量子誤り訂正

量子システムで発生するエラーの種類は、デバイスに依存しない仮定よりも、基盤となる物理プラットフォームに大きく依存します。例えば、量子ビットがアクティブ制御下にある場合でも、ゼロでないアインシュタイン係数を介して環境と結合したままです。環境が真空状態まで冷却されると、この結合によって振幅減衰エラー（または励起損失）が発生します。これは、システムが熱平衡に向かって緩和する傾向を反映しており、緩和時間によって特徴付けられます。さらに、孤立した量子ビットでさえ、その内部ダイナミクスに対応する固有のハミルトニアンを持ち、コヒーレントエラーにつながります。振幅減衰とコヒーレント進化は共に、ほとんどの量子ビット実装における主要なノイズプロセスの一つである位相緩和に寄与します。

前述のように、ほとんどの QECC は、主なエラーがビット反転、位相反転、またはその両方の組み合わせであると想定しています。これはパウリ演算子に対応します。このフレームワークの暗黙の仮定は、一般的な物理的エラーはパウリ群の要素として近似できるということです。このモデルでは、各量子ビットのエラーは 2 つの古典ビット (00: エラーなし、01:${\displaystyle Z}$、10:${\displaystyle X}$、11:${\displaystyle Y}$したがって、n量子ビットシステムのエラーは長さ2nのバイナリ文字列で記述でき、適切な制約の下で古典的な誤り訂正技術を適用できます。この近似はすべての現実的なノイズプロセスを捉えるわけではありませんが、理論解析とコード設計の両方を大幅に簡素化するため、広く使用されています。

の${\displaystyle [[n,k,d]]}$QECCは、考えられるすべての量子符号を網羅するものではありません。これらは、スタビライザー形式論で定義される加法符号のクラスに属します。非加法符号として知られるより一般的なクラス^{[ 3 ]}は、この枠組みを超えています。例えば、${\displaystyle ((5,6,2))}$コード^{[ 4 ]}は2つ以上の量子ビットを符号化する${\displaystyle (\log _{2}6\approx 2.585)}$非加算符号は、符号距離2の5つの物理量子ビットに分割できる。非加算符号は原理的には加算符号よりも高い符号化率を達成できるが、その構築と解析ははるかに困難である。そのため、非加算符号は比較的未開拓であり、現在までに限られた研究しか行われていない。

量子ビットを量子ビットにエンコードするだけでなく、量子情報は、次のようなより一般的な物理システムにも保存できます。${\displaystyle d}$量子ビット（qudit）や無限次元発振器など。より小さな論理システムをより大きな物理ヒルベルト空間に符号化することは、活発な研究分野である。

• 定常励起コード^{[ 24 ]}は、受信機が移動している場合など、未知のストレージまたは送信期間中に物理量子ビットの固有ハミルトニアンから生じる集団的コヒーレントエラーから保護するように設計されています。
• トッド・ブランらが構築したエンタングルメント支援型スタビライザー形式は、送信者と受信者の間で共有される量子もつれを組み込んだ、標準的なスタビライザー形式の拡張である。
• エリック・レインズ^{[ 25 ]}とジョン・スモーリンら^{[ 26 ]}は、以前の非加法コードを距離2のケースに一般化しました。ユーら^{[ 27 ] [ 28 ]}は、コード距離をさらに3に改善しました。
• Nohらは、補助GKP状態を使用して単一の発振器を保護するQEC方式を提案した。^{[ 29 ]}

単一の量子ビットの状態を送信したい状況を考えてみましょう。${\displaystyle \vert \psi \rangle }$騒々しいチャネルを通して${\displaystyle {\mathcal {E}}}$さらに、このチャネルが確率で量子ビットの状態を反転させると仮定します。${\displaystyle p}$または、変更せずにそのままにしておく。${\displaystyle {\mathcal {E}}}$一般的な入力について${\displaystyle \rho }$したがって、次のように書くことができる。${\displaystyle {\mathcal {E}}(\rho )=(1-p)\rho +p\cdot X\rho X}$。

