実座標空間

数学において、n次元の実座標空間または実座標n空間は、 R ⁿまたはと表記され、順序付けられた実数のn組すべての集合、つまりn個の実数のすべての列の集合であり、座標ベクトルとも呼ばれます。特殊なケースは、実数直線R ¹、実座標平面R ²、および実座標 3 次元空間R ³と呼ばれます。成分ごとの加算とスカラー乗算により、これは実ベクトル空間になります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

実ベクトル空間の要素の任意の基底上の座標は、ベクトル空間と同じ次元の実座標空間を形成します。同様に、 n次元のユークリッド空間E ⁿ (ユークリッド直線、E、ユークリッド平面、E ²、ユークリッド 3 次元空間、E ³ )の点の直交座標は、n次元の実座標空間を形成します。

ベクトル、点、座標ベクトル間のこれらの1 対 1 の対応により、座標空間と座標ベクトルの名前が説明されます。これにより、実際の座標空間を研究するために幾何学的な用語と方法を使用でき、逆に、幾何学で微積分法を使用できます。この幾何学のアプローチは、17 世紀にルネ デカルトによって導入されました。ユークリッド空間内の点の位置を特定し、それを使用して計算できるため、広く使用されています。

任意の自然数 nに対して、集合 R ^{n は}実数( R )のすべてのn組から構成されます。これは「n次元実空間」または「実n空間」と呼ばれます。

したがって、 R ⁿの要素はn組であり、 各x _iが実数であるとして表されます。したがって、多変数計算では、複数の実変数の関数の定義域と実数ベクトル値関数の共域は、あるnに対するR ⁿのサブセットです。 $${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$$

実数n空間には、さらに次のような特性があります。

• 成分ごとの加算とスカラー乗算により、これは実ベクトル空間です。すべてのn次元実ベクトル空間はこれに同型です。
• ドット積（成分の項ごとの項積の和）により、これは内積空間となる。すべてのn次元実内積空間はこれに同型である。
• すべての内積空間と同様に、これは位相空間であり、位相ベクトル空間です。
• これはユークリッド空間であり、実アフィン空間でもあり、すべてのユークリッド空間またはアフィン空間はこれに同型です。
• これは解析多様体であり、定義により多様体は各点の近くでR ⁿの開集合に同型であるため、すべての多様体の原型と考えることができます。
• これは代数多様体であり、すべての実代数多様体はR ⁿのサブセットです。

R ⁿのこれらの特性と構造により、統計、確率論、物理学の多くの部分など、数学のほぼすべての分野とその応用領域において R n が基礎となります。

n 個の実変数の任意の関数f ( x ₁ ,  x ₂ , ...,  x _n )は、 R ⁿ上の関数(つまり、R ^{n を}定義域とする関数 )と見なすことができます。複数の変数を個別に考える代わりに、実数n空間を使用すると、表記が簡素化され、適切な定義が示されます。n = 2の場合、次の形式の 関数合成を考えます。 ここで、関数g ₁とg ₂は連続です。 $${\displaystyle F(t)=f(g_{1}(t),g_{2}(t)),}$$

• ∀ x ₁  ∈  R  : f ( x ₁ , ·)は連続である（ x ₂によって）
• ∀ x ₂  ∈  R  : f (·,  x ₂ )は連続である（ x ₁によって）

すると、F は必ずしも連続ではありません。連続性はより強い条件です。自然なR ²位相 (後述)におけるfの連続性は多変数連続性とも呼ばれ、合成Fの連続性には十分です。

座標空間R ^{n は、}線型性の構造が加わった実数体上のn次元ベクトル空間を形成し、R ⁿと表記されることが多い。ベクトル空間としてのR ⁿに対する演算は、通常次のように定義される。 零ベクトルは次のように与えられ 、ベクトルxの加法逆ベクトルは次のように与えられる。 $${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} =(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n})}$$ $${\displaystyle \alpha \mathbf {x} =(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\ldots ,\alpha x_{n}).}$$$${\displaystyle \mathbf {0} =(0,0,\ldots ,0)}$$$${\displaystyle -\mathbf {x} =(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n}).}$$

この構造は、任意のn次元実ベクトル空間がベクトル空間R ⁿと同型であるため重要です。

標準的な行列表記では、 R ⁿの各要素は通常、列ベクトル として表され 、行ベクトルとして表されることもあります。 $${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

座標空間R ^{n は}、すべてのn  × 1 列ベクトル、または通常の行列演算である加算とスカラー乗算を伴うすべての1 ×  n 行ベクトルの空間として解釈できます。

