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量子力学において、量子操作（量子力学的マップまたは量子プロセスとも呼ばれる）は、量子力学的システムが受けうる幅広いクラスの変換を記述するために使用される数学的形式です。これは、1961 年にGeorge Sudarshanによって密度行列の一般的な確率的変換として初めて議論されました。 [ 1 ]量子操作の形式は、孤立系のユニタリー時間発展や対称変換だけでなく、測定や環境との一時的な相互作用の影響も記述します。量子計算の文脈では、量子操作は量子チャネルと呼ばれます。
なお、一部の著者は「量子演算」という用語を、密度行列の空間における完全正（CP）かつトレース増加しない写像を指すために用いており、「量子チャネル」という用語を、厳密にトレース保存する写像のサブセットを指すために用いている。[ 2 ]
量子操作は、量子力学系の密度演算子記述に基づいて定式化される。厳密には、量子操作は密度演算子の集合からそれ自身への線形かつ完全正の写像である。量子情報の文脈では、量子操作がさらに次の制約を課すことが多い。物理的でなければならない[ 3 ]、つまり、どの州でも。
量子操作の形式では捉えられない量子プロセスもあります。 [ 4 ]原理的には、量子システムの密度行列は完全に任意の時間発展を経る可能性があります。量子操作は量子計測器によって一般化され、量子情報に加えて測定中に得られる古典情報も捉えます。
シュレーディンガーの描像は、特定の仮定の下で量子力学系の状態の時間発展を十分に説明する。これらの仮定には以下が含まれる。
時間発展に関するシュレーディンガー描像には、数学的に等価な定式化がいくつか存在する。そのような定式化の一つは、シュレーディンガー方程式を用いて状態の時間変化率を表す。本稿でより適切な定式化は、以下のように表される。
これは、システムが時刻sの瞬間にv ∈ Hに対応する状態にある場合、 t単位時間後の状態は U t vになることを意味します。相対論的システムには普遍的な時間パラメータはありませんが、量子力学的システムに対する特定の可逆変換の効果を定式化することは可能です。たとえば、異なる参照系にいる観測者を関連付ける状態変換は、ユニタリ変換によって与えられます。いずれにせよ、これらの状態変換は純粋状態を純粋状態へと運びます。これはしばしば、この理想化された枠組みではデコヒーレンスがないと定式化されます。
測定を受けているような相互作用系（または開放系）の場合、状況は全く異なります。まず、このような系が経験する状態変化は、純粋状態の集合（つまり、Hのノルム 1 のベクトルに関連付けられた状態）上の変換だけでは説明できません。このような相互作用の後、純粋状態 φ にある系は、もはや純粋状態 φ にあるとは限りません。一般に、純粋状態 φ 1、 ... 、 φ kの統計的な混合状態になり、それぞれの確率は λ 1、 ... 、 λ kとなります。純粋状態から混合状態への遷移は、デコヒーレンスとして知られています。
相互作用系を扱うための数学的定式化は数多く確立されてきた。量子操作の定式化は、1983年頃、カール・クラウスの研究から生まれたもので、クラウスはそれ以前のマン・ドゥエン・チョイの数学的研究に基づいていた。この定式化の利点は、測定などの操作を密度状態から密度状態への写像として表現できる点にある。特に、量子操作の効果は密度状態の集合内に留まる。
密度演算子とは、単位トレースを持つヒルベルト空間上の非負演算子であることを思い出してください。
数学的には、量子演算は、ヒルベルト空間HとG上のトレースクラス演算子の空間間の線形写像Φ であり、
最初の条件から、量子演算は統計的アンサンブルの正規化特性を保持しない可能性があることに注意してください。確率論的に言えば、量子演算はサブマルコフ的である可能性があります。量子演算が密度行列の集合を保持するためには、トレース保存性を持つという追加の仮定が必要です。
量子情報においては、ここで定義される量子演算、すなわちトレースを増加させない完全正の写像は、量子チャネルまたは確率写像とも呼ばれます。ここでの定式化は量子状態間のチャネルに限定されていますが、古典状態にも拡張することができ、量子情報と古典情報を同時に扱うことが可能になります。
クラウスの定理（カール・クラウスにちなんで名付けられた）は、量子状態間の量子操作をモデル化した完全正写像を特徴づける。非公式には、この定理は、そのような量子操作の作用が完全正写像であることを保証する。州において常に次のように書くことができます演算子の集合について満足、 どこは恒等演算子です。
定理[ 5 ] とするそして次元のヒルベルト空間であるそしてそれぞれ、量子操作であるそしてすると、行列があります。マッピングに任意の状態に対して、 逆に、どんな地図でもこの形式の量子操作は、。
行列これらはクラウス演算子と呼ばれます。（量子情報処理の文脈では、量子演算が環境のノイズやエラー発生効果を表すため、ノイズ演算子またはエラー演算子と呼ばれることもあります。）スタインスプリング因数分解定理は、上記の結果を任意の可分ヒルベルト空間HおよびGに拡張します。そこでは、Sはトレースクラス演算子に置き換えられ、一連の有界演算子によって。
クラウス行列は量子演算によって一意に決定されるわけではない一般的に言えば、例えば、チョイ行列の異なるコレスキー分解は、異なるクラウス演算子の集合を与える可能性がある。次の定理は、同じ量子操作を表すすべてのクラウス行列系は、ユニタリ変換によって関連付けられることを述べている。
