量子演算

量子力学において、量子操作（量子力学マップまたは量子過程とも呼ばれる）は、量子力学系が受け得る変換の広範なクラスを記述するために使用される数学的形式である。これは、ジョージ・スダルシャンによって密度行列の一般確率変換として最初に議論された。^{[1]量子操作形式は、孤立系のユニタリ時間発展または対称性変換だけでなく、測定の影響や環境との過渡的相互作用も記述する。}量子計算の文脈では、量子操作は量子チャネルと呼ばれる。

一部の著者は、「量子操作」という用語を、密度行列の空間上の完全正（CP）および非トレース増加マップを指すために使用し、「量子チャネル」という用語を、厳密にトレース保存されるもののサブセットを指すために使用していることに注意してください。^[2]

量子演算は、量子力学システムの密度演算子記述の観点から定式化されます。厳密に言えば、量子演算は密度演算子の集合からそれ自体への線形で完全な正の写像です。量子情報の文脈では、量子演算は物理的でなければならないというさらなる制限が課されることがよくあります。^[3]つまり、任意の状態に対してが満たされます。 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle 0\leq \operatorname {Tr} [{\mathcal {E}}(\rho )]\leq 1}$${\displaystyle \rho}$

いくつかの量子過程は量子演算形式では捉えることができない。^[4]原理的には量子系の密度行列は完全に任意の時間発展を経ることができる。量子演算は量子情報に加えて測定中に得られた古典情報も捉える量子計測器によって一般化される。

シュレーディンガー描像は、ある仮定の下で量子力学系の状態の 時間発展を満足のいく形で説明する。これらの仮定には以下が含まれる。

• このシステムは非相対論的である
• システムは分離されています。

時間発展のシュレーディンガー描像には、数学的に同等な定式化がいくつかあります。そのような定式化の 1 つは、シュレーディンガー方程式を介して状態の時間変化率を表します。この説明のためのより適切な定式化は次のように表されます。

これは、システムが時刻sの瞬間にv ∈ Hに対応する状態にある場合、 t単位時間後の状態は U _t vになることを意味します。相対論的システムの場合、普遍的な時間パラメーターはありませんが、それでも量子力学システムに対する特定の可逆変換の影響を定式化できます。たとえば、異なる参照フレームの観測者を関連付ける状態変換は、ユニタリ変換によって与えられます。いずれの場合も、これらの状態変換は純粋状態を純粋状態に持ち込みます。これは、この理想化されたフレームワークではデコヒーレンスは存在しないと言って定式化されることがよくあります。

測定を受けているような相互作用する（または開いた）システムの場合、状況はまったく異なります。まず、そのようなシステムが経験する状態変化は、純粋状態（つまり、Hのノルム 1 のベクトルに関連付けられている状態）の集合に対する変換だけで説明することはできません。そのような相互作用の後、純粋状態 φ にあるシステムは、純粋状態 φ ではなくなる可能性があります。一般に、一連の純粋状態 φ ₁、...、 φ _{k が}それぞれの確率 λ ₁、...、 λ _kで統計的に混合されます。純粋状態から混合状態への遷移は、デコヒーレンスとして知られています。

相互作用するシステムのケースを扱うために、数多くの数学的形式論が確立されている。量子操作形式論は、Man-Duen Choi の以前の数学的研究に依存していたKarl Krausの研究から 1983 年頃に登場した。この形式論の利点は、測定などの操作を密度状態から密度状態へのマッピングとして表現できることである。特に、量子操作の効果は密度状態のセット内にとどまる。

密度演算子は、単位トレースを持つヒルベルト空間上の非負演算子であることを思い出してください。

数学的には、量子演算はヒルベルト空間HとG上のトレースクラス作用素の空間間の線型写像Φであり、

• Sが密度演算子の場合、Tr(Φ( S ))≤1となる。
• Φ は完全に正、つまり任意の自然数nに対して であり、要素がトレースクラス演算子で非負であるサイズnの任意の正方行列の場合、も非負です。言い換えると、がすべてのnに対して正である場合、 Φ は完全に正です。ここで、 は行列のC* 代数上の恒等写像を表します。$${\displaystyle {\begin{bmatrix}S_{11}&\cdots &S_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\S_{n1}&\cdots &S_{nn}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Phi (S_{11})&\cdots &\Phi (S_{1n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\Phi (S_{n1})&\cdots &\Phi (S_{nn})\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle \Phi \otimes I_{n}}$${\displaystyle I_{n}}$${\displaystyle n\times n}$

最初の条件により、量子演算は統計的集団の正規化特性を保持しない可能性があることに注意してください。確率論的に言えば、量子演算はサブマルコフである可能性があります。量子演算が密度行列のセットを保持するには、それがトレースを保持するという追加の仮定が必要です。