R ⁿからR ^mへの線形変換は、 m  ×  n行列として表すことができます。この行列は、 R ⁿの要素に対しては左乗算 ( R ⁿの要素が列ベクトルの場合) で、R ^mの要素に対しては右乗算 (行ベクトルの場合) で作用します。行列乗算の特殊なケースである左乗算の式は次のとおりです。 $${\displaystyle (A{\mathbf {x} })_{k}=\sum _{l=1}^{n}A_{kl}x_{l}}$$

任意の線形変換は連続関数です (下記参照)。また、行列の階数がmに等しい場合のみ、行列はR ⁿからR ^mへの開写像を定義します。

座標空間R ^{n には}標準的な基底が付属しています。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&=(1,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=(0,1,\ldots ,0)\\&{}\;\;\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=(0,0,\ldots ,1)\end{aligned}}}$$

これが基底であることを確認するために、R ⁿ内の任意のベクトルが一意に次の形式で記述できる ことに注目してください。$${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}.}$$

実数は、他の多くの体とは異なり、順序体を構成するという事実は、 R ⁿ上の配向構造をもたらします。R ⁿからそれ自身への任意のフルランク線形写像は、その行列の行列式の符号に応じて、空間の配向を保存するか反転します。座標（または、言い換えると、基底の要素）を置換すると、結果として生じる配向は、置換の偶奇性に依存します。

R ⁿの微分同相写像またはその中の領域は、零ヤコビアンを避けるという性質により、方向保存型と方向反転型に分類される。これは、電磁力学などの応用がある微分形式の理論にとって重要な意味を持つ。

この構造のもう 1 つの現れは、R ⁿにおける点の反射がnの偶数性に応じて異なる特性を持つことです。 nが偶数の場合は方向が維持されますが、 n が奇数の場合は方向が逆になります (不適切な回転も参照)。

アフィン空間として理解されるR ^{n は}、ベクトル空間としてのR ^{n が}平行移動によって作用するのと同じ空間です2 点間の差」として理解されなければならず、通常は 2 点を結ぶ有向線分で示されます。この区別は、アフィンn空間では原点をどこにでも平行移動できるため、原点をどこに置くべきかという標準的な選択はないことを示しています。

R ⁿなどの実ベクトル空間では、そのベクトルのすべての非負線形結合を含む凸錐を定義できます。アフィン空間における対応する概念は凸集合であり、凸結合（合計が 1 になる非負線形結合） のみを許容します。

普遍代数の言語では、ベクトル空間は、ベクトルの有限和に対応する係数の有限列の普遍ベクトル空間R ^∞上の代数であり、アフィン空間はこの空間内の普遍アフィン超平面上の代数（有限列の合計が 1 になる）であり、円錐は普遍直交座標上の代数（非負数の有限列）であり、凸集合は普遍単体上の代数（非負数の有限列の合計が 1 になる）です。これにより、公理が「座標に対する（可能な）制限を伴う和」という観点から幾何学化されます。

凸解析のもう 1 つの概念は、R ⁿから実数への凸関数です。これは、凸の点の組み合わせにおける値と、同じ係数を持つ点の値の合計との間の不等式によって定義されます。

ドット積は、 ベクトル空間R ⁿ上のノルム| x | = √ x ⋅ x を定義します。すべてのベクトルがユークリッドノルムを持つ場合、任意の点のペアに対して距離 が定義され、アフィン構造に加えて R ⁿ上の距離空間構造が提供されます。$${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}}$$ $${\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}}$$

ベクトル空間構造については、ドット積とユークリッド距離は、特別な説明なしにR ⁿに存在すると通常想定されます。しかし、厳密に言えば、実n空間とユークリッドn空間は異なるオブジェクトです。任意のユークリッドn空間には、ドット積とユークリッド距離が上に示した形式になる座標系があり、これをデカルト座標系と呼びます。しかし、ユークリッド空間には 多くのデカルト座標系が存在します。

逆に、ユークリッド計量の上記の式は、R ⁿ上の標準的なユークリッド構造を定義しますが、それが唯一の可能な構造ではありません。実際には、任意の正定値二次形式qは、独自の「距離」√ q ( x − y )を定義しますが、それは、 という意味でユークリッドの距離とあまり変わりません 。このような計量の変更は、たとえば完全な計量空間であるという特性など、その特性の一部を保持します。これはまた、 R ⁿの任意のフルランク線形変換、またはそのアフィン変換は、距離を固定されたC ₂よりも大きくすることはなく、距離を固定された有限数の1 /  C ₁倍よりも小さくすることもないことを意味します。^{[説明が必要]} $${\displaystyle \exists C_{1}>0,\ \exists C_{2}>0,\ \forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}:C_{1}d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\leq {\sqrt {q(\mathbf {x} -\mathbf {y} )}}\leq C_{2}d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ).}$$

