets of ${\displaystyle (X\otimes _{\pi }Y)'}$.^[5]

Suppose that X and Y are Banach spaces and that ${\displaystyle N:X\to Y}$ is a continuous linear operator.

• The following are equivalent:
  1. ${\displaystyle N:X\to Y}$ is nuclear.
  2. There exists a sequence ${\displaystyle \left(x_{i}'\right)_{i=1}^{\infty }}$ in the closed unit ball of ${\displaystyle X'}$, a sequence ${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ in the closed unit ball of ${\displaystyle Y}$, and a complex sequence ${\displaystyle \left(c_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ such that ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|<\infty }$ and ${\displaystyle N}$ is equal to the mapping:^[8]${\textstyle N(x)=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}x'_{i}(x)y_{i}}$ for all ${\displaystyle x\in X}$. Furthermore, the trace-norm ${\displaystyle \|N\|_{\operatorname {Tr} }}$ is equal to the infimum of the numbers ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|}$ over the set of all representations of ${\displaystyle N}$ as such a series.^[8]
• If Y is reflexive then ${\displaystyle N:X\to Y}$ is a nuclear if and only if ${\displaystyle {}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}}$ is nuclear, in which case ${\textstyle \left\|{}^{t}N\right\|_{\operatorname {Tr} }=\left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }}$. ^[9]

Let X and Y be Banach spaces and let ${\displaystyle N:X\to Y}$ be a continuous linear operator.

• If ${\displaystyle N:X\to Y}$ is a nuclear map then its transpose ${\displaystyle {}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}}$ is a continuous nuclear map (when the dual spaces carry their strong dual topologies) and ${\textstyle \left\|{}^{t}N\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }}$.^[10]

XとYをヒルベルト空間とし、N :  X → Yを絶対値がR  : X → Xである連続線形写像とする。以下の式は同値である。

1. N  : X → Yは核反応である。
2. R  : X → Xは核反応である。^{[ 12 ]}
3. R  : X → Xはコンパクトであり、${\displaystyle \operatorname {Tr} R}$有限である場合、${\displaystyle \operatorname {Tr} R=\|N\|_{\operatorname {Tr} }}$[ ^{12 ]​}
   • ここ、${\displaystyle \operatorname {Tr} R}$Rのトレースは次のように定義されます。Rは連続コンパクト正作用素であるため、(有限である可能性のある) 数列が存在します。${\displaystyle \lambda _{1}>\lambda _{2}>\cdots }$正の数と、それに対応する非自明な有限次元かつ互いに直交するベクトル空間${\displaystyle V_{1},V_{2},\ldots }$Hにおける直交${\displaystyle \operatorname {span} \left(V_{1}\cup V_{2}\cup \cdots \right)}$に等しい${\displaystyle \ker R}$（したがって、${\displaystyle \ker N}$）そしてすべてのkに対して、${\displaystyle R(x)=\lambda _{k}x}$すべての人々のために${\displaystyle x\in V_{k}}$;トレースは次のように定義されます${\textstyle \operatorname {Tr} R:=\sum _{k}\lambda _{k}\dim V_{k}}$。
4. ${\displaystyle {}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}}$核兵器の場合、${\displaystyle \|{}^{t}N\|_{\operatorname {Tr} }=\|N\|_{\operatorname {Tr} }}$[ ^{9 ]​}
5. 2つの直交する数列が存在する${\displaystyle (x_{i})_{i=1}^{\infty }}$Xと​${\displaystyle (y_{i})_{i=1}^{\infty }}$Yにおいて、そしてシーケンス${\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$で${\displaystyle \ell ^{1}}$すべての${\displaystyle x\in X}$、${\textstyle N(x)=\sum _{i}\lambda _{i}\langle x,x_{i}\rangle y_{i}}$[ ^{12 ]​}
6. N  : X → Yは積分写像である。^{[ 13 ]}

• W、X、Y、Zをハウスドルフ局所凸空間とする。${\displaystyle N:X\to Y}$核地図、そして${\displaystyle M:W\to X}$そして${\displaystyle P:Y\to Z}$連続線形写像である。${\displaystyle N\circ M:W\to Y}$、${\displaystyle P\circ N:X\to Z}$、 そして${\displaystyle P\circ N\circ M:W\to Z}$核であり、さらにW、X、Y、Zがすべてバナッハ空間である場合、${\textstyle \left\|P\circ N\circ M\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|P\right\|\left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }\|\left\|M\right\|}$[ ^{14 ] [ 15 ]​}
• もし${\displaystyle N:X\to Y}$は 2 つのハウスドルフ局所凸空間間の核写像であり、その転置は${\displaystyle {}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}}$（双対空間が強い双対位相を持つ場合）連続核写像である。^{[ 2 ]}
  • さらに、XとYがバナッハ空間である場合、${\textstyle \left\|{}^{t}N\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }}$[ ^{9 ]​}
• もし${\displaystyle N:X\to Y}$は、2 つのハウスドルフ局所凸空間間の核写像であり、${\displaystyle {\hat {X}}}$Xの完全性である場合、唯一の連続拡張${\displaystyle {\hat {N}}:{\hat {X}}\to Y}$Nのは核です。^{[ 15 ]}