定理。は、2 つの表現列のクラウス行列を持つ有限次元ヒルベルト空間H上の (必ずしもトレース保存ではない) 量子演算である。そしてすると、ユニタリ演算子行列が存在する。そのため
無限次元の場合、これは2つの最小スタインスプリング表現間の関係に一般化される。
スタインスプリングの定理によれば、適切な補助系を元の系に結合させた後、すべての量子操作はユニタリー発展によって実現できる。
これらの結果は、トレースに関して一意のエルミート正密度演算子（ Choi行列）によって完全正の有限次元マップを特徴付ける、完全正のマップに関するChoiの定理からも導き出すことができる。与えられたチャネルのすべての可能なKraus表現の中で、Kraus演算子の直交関係によって区別される標準形が存在する。このような直交クラウス演算子の標準的なセットは、対応するチョイ行列を対角化し、その固有ベクトルを正方行列に再構成することによって得られます。
また、チョイの定理の無限次元代数的一般化として、完全正写像に関するベラフキンのラドン・ニコディム定理が存在する。これは、量子チャネルの支配的な完全正写像（参照チャネル）に関するラドン・ニコディム微分として密度演算子を定義するものである。この定理は、量子チャネルの相対忠実度と相互情報量を定義するために用いられる。
非相対論的量子力学系の場合、その時間発展はQの1 パラメータ群の自己同型写像 {α t } tによって記述されます。これはユニタリ変換に絞り込むことができます。特定の弱い技術的条件 (量子論理に関する記事と Varadarajan の文献を参照) の下では、基礎となるヒルベルト空間のユニタリ変換の強連続 1 パラメータ群 { U t } tが存在し、 Qの要素E は次の式に従って発展します。
システムの時間発展は、統計的状態空間の時間発展と双対的に考えることもできる。統計的状態の発展は、 次のような 演算子の族 {β t } tによって与えられる。
明らかに、 tの各値に対して、S → U * t S U tは量子操作である。さらに、この操作は可逆である。
これは簡単に一般化できます。Gが 同じ弱い連続性条件を満たすQの対称性の連結リー群である場合、 Gの任意の要素gの作用はユニタリ演算子Uによって与えられます。 この写像g → U g は、 Gの射影表現として知られています。写像S → U * g S U gは可逆量子操作です。
量子操作は、量子測定のプロセスを記述するために使用できます。以下の説明では、分離可能な複素ヒルベルト空間H上の自己共役射影、すなわち PVM (射影値測度) の観点から測定について説明します。一般的には、POVMの概念を介して、非直交演算子を使用して測定を行うことができます。非直交の場合、量子計測器の全体的な効率を向上させることができるため、興味深いものです。
量子システムは、一連のイエス・ノー形式の質問を適用することで測定できる。この質問群は、量子論理における命題の直交補元格子Qから選択されていると理解できる。この格子は、可分複素ヒルベルト空間H上の自己共役射影の空間に相当する。
ある状態Sにあるシステムを考え、そのシステムが何らかの性質Eを持つかどうかを判定することを目的とする。ここでEは量子イエス・ノー質問の格子要素である。この文脈における測定とは、システムの状態がその性質を満たすかどうかを判定するための何らかの手順をシステムに課すことを意味する。この議論におけるシステムの状態への言及は、システムの統計的アンサンブルを考えることで操作的な意味を与えることができる。各測定は0または1の確定値をもたらし、さらにアンサンブルに測定プロセスを適用すると、統計的状態が予測可能な変化をもたらす。この統計的状態の変換は量子操作によって与えられる。 ここでEは射影演算子と理解できる。
一般的に、測定は2つ以上の値をとる観測量に対して行われる。
観測量Aが純粋な点スペクトルを持つ場合、それは固有ベクトルの正規直交基底で表すことができる。つまり、Aはスペクトル分解を持つ。 ここで、E A (λ) は、測定値 λ に関連付けられたAのそれぞれの固有空間への、ペアワイズ直交射影の族です。
観測量Aの測定により、 Aの固有値が得られる。システムの統計的アンサンブルSに対して繰り返し測定を行うと、Aの固有値スペクトルに関する確率分布が得られる。これは離散確率分布であり、次式で与えられる。
統計状態Sの測定は、次のマップによって与えられる。 つまり、測定直後の統計状態は、観測可能な値λに関連付けられた固有空間上の古典的な分布であり、Sは混合状態である。
アニル・シャジとジョージ・スダルシャンは2005年に、綿密な検討の結果、完全な正値性は開放量子進化の適切な表現の要件ではないと主張した。彼らの計算によると、観測システムと環境の間に固定された初期相関から始めると、システム自体に制限された写像は必ずしも正値ではない。しかし、正値でないのは、初期相関の形式に関する仮定を満たさない状態の場合だけである。したがって、量子進化を完全に理解するには、完全に正値でない写像も考慮する必要があることを彼らは示している。[ 4 ] [ 6 ] [ 7 ]
![{\displaystyle 0\leq \operatorname {Tr} [{\mathcal {E}}(\rho )]\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c524baf247fc55e4613fb836f9b0b26af3633d9e)