前述の計量関数の同値性は、√ q ( x − y )をM ( x − y )に置き換えても有効です。ここで、Mは次数 1 の任意の凸正同次関数、つまりベクトルノルムです (便利な例についてはミンコフスキー距離を参照)。R ⁿ上の任意の「自然な」計量はユークリッド計量と特に異なるわけではないため、専門的な数学の著作でも、 R ^{n は}必ずしもユークリッドn空間と区別されるわけではありません。

多様体の定義ではそのモデル空間がR ⁿである必要はありませんが、この選択は最も一般的であり、微分幾何学ではほとんど排他的です。

一方、ホイットニーの埋め込み定理によれば、任意の実微分可能m次元多様体はR ^{2 m}に埋め込むことができます。

R ⁿ上で考えられる他の構造には、擬ユークリッド空間、シンプレクティック構造(偶数n )、接触構造(奇数n )などがあります。これらの構造はすべて、座標に依存しない方法で定義できますが、座標では標準的な (そしてかなり単純な) 形式をとることができます。

R ^{n は}C ⁿの実ベクトル部分空間でもあり、複素共役に対して不変です。複素化も参照してください。

任意のnに対してR ⁿ空間で単純な表現を持つ多面体の族が 3 つあり、それらを使用して、実数n空間内の任意のアフィン座標系を視覚化できます。超立方体の頂点には座標( x ₁、  x ₂、...、  x _n )があり、各x _{k は}通常 0 または 1 の 2 つの値のうちの 1 つをとります。ただし、0 と 1 の代わりに任意の 2 つの数値 (たとえば、−1と 1)を選択できます。 n超立方体は、実数直線上のn個の同一間隔(単位間隔[0,1]など) の直積と考えることができます。n次元の部分集合として、これは2 n 個の不等式系で記述できます。 [0,1]に対しては、 [−1,1]に対しては です。 $${\displaystyle {\begin{matrix}0\leq x_{1}\leq 1\\\vdots \\0\leq x_{n}\leq 1\end{matrix}}}$$$${\displaystyle {\begin{matrix}|x_{1}|\leq 1\\\vdots \\|x_{n}|\leq 1\end{matrix}}}$$

交差多面体の各頂点は、あるkに対して、x _k座標が ±1 に等しく、他のすべての座標が 0 に等しい（つまり、符号までk番目の標準基底ベクトルである）。これは、超立方体の双対多面体です。 n次元の部分集合として、絶対値演算を使用する単一の不等式で記述できますが、 これは2 ^{n 個の}線形不等式 のシステムでも表現できます。 $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}|\leq 1\,,}$$

単純に列挙可能な座標を持つ 3 番目の多面体は標準単体であり、その頂点はn 個の標準基底ベクトルと原点 (0, 0, ..., 0)です。n次元のサブセットとして、これはn + 1 個の線形不等式で記述されます。 すべての "≤" を "<" に置き換えると、これらの多面体の内部が得られます。 $${\displaystyle {\begin{matrix}0\leq x_{1}\\\vdots \\0\leq x_{n}\\\sum \limits _{k=1}^{n}x_{k}\leq 1\end{matrix}}}$$

R ⁿの位相構造(標準位相、ユークリッド位相、または通常の位相と呼ばれる) は、直積からだけではなく、上で説明したユークリッド計量によって誘導される自然な位相とも同一です。つまり、集合がユークリッド位相において開いているのは、その集合の各点の周りに開球が含まれている場合のみです。また、R ^{n は}線型位相空間(上記の線型写像の連続性を参照)であり、その線型構造と両立する (非自明な) 位相は 1 つしかありません。R ⁿからそれ自身への等長写像ではない開線型写像は多数存在するため、同じ位相に対応する R n 上のユークリッド構造も多数存在できます。実際、それは線型構造にさえあまり依存しません。R n からそれ自身、^またはその部分(ユークリッド^開球や超立方体の内部など) への非線型微分同相写像(およびその他の同相写像)は多数存在します。

R ^{n は}位相次元 n を持ちます。

R ⁿの位相に関する重要な結果で、表面的なものではないのが、ドメインのブラウワー不変性です。 R ⁿの別の開部分集合に同相なR ⁿの任意の部分集合(その部分空間位相を持つ) は、それ自体が開集合です。このことからすぐにわかるのは、 m ≠ nの場合、R ^{m は}R ⁿに同相ではないということです。これは直感的に「明白な」結果ですが、証明するのは困難です。