させて${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle }$送信する量子状態とする。誤り訂正プロトコルがない場合、送信された状態は確率で正しく送信される。${\displaystyle 1-p}$しかし、状態をより多くの量子ビットに符号化することで、この数を改善できます。そうすることで、対応する論理量子ビットのエラーを検出して訂正できます。単純な3量子ビット繰り返しコードの場合、符号化は次のマッピングで構成されます。${\displaystyle \vert 0\rangle \rightarrow \vert 0_{\rm {L}}\rangle \equiv \vert 000\rangle }$そして${\displaystyle \vert 1\rangle \rightarrow \vert 1_{\rm {L}}\rangle \equiv \vert 111\rangle }$入力状態${\displaystyle \vert \psi \rangle }$状態にエンコードされる${\displaystyle \vert \psi '\rangle =\alpha _{0}\vert 000\rangle +\alpha _{1}\vert 111\rangle }$このマッピングは、例えば2つのCNOTゲートを使用し、システムを状態に初期化された2つの補助量子ビットでエンタングルさせることで実現できます。${\displaystyle \vert 0\rangle }$[ ^{31 ]エンコードされ}た状態${\displaystyle \vert \psi '\rangle }$これが、現在ノイズの多いチャネルを通過するものです。

チャネルは以下を実行します${\displaystyle \vert \psi '\rangle }$量子ビットの一部（空の場合もあり）を反転させることによって。確率で量子ビットが反転することはありません。${\displaystyle (1-p)^{3}}$1つの量子ビットは確率で反転する$3p(1-p)^2$2つの量子ビットが確率で反転する${\displaystyle 3p^{2}(1-p)}$、そして3つの量子ビットすべてが確率で反転する${\displaystyle p^{3}}$ここで、チャネルに関してさらに仮定を置くことに注意してください。${\displaystyle {\mathcal {E}}}$は、現在状態が符号化されている 3 つの量子ビットそれぞれに均等かつ独立して作用します。問題は、送信された状態を破損することなく、そのようなエラーを検出して修正する方法です。

簡単のために、${\displaystyle p}$が十分に小さいため、複数の量子ビットが反転する確率は無視できるほど小さい。したがって、送信されている値を問い合わせることなく、量子ビットの1つが他の量子ビットと異なるかどうかを尋ねることで、量子ビットが反転したかどうかを検出できる。これは、次の4つの射影測定に対応する4つの異なる結果を持つ測定を実行することに相当します。$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}&=|000\rangle \langle 000|+|111\rangle \langle 111|,\\P_{1}&=|100\rangle \langle 100|+|011\rangle \langle 011|,\\P_{2}&=|010\rangle \langle 010|+|101\rangle \langle 101|,\\P_{3}&=|001\rangle \langle 001|+|110\rangle \langle 110|.\end{aligned}}}$$これは、どの量子ビットが他と異なるかを明らかにするが、同時に量子ビット自体の状態に関する情報は提供しない。${\displaystyle P_{0}}$が得られた場合は修正は適用されず、対応する結果が${\displaystyle P_{i}}$が観測されると、パウリXゲートが適用される。${\displaystyle i}$番目の量子ビット。形式的には、この補正手順は、チャネルの出力に次のマップを適用することに相当します。 $${\displaystyle {\mathcal {E}}_{\operatorname {corr} }(\rho )=P_{0}\rho P_{0}+\sum _{i=1}^{3}X_{i}P_{i}\rho \,P_{i}X_{i}.}$$なお、この手順はチャネルによって0個または1個の量子ビット反転が生じた場合、出力を完全に補正しますが、複数の量子ビットが反転した場合は、出力は適切に補正されません。例えば、最初の量子ビットと2番目の量子ビットが反転した場合、シンドローム測定の結果は次のようになります。${\displaystyle P_{3}}$そして、最初の 2 つの量子ビットではなく、3 番目の量子ビットが反転されます。一般的な入力に対するこのエラー訂正方式の性能を評価するために、忠実度を調べることができます。${\displaystyle F(\psi ')}$入力と入力の間${\displaystyle \vert \psi '\rangle }$そして出力${\displaystyle \rho _{\operatorname {out} }\equiv {\mathcal {E}}_{\operatorname {corr} }({\mathcal {E}}(\vert \psi '\rangle \langle \psi '\vert ))}$出力状態${\displaystyle \rho _{\operatorname {out} }}$1 個以下の量子ビットが反転する場合に正しい。これは確率で起こる。${\displaystyle (1-p)^{3}+3p(1-p)^{2}}$次のように書くことができます。${\displaystyle [(1-p)^{3}+3p(1-p)^{2}]\,\vert \psi '\rangle \langle \psi '\vert +(...)}$、ここでドットは、${\displaystyle \rho _{\operatorname {out} }}$プロトコルによって適切に修正されなかったエラーに起因する。したがって、$${\displaystyle F(\psi ')=\langle \psi '\vert \rho _{\operatorname {out} }\vert \psi '\rangle \geq (1-p)^{3}+3p(1-p)^{2}=1-3p^{2}+2p^{3}.}$$この忠実度は、誤り訂正プロトコルを使用しない場合に得られる対応する忠実度と比較されるものであり、以前に等しいことが示されている。${\displaystyle {1-p}}$簡単な代数計算で、エラー訂正後の忠実度は、エラー訂正なしの場合よりも大きいことがわかります。${\displaystyle p<1/2}$。これは、プロトコルを導出する際に立てられた作業上の仮定と一致していることに注意してください（${\displaystyle p}$十分に小さいので）。