量子情報の文脈では、ここで定義される量子操作、すなわちトレースを増加させない完全な正のマップは、量子チャネルまたは確率マップとも呼ばれます。ここでの定式化は量子状態間のチャネルに限定されていますが、古典状態も含むように拡張できるため、量子情報と古典情報を同時に処理できます。

クラウスの定理（カール・クラウスにちなんで名付けられた）は、量子状態間の量子演算をモデル化する完全正値写像を特徴付ける。非公式には、この定理は、を満たす演算子の集合に対して、状態に対するそのような量子演算の作用が常に と表されることを保証する。ここで、は恒等演算子である。 ${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle \rho}$${\textstyle \Phi (\rho )=\sum _{k}B_{k}\rho B_{k}^{*}}$${\displaystyle \{B_{k}\}_{k}}$${\textstyle \sum _{k}B_{k}^{*}B_{k}\leq \mathbf {1} }$${\displaystyle \mathbf {1} }$

定理. ^[5]と をそれぞれ次元とのヒルベルト空間とし 、をと の間の量子演算とする。このとき、 をに写像する行列が存在し、 の任意の状態に対して となる。 逆に、 が与えられた場合、この形式の任意の写像は量子演算となる。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$$${\displaystyle \{B_{i}\}_{1\leq i\leq nm}}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \rho }$$${\displaystyle \Phi (\rho )=\sum _{i}B_{i}\rho B_{i}^{*}.}$$${\displaystyle \Phi }$${\textstyle \sum _{k}B_{k}^{*}B_{k}\leq \mathbf {1} }$

行列はクラウス演算子と呼ばれます。(特に量子情報処理の文脈では、ノイズ演算子またはエラー演算子と呼ばれることもあります。量子情報処理では、量子演算は環境のノイズの多いエラー生成効果を表します。)スティーンスプリング因数分解定理は、上記の結果を任意の可分ヒルベルト空間HとGに拡張します。そこでは、S はトレースクラス演算子と一連の有界演算子に置き換えられます。 ${\displaystyle \{B_{i}\}}$${\displaystyle \{B_{i}\}}$

クラウス行列は、一般に量子演算によって一意に決定されるわけではありません。たとえば、チョイ行列の異なるコレスキー分解によって、クラウス演算子の異なるセットが生成される場合があります。次の定理は、同じ量子演算を表すクラウス行列のすべてのシステムは、ユニタリ変換によって関連付けられていることを示しています。 ${\displaystyle \Phi }$

定理。有限次元ヒルベルト空間H上の（必ずしもトレース保存ではない）量子演算を、2 つのクラウス行列の表現列とで表すとします。このとき、次のようなユニタリ演算子行列が存在します。${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \{B_{i}\}_{i\leq N}}$${\displaystyle \{C_{i}\}_{i\leq N}}$${\displaystyle (u_{ij})_{ij}}$$${\displaystyle C_{i}=\sum _{j}u_{ij}B_{j}.}$$

無限次元の場合、これは 2 つの最小 Stinespring 表現間の関係に一般化されます。

スティーンスプリングの定理によれば、適切な補助要素を元のシステムに結合した後、すべての量子操作をユニタリー進化によって実装できます。

これらの結果は、完全正値写像に関する Choi の定理からも導くことができます。この定理は、トレースに関して唯一のエルミート正密度演算子 (Choi 行列) によって完全正値の有限次元写像を特徴付けます。与えられたチャネルのすべての可能な Kraus 表現の中には、 Kraus 演算子の直交関係によって区別される標準形式が存在します。このような直交 Kraus 演算子の標準集合は、対応する Choi 行列を対角化し、その固有ベクトルを正方行列に再形成することで取得できます。 ${\displaystyle \operatorname {Tr} A_{i}^{\dagger }A_{j}\sim \delta _{ij}}$

また、チェイの定理の無限次元代数一般化も存在し、「完全正写像に対するベラフキンのラドン・ニコディム定理」として知られ、支配的な完全正写像（参照チャネル）に対する量子チャネルの「ラドン・ニコディム微分」として密度演算子を定義します。これは、量子チャネルの相対的な忠実度と相互情報量を定義するために使用されます。

非相対論的量子力学システムの場合、その時間発展はQの自己同型 {α _t } _tの1 パラメータ群によって記述されます。これはユニタリ変換に絞り込むことができます。特定の弱い技術的条件 (量子論理に関する記事と Varadarajan の参考文献を参照) の下では、基礎となるヒルベルト空間のユニタリ変換の強連続 1 パラメータ群 { U _t } _tが存在し、 Qの要素E は次式に従って発展します。

${\displaystyle \alpha _{t}(E)=U_{t}^{*}EU_{t}.}$

システムの時間発展は、統計的状態空間の時間発展と二重にみなすこともできる。統計的状態の発展は、次のような 演算子の族{β _t } _{tによって与えられる。}$${\displaystyle \operatorname {Tr} (\beta _{t}(S)E)=\operatorname {Tr} (S\alpha _{-t}(E))=\operatorname {Tr} (SU_{t}EU_{t}^{*})=\operatorname {Tr} (U_{t}^{*}SU_{t}E).}$$