位相次元の違いにもかかわらず、素朴な認識に反して、より低次元の^{[明確化が必要]}実空間をR ⁿに連続的かつ射影的に写像することが可能です。連続した (ただし滑らかではない)空間充填曲線( R ¹のイメージ) も可能です。^{[明確化が必要]}

0 ≤ n ≤ 1の場合は何も新しいことはありません。R ¹は実数直線ですが、R ⁰ (空の列ベクトルを含む空間) はシングルトンであり、ゼロベクトル空間として理解されます。ただし、異なるn を記述する理論の自明なケースとしてこれらを含めることは有用です。

( x,y )の場合 ( xとyは実数)は、直交平面 Pとして展開されています。さらに、 P内の有向線分を表すユークリッド ベクトルが構造として付加されています。この平面は、実体にX ² + 1 = 0の根を追加することによって、体の拡張としても展開されています。根 i は、反時計回りの1/4 回転として P に作用します。この根は、群を生成します。 ( x,y ) がx + y i と書かれるとき、それは複素数です。 ${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {R} .}$ ${\displaystyle \{i,-1,-i,+1\}\equiv \mathbf {Z} /4\mathbf {Z} }$

による別の群作用（ここで、作用子は j と表現される）は、平面 ( x,y ) ↦ ( y,x ) を反転する反転、つまり座標の交換に直線y = x を使用する。この場合、Pの点はx + y jと書かれ、分割複素数と呼ばれる。これらの数は、 jj =+1に従って座標ごとの加算と乗算を行うと、体ではない 環を形成する。${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$

P上の別の環構造では、冪零e を使用して、 ( x,y ) に対してx + y e と書きます。Pに対する e の作用により、平面が直線になります。これは、x 座標への射影に分解でき、その結果を y 軸に 1/4 回転させると、e ( x + y e) = x e となります (e ² = 0 のため)。数x + y e は双対数です。双対数は環を形成しますが、e には逆数がないため、群を生成せず、したがって作用は群作用ではありません。

Pから (0,0) を除くと、実射影直線である 1 次元空間を記述する[ x  : y ]射影座標が作成されます。原点が除外されているため、比x / yとy / xの少なくとも 1 つが存在します。すると、[ x  : y ] = [ x / y  : 1] または [ x  : y ] = [1 : y / x ] となります。射影直線P ¹ ( R ) は、アトラスを形成する2 つの座標チャート[ z  : 1] → zまたは [1 : z ] → zで覆われた位相多様体です。両方のチャートで覆われた点の場合、遷移関数は点の開近傍上の乗法的反転であり、多様体で必要な同相写像を提供します。実射影直線の 1 つの応用は、ケーリー-クライン計量幾何学で見られます。

R ^{4 は}、 16個の点( x ₁、  x ₂、  x ₃、  x ₄ ) (各x _kは 0 または 1) が四次元立方体(図参照)の頂点、つまり 4 次元超立方体 (上記参照) であるという事実を使って想像できます。

R ⁴の最初の主要な用途は時空モデルです。3 つの空間座標と 1 つの時間座標です。これは通常、相対性理論に関連付けられますが、ガリレイ以来、このようなモデルには 4 次元が使用されていました。ただし、理論の選択によって構造が異なります。ガリレイの相対性理論ではt座標が優先されますが、アインシュタインの相対性理論ではそうではありません。特殊相対性理論はミンコフスキー空間で設定されます。一般相対性理論では曲がった空間を使用しますが、これはほとんどの実用的な目的では曲がった計量を持つR ⁴と考えることができます。これらの構造のいずれも、 R ⁴上の(正定値の)計量を提供しません。

ユークリッドR ^{4 は、}たとえば4 次元実代数である四元数との関係などにより、数学者の注目を集めています。詳細については、「 4 次元ユークリッド空間における回転」を参照してください。

微分幾何学では、n = 4 はR ^{n が}非標準微分構造を許容する唯一のケースです。エキゾチック R ⁴を参照してください。

ベクトル空間 R ⁿには多くのノルムを定義することができる。一般的な例としては、

• pノルム は、が正の整数であるすべての に対してによって定義されます。このケースは、まさにユークリッド ノルムであるため、非常に重要です。${\textstyle \|\mathbf {x} \|_{p}:={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}}}$${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=2}$
• すべてのに対して によって定義される-ノルムまたは最大ノルム。これはすべてのp ノルムの極限です。${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{n}}$${\textstyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}}}$