ビット反転は、古典コンピュータにおける唯一のエラーの種類です。しかし、量子コンピュータでは、別の種類のエラー、つまり符号反転が発生する可能性があります。チャネルを介した伝送により、ビットとビット間の相対的な符号が反転します。${\displaystyle |0\rangle }$そして${\displaystyle |1\rangle }$反転する可能性がある。たとえば、状態にある量子ビットは${\displaystyle |-\rangle =(|0\rangle -|1\rangle )/{\sqrt {2}}}$符号が反転する可能性がある${\displaystyle |+\rangle =(|0\rangle +|1\rangle )/{\sqrt {2}}.}$

量子ビットの初期状態 $${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle }$$ 状態が変わります $${\displaystyle |\psi '\rangle =\alpha _{0}|{+}{+}{+}\rangle +\alpha _{1}|{-}{-}{-}\rangle .}$$

アダマール基底では、ビット反転は符号反転になり、符号反転はビット反転になります。${\displaystyle E_{\text{phase}}}$最大で1回の位相反転を引き起こすことができる量子チャネルである。すると、上記のビット反転コードが復元できる。${\displaystyle |\psi \rangle }$伝送の前後でアダマール基底に変換することによって${\displaystyle E_{\text{phase}}}$。

エラーチャネルは、ビット反転、符号反転（つまり位相反転）、またはその両方を引き起こす可能性があります。適切に設計された QEC コードを使用すると、論理量子ビット上の両方のタイプのエラーを訂正できます。これを行うコードの 1 つは、1995 年に発表された Shor コードです。^{[ 32 ] [ 33 ] : 10}これらの 2 種類のエラーは射影測定後に発生する可能性のある唯一のタイプのエラーであるため、Shor コードでは任意の単一量子ビットエラーを訂正できます。

させて${\displaystyle E}$量子チャネルは、任意の単一量子ビットを破壊できる。1番目、4番目、7番目の量子ビットは符号反転コード用であり、3つの量子ビット群（1,2,3）、（4,5,6）、（7,8,9）はビット反転コード用に設計されている。ショア符号では、量子ビットの状態は${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle }$9量子ビットの積に変換されます${\displaystyle |\psi '\rangle =\alpha _{0}|0_{S}\rangle +\alpha _{1}|1_{S}\rangle }$、 どこ $${\displaystyle |0_{\rm {S}}\rangle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(|000\rangle +|111\rangle )\otimes (|000\rangle +|111\rangle )\otimes (|000\rangle +|111\rangle )}$$$${\displaystyle |1_{\rm {S}}\rangle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(|000\rangle -|111\rangle )\otimes (|000\rangle -|111\rangle )\otimes (|000\rangle -|111\rangle )}$$

量子ビットにビット反転エラーが発生した場合、各量子ビットブロック（1,2,3）、（4,5,6）、（7,8,9）に対してシンドローム解析が実行され、各ブロックで最大1つのビット反転エラーを検出および修正します。

3ビット反転グループ（1,2,3）、（4,5,6）、（7,8,9）を3つの入力とみなすと、ショア符号回路は符号反転符号に簡略化できる。これは、ショア符号が単一量子ビットの符号反転エラーも修復できることを意味する。

ショア符号は、単一量子ビットに対する任意のエラー（ビット反転と符号反転の両方）を訂正することもできます。エラーが量子ビットに作用するユニタリ変換Uによってモデル化される場合${\displaystyle |\psi \rangle }$、 それから${\displaystyle U}$次のように記述できます $${\displaystyle U=c_{0}I+c_{1}X+c_{2}Y+c_{3}Z}$$ どこ${\displaystyle c_{0}}$、${\displaystyle c_{1}}$、${\displaystyle c_{2}}$、 そして${\displaystyle c_{3}}$は複素定数、Iは単位行列であり、パウリ行列は次のように与えられる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}X&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}};\\Y&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}};\\Z&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$