明らかに、 tの各値に対して、S → U * _t S U _{t は}量子操作です。さらに、この操作は可逆的です。

これは簡単に一般化できます。Gが 同じ弱連続条件を満たすQの対称性の連結リー群である場合、 Gの任意の元gの作用はユニタリ演算子Uによって与えられます。 このマッピングg → U _gはGの射影表現として知られています。マッピングS → U * _g S U _gは可逆な量子演算です。 $${\displaystyle g\cdot E=U_{g}EU_{g}^{*}.}$$

量子操作は量子測定のプロセスを記述するために使用できます。以下のプレゼンテーションでは、分離可能な複素ヒルベルト空間Hへの自己随伴射影、つまり PVM (射影値測度) の観点から測定について説明します。一般的なケースでは、 POVMの概念を介して、非直交演算子を使用して測定を行うことができます。非直交の場合は、量子機器の全体的な効率を向上させることができるため興味深いものです。

量子システムは、一連の「はい」か「いいえ」の質問を適用することによって測定できます。この一連の質問は、量子論理における命題の直交補完格子 Qから選択されると理解できます。この格子は、可分複素ヒルベルト空間H上の自己随伴射影の空間に相当します。

ある状態Sにあるシステムを考えてみましょう。その目標は、ある特性Eを持っているかどうかを判断することです。ここで、E は量子的な「はい/いいえ」の質問の格子の要素です。この場合の測定とは、システムを何らかの手順にかけ、状態が特性を満たしているかどうかを判断することを意味します。この議論におけるシステム状態への言及は、システムの統計的アンサンブルを考慮することによって操作上の意味を与えることができます。各測定は、0 または 1 の明確な値を生成します。さらに、測定プロセスをアンサンブルに適用すると、統計状態の予測可能な変化が生じます。この統計状態の変換は、量子演算によって与えられます 。 ここで、E は射影演算子であると理解できます。 $${\displaystyle S\mapsto ESE+(I-E)S(I-E).}$$

一般的なケースでは、2 つ以上の値を取る観測可能値に対して測定が行われます。

観測量A が純粋な点スペクトルを持つ場合、それは固有ベクトルの正規直交基底で表すことができます。つまり、A にはスペクトル分解があり 、E _A (λ) は測定値 λ に関連付けられたAのそれぞれの固有空間へのペアワイズ直交射影の族です。 $${\displaystyle A=\sum _{\lambda }\lambda \operatorname {E} _{A}(\lambda )}$$

観測量Aの測定により、 Aの固有値が得られる。システムの統計的集合 Sに対して繰り返し測定を行うと、 Aの固有値スペクトル上の確率分布が得られる。これは離散確率分布であり、次のように表される。 $${\displaystyle \operatorname {Pr} (\lambda )=\operatorname {Tr} (S\operatorname {E} _{A}(\lambda )).}$$

統計状態Sの測定は、マップによって与えられます。 つまり、測定直後、統計状態は、観測可能な値の λ に関連付けられた固有空間上の古典的な分布です。つまり、Sは混合状態です。 $${\displaystyle S\mapsto \sum _{\lambda }\operatorname {E} _{A}(\lambda )S\operatorname {E} _{A}(\lambda )\ .}$$

Shaji とSudarshan はPhysical Review Letters の論文で、綿密に検討すると、完全な正値は開放量子進化の適切な表現の要件ではないと主張しました。彼らの計算によると、観測システムと環境の間のいくつかの固定された初期相関から始めると、システム自体に制限されたマップは必ずしも正ではないことが示されています。ただし、初期相関の形式に関する仮定を満たさない状態に対してのみ正ではありません。したがって、量子進化を完全に理解するには、完全に正ではないマップも考慮する必要があることを示しています。^{[4] [6] [7]}

• 量子力学的半群
• スーパーオペレーター

• ニールセン、マイケル A.、チュアン、アイザック L. (2010)。量子計算と量子情報(第 10 版)。ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局。ISBN 9781107002173. OCLC  665137861.
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• Sudarshan, ECG; Mathews, PM; Rau, Jayaseetha (1961-02-01). 「量子力学システムの確率的ダイナミクス」. Physical Review . 121 (3). American Physical Society (APS): 920–924. Bibcode :1961PhRv..121..920S. doi :10.1103/physrev.121.920. ISSN  0031-899X.
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• K. クラウス『状態、効果、操作：量子理論の基本概念』、シュプリンガー出版、1983 年
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• V. バラダラジャン『量子力学の幾何学』第 1 巻と第 2 巻、Springer-Verlag 1985 年