本当に驚くべき、そして役に立つ結果は、R ⁿ上で定義されたすべてのノルムが同等であるということです。これは、 R ⁿ上の任意の 2 つのノルムとに対して、常にすべての に対して となるような 正の実数を見つけることができることを意味します。 ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle \|\cdot \|'}$${\displaystyle \alpha ,\beta >0}$$${\displaystyle \alpha \cdot \|\mathbf {x} \|\leq \|\mathbf {x} \|'\leq \beta \cdot \|\mathbf {x} \|}$$${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$

これは、 R ⁿ上のすべてのノルムの集合に同値関係を定義します。この結果から、 R ⁿ内のベクトルのシーケンスがに収束する場合のみ、 に収束することを確認できます。 ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle \|\cdot \|'}$

この結果の証明がどのようなものになるかを示したスケッチを以下に示します。

同値関係のため、R ⁿ上のすべてのノルムがユークリッドノルム と同値であることを示すだけで十分です。をR ⁿ上の任意のノルムとします。証明は 2 つのステップに分かれています。 ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$${\displaystyle \|\cdot \|}$

• すべての に対してとなる が存在することを示します。このステップでは、すべての が標準基底の線形結合として表せるという事実を使用します。次に、 のコーシー・シュワルツ不等式を使います。${\displaystyle \beta >0}$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|\leq \beta \cdot \|\mathbf {x} \|_{2}}$${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbf {R} ^{n}}$${\textstyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}e_{i}\cdot x_{i}}$ $${\displaystyle \|\mathbf {x} \|=\left\|\sum _{i=1}^{n}e_{i}\cdot x_{i}\right\|\leq \sum _{i=1}^{n}\|e_{i}\|\cdot |x_{i}|\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\|e_{i}\|^{2}}}\cdot {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}=\beta \cdot \|\mathbf {x} \|_{2},}$$${\textstyle \beta :={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\|e_{i}\|^{2}}}}$
• ここで、すべての に対してとなるようなを見つけなければなりません。そのような は存在しないと仮定します。すると、すべてのaに対してとなるような が存在します。 によって2 番目の数列を定義します。この数列はであるため有界です。したがって、ボルツァーノ–ワイエルシュトラスの定理により、極限R ^{n を}持つ収束部分列が存在します。ここで、であるが であることを示します。これはであり であるため、 です。したがって です。これは を意味するため、 です。一方、であるため です。これは決して真ではあり得ないため、仮定は誤りであり、そのような が存在します。${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \alpha \cdot \|\mathbf {x} \|_{2}\leq \|\mathbf {x} \|}$${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle k\in \mathbf {N} }$${\displaystyle \mathbf {x} _{k}\in \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle \|\mathbf {x} _{k}\|_{2}>k\cdot \|\mathbf {x} _{k}\|}$${\displaystyle ({\tilde {\mathbf {x} }}_{k})_{k\in \mathbf {N} }}$${\textstyle {\tilde {\mathbf {x} }}_{k}:={\frac {\mathbf {x} _{k}}{\|\mathbf {x} _{k}\|_{2}}}}$${\displaystyle \|{\tilde {\mathbf {x} }}_{k}\|_{2}=1}$${\displaystyle ({\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}})_{j\in \mathbf {N} }}$${\displaystyle \mathbf {a} \in }$ ${\displaystyle \|\mathbf {a} \|_{2}=1}$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {0} }$$${\displaystyle \|\mathbf {a} \|\leq \left\|\mathbf {a} -{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|+\left\|{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|\leq \beta \cdot \left\|\mathbf {a} -{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|_{2}+{\frac {\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|}{\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|_{2}}}\ {\overset {j\to \infty }{\longrightarrow }}\ 0,}$$${\displaystyle \|\mathbf {a} -{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\|\to 0}$${\displaystyle 0\leq {\frac {\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|}{\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|_{2}}}<{\frac {1}{k_{j}}}}$${\displaystyle {\frac {\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|}{\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|_{2}}}\to 0}$${\displaystyle \|\mathbf {a} \|=0}$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {0} }$${\displaystyle \|\mathbf {a} \|_{2}=1}$${\displaystyle \|\mathbf {a} \|_{2}=\left\|\lim _{j\to \infty }{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|_{2}=\lim _{j\to \infty }\left\|{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|_{2}=1}$${\displaystyle \alpha >0}$

• 指数オブジェクト、上付き文字表記の理論的説明
• 幾何学空間
• 実射影空間

• ケリー、ジョン L. (1975)。一般位相幾何学。シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 0-387-90125-6。
• マンクレス、ジェームズ (1999)。トポロジー。プレンティス・ホール。ISBN 0-13-181629-2。