UがIと等しい場合、エラーは発生しません。${\displaystyle U=X}$ビット反転エラーが発生します。${\displaystyle U=Z}$符号反転エラーが発生します。${\displaystyle U=iY}$すると、ビット反転エラーと符号反転エラーの両方が発生します。言い換えれば、ショア符号は、単一の量子ビットにおけるビットエラーまたは位相エラーのあらゆる組み合わせを訂正できます。

より一般的に言えば、誤差演算子Uはユニタリである必要はなく、環境と相互作用するシステムを表す量子操作からのクラウス演算子であってもよい。

量子誤り訂正は量子計測に適用できます。そのため、論理量子ビットは複数の物理量子ビットに格納されます。線形干渉計の場合、論理量子ビット間には相互作用はありません。しかし、ダイナミクスは、論理量子ビットに対応する物理量子ビットのマルチ量子ビット相関演算子を含む演算子によって与えられます。この方式では、量子誤り訂正の一般的な規則に従ってエラーを検出および訂正できます。^{[ 34 ] [ 35 ]}

別のアプローチでは、量子状態を修正するのではなく、ノイズが存在する場合でも高精度の量子計測を可能にする状態を維持することが目標です。量子計測において分離可能な状態よりも優れた性能を発揮できない量子状態であっても、マルチコピーの場合には分離可能な状態よりも優れていることが観察されており、そのため計測能力を活性化することができます。^{[ 36 ]} したがって、各論理量子ビットを複数の物理量子ビットに格納する代わりに、量子状態全体の複数のコピーを格納します。たとえば、${\displaystyle N}$-キュービット量子状態${\displaystyle \varrho }$空間に住む

$${\displaystyle \{|0\rangle ^{\otimes N},|1\rangle ^{\otimes N}\}.}$$

この部分空間にはノイズのある量子状態が含まれる

$${\displaystyle p|{\rm {GHZ}}_{N}\rangle \langle {\rm {GHZ}}_{N}|+(1-p){\frac {(|0\rangle \langle 0|)^{\otimes N}+(|1\rangle \langle 1|)^{\otimes N}}{2}},}$$

ここで、グリーンバーガー・ホーン・ツァイリンガー（GHZ）状態は次のように表される。

$${\displaystyle |{\rm {GHZ}}_{N}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle ^{\otimes N}+|1\rangle ^{\otimes N}).}$$

考えてみましょう${\displaystyle M}$州のコピー

$${\displaystyle \varrho _{M{\text{-copy}}}=\varrho ^{\otimes M}.}$$

次に、次のハミルトニアン

$${\displaystyle H=\sum _{n=1}^{N}\prod _{m=1}^{M}\sigma _{z}^{(n,m)}}$$

に作用する${\displaystyle M}$-量子状態をコピーします。ここで、${\displaystyle \sigma _{z}^{(n,m)}}$パウリのスピン行列は${\displaystyle \sigma _{z}}$m 番目のコピーのn番目の量子ビットについて。量子フィッシャー情報によって特徴付けられる計測上の有用性は、

$${\displaystyle F_{Q}[\varrho ,H]}$$

コピー数とともに指数関数的に増加する。${\displaystyle M}$GHZ状態の計量学的有用性に近づき、${\displaystyle 4N^{2}.}$分離可能な州が到達する${\displaystyle 4N.}$^{[ 37 ]}

状態が上述のサブスペースの外にある場合、ビット反転コードを用いた通常のエラー訂正手順によって、その状態をサブスペースに戻すことができる。

別の例では、この方式では誤差補正なしでも位相誤差が抑制されることがわかります。${\displaystyle N}$-キュービットGHZ状態、その後単一位相

$${\displaystyle |\Psi \rangle =|{\rm {GHZ}}_{N}\rangle \otimes |{\rm {GHZ}}_{N}\rangle \otimes |{\rm {GHZ}}_{N}\rangle ,}$$

そして上記のハミルトニアンを考える。すると、その状態の計測学的有用性は量子フィッシャー情報によって特徴づけられる。${\displaystyle F_{Q}[|\Psi \rangle \langle \Psi |,H]}$。

1つの量子ビットが位相反転チャネルを通過した後の状態をで表す。${\displaystyle \varrho _{\rm {phaseflip}}.}$国家の計量上の有用性は変化しないことが示される。

$${\displaystyle F_{Q}[\varrho _{\rm {phaseflip}},H]=F_{Q}[|\Psi \rangle \langle \Psi |,H]}$$

そしてそれは最大値のままである。したがって、誤差補正ステップがなくても、計測特性は同じままである。（参考文献^{[ 37 ]}および参考文献^{[ 38 ]}の補足Eを参照）