XとYをハウスドルフ局所凸空間とし、${\displaystyle N:X\to Y}$連続線形作用素とする。

• 以下は同等です。
  1. ${\displaystyle N:X\to Y}$核兵器だ。
  2. （定義） Xの原点の凸平衡近傍UとYの有界バナッハ円盤Bが存在し、${\displaystyle N(U)\subseteq B}$そして誘導マップ${\displaystyle {\overline {N}}_{0}:{\hat {X}}_{U}\to Y_{B}}$核兵器では${\displaystyle {\overline {N}}_{0}}$は、${\displaystyle N_{0}:X_{U}\to Y_{B}}$これは、${\displaystyle N=\operatorname {In} _{B}\circ N_{0}\circ \pi _{U}}$どこ${\displaystyle \operatorname {In} _{B}:Y_{B}\to Y}$自然な包含であり、${\displaystyle \pi _{U}:X\to X/p_{U}^{-1}(0)}$ is the canonical projection.^[6]
  3. There exist Banach spaces ${\displaystyle B_{1}}$ and ${\displaystyle B_{2}}$ and continuous linear maps ${\displaystyle f:X\to B_{1}}$, ${\displaystyle n:B_{1}\to B_{2}}$, and ${\displaystyle g:B_{2}\to Y}$ such that ${\displaystyle n:B_{1}\to B_{2}}$ is nuclear and ${\displaystyle N=g\circ n\circ f}$.^[8]
  4. There exists an equicontinuous sequence ${\displaystyle \left(x_{i}'\right)_{i=1}^{\infty }}$ in ${\displaystyle X'}$, a bounded Banach disk${\displaystyle B\subseteq Y}$, a sequence ${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ in B, and a complex sequence ${\displaystyle \left(c_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ such that ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|<\infty }$ and ${\displaystyle N}$ is equal to the mapping:^[8]${\textstyle N(x)=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}x'_{i}(x)y_{i}}$ for all ${\displaystyle x\in X}$.
• If X is barreled and Y is quasi-complete, then N is nuclear if and only if N has a representation of the form ${\textstyle N(x)=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}x'_{i}(x)y_{i}}$ with ${\displaystyle \left(x_{i}'\right)_{i=1}^{\infty }}$ bounded in ${\displaystyle X'}$, ${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ bounded in Y and ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|<\infty }$.^[8]

The following is a type of Hahn-Banach theorem for extending nuclear maps:

• If ${\displaystyle E:X\to Z}$ is a TVS-embedding and ${\displaystyle N:X\to Y}$ is a nuclear map then there exists a nuclear map ${\displaystyle {\tilde {N}}:Z\to Y}$ such that ${\displaystyle {\tilde {N}}\circ E=N}$. Furthermore, when X and Y are Banach spaces and E is an isometry then for any ${\displaystyle \epsilon >0}$, ${\displaystyle {\tilde {N}}}$ can be picked so that ${\displaystyle \|{\tilde {N}}\|_{\operatorname {Tr} }\leq \|N\|_{\operatorname {Tr} }+\epsilon }$.^[16]
• Suppose that ${\displaystyle E:X\to Z}$ is a TVS-embedding whose image is closed in Z and let ${\displaystyle \pi :Z\to Z/\operatorname {Im} E}$ be the canonical projection. Suppose all that every compact disk in ${\displaystyle Z/\operatorname {Im} E}$ is the image under ${\displaystyle \pi }$ of a bounded Banach disk in Z (this is true, for instance, if X and Z are both Fréchet spaces, or if Z is the strong dual of a Fréchet space and ${\displaystyle \operatorname {Im} E}$ is weakly closed in Z). Then for every nuclear map ${\displaystyle N:Y\to Z/\operatorname {Im} E}$ there exists a nuclear map ${\displaystyle {\tilde {N}}:Y\to Z}$ such that ${\displaystyle \pi \circ {\tilde {N}}=N}$.
  • Furthermore, when X and Z are Banach spaces and E is an isometry then for any ${\displaystyle \epsilon >0}$, ${\displaystyle {\tilde {N}}}$ can be picked so that ${\textstyle \left\|{\tilde {N}}\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }+\epsilon }$.^[16]

Let X and Y be Hausdorff locally convex spaces and let ${\displaystyle N:X\to Y}$ be a continuous linear operator.

• Any nuclear map is compact.^[2]
• For every topology of uniform convergence on ${\displaystyle L(X;Y)}$, the nuclear maps are contained in the closure of ${\displaystyle X'\otimes Y}$ (when ${\displaystyle X'\otimes Y}$ is viewed as a subspace of ${\displaystyle L(X;Y)}$).^[6]