量子レジスタ

量子コンピューティングにおいて、量子レジスタは複数の量子ビットで構成されるシステムです。^{[1]これは、古典的な}プロセッサレジスタ の量子版です。量子コンピュータは、量子レジスタ内の量子ビットを操作することで計算を実行します。^[2]

通常、レジスタは量子ビットで構成されていると想定されます。また、レジスタは密度行列ではなく純粋であると一般的に想定されますが、「レジスタ」の定義は密度行列にまで拡張できます。

サイズ量子レジスタは、純粋な量子ビットで構成される量子システムです。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

量子レジスタにデータが格納されるヒルベルト空間 は、テンソル積で与えられる。[ ^3]${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H_{n-1}}}\otimes {\mathcal {H_{n-2}}}\otimes \ldots \otimes {\mathcal {H_{0}}}}$${\displaystyle \otimes }$

ヒルベルト空間の次元数は、レジスタがどのような量子システムで構成されているかによって異なります。量子ビットは2次元複素空間（）、量子トリットは3次元複素空間（ ）などです。N個のd次元（またはdレベル）量子システムで構成されるレジスタの場合、ヒルベルト空間は次のようになります。${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}=(\mathbb {C} ^{d})^{\otimes N}=\underbrace {\mathbb {C} ^{d}\otimes \mathbb {C} ^{d}\otimes \dots \otimes \mathbb {C} ^{d}} _{N{\text{ 回}}}\cong \mathbb {C} ^{d^{N}}.}$

レジスタの量子状態は、ブラケット記法で次のように書くことができる。値は確率振幅である。ボルンの規則と確率論の第2公理により、レジスタの可能な状態空間は、単位球面の表面である。${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{k=0}^{d^{N}-1}a_{k}|k\rangle =a_{0}|0\rangle +a_{1}| 1\rangle +\dots +a_{d^{N}-1}|d^{N}-1\rangle .}$${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{d^{N}-1}|a_{k}|^{2}=1,}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{d^{N}}.}$

例:

• 5量子ビットレジスタの量子状態ベクトルは、${\displaystyle \mathbb {C} ^{2^{5}}=\mathbb {C} ^{32}.}$
• 4つのキュートリットのレジスタも同様に単位ベクトルである。${\displaystyle \mathbb {C} ^{3^{4}}=\mathbb {C} ^{81}.}$

まず、量子レジスタと古典レジスタには概念上の違いがあります。サイズの古典レジスタはフリップフロップの配列を指します。サイズの量子レジスタは単に量子ビットの集合です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

さらに、サイズの古典的なレジスタは古典的な純粋なビットによって広がる可能性の単一の値を格納できますが、量子レジスタは量子純粋なキュービットによって広がるすべての可能性を同時に 格納できます。${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n}}$

たとえば、2 ビット幅のレジスタを考えてみましょう。従来のレジスタは、2 ビットで表される可能な値のうち 1 つだけしか格納できません。 ${\displaystyle 00,01,10,11\quad (0,1,2,3)}$

重ね合わせ状態 とにある 2 つの純粋な量子ビットを考えると、量子レジスタの定義を使用すると、2 つの量子ビットにまたがるすべての可能な値 (すべての結果に対してゼロ以外の確率振幅を持つことによって) を同時に保存できることがわかります。 ${\displaystyle |a_{0}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )}$${\displaystyle |a_{1}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle )}$${\displaystyle |a\rangle =|a_{0}\rangle \otimes |a_{1}\rangle ={\frac {1}{2}}(|00\rangle -|01\rangle +|10\rangle -|11\rangle )}$

• 提案された量子レジスタのリスト
• 量子回路
• 量子論理ゲート

• Arora, Sanjeev ; Barak, Boaz (2016)。計算複雑性：現代的アプローチ。ケンブリッジ大学出版局。pp. 201–236。ISBN 978-0-521-42426-4。