トレース距離

量子力学、特に量子情報と開放量子システムの研究において、トレース距離 T は密度行列の空間上の測定基準であり、2 つの状態間の区別可能性の尺度を与えます。これは、古典的な確率分布に対する コルモゴロフ距離の量子一般化です。

トレース距離は、行列の差のトレースノルムの半分として定義されます。ここで、は のトレースノルム、はとなる唯一の正の半定値行列です(これは常に正の半定値 に対して定義されます)。これは、その固有値の代数平方根をとることで得られる行列と考えることができます。トレース距離については、より具体的には、 がエルミートである形式の式があります。この量は の特異値の合計に等しく、 はエルミートであるため、その固有値の絶対値の合計に等しくなります。より明確に言えば、 は の- 番目の固有値、はその階数です。 $${\displaystyle T(\rho ,\sigma ):={\frac {1}{2}}\|\rho -\sigma \|_{1}={\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} \left[{\sqrt {(\rho -\sigma )^{\dagger }(\rho -\sigma )}}\right],}$$${\displaystyle \|A\|_{1}\equiv \operatorname {Tr} [{\sqrt {A^{\dagger }A}}]}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\sqrt {A}}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B^{2}=A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle |C|\equiv {\sqrt {C^{\dagger }C}}={\sqrt {C^{2}}}}$${\displaystyle C=\rho -\sigma }$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$$${\displaystyle T(\rho ,\sigma )={\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} |\rho -\sigma |={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{r}|\lambda _{i}|,}$$${\displaystyle \lambda _{i}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle i}$${\displaystyle \rho -\sigma }$${\displaystyle r}$

係数 2 により、正規化された密度行列間のトレース距離が の範囲内の値を取ることが保証されます。 ${\displaystyle [0,1]}$

トレース距離は、確率分布間の全変動距離の直接的な量子一般化と見ることができます。確率分布のペアが与えられた場合、その全変動距離は です。この定義を量子状態に直接適用しようとすると、量子状態は、測定方法に応じて異なる確率分布になる可能性があるという問題が発生します。その場合の自然な選択は、2 つの状態を測定して得られた古典的な確率分布間の全変動距離を、測定の可能な選択肢にわたって最大化することであり、これは量子状態間のトレース距離とまったく同じになります。より明確に言えば、これは、すべての可能なPOVMに関して最大​​化が行われた量です。 ${\displaystyle P,Q}$$${\displaystyle \delta (P,Q)={\frac {1}{2}}\|P-Q\|_{1}={\frac {1}{2}}\sum _{k}|P_{k}-Q_{k}|.}$$$${\displaystyle \max _{\Pi }{\frac {1}{2}}\sum _{i}|\operatorname {Tr} (\Pi _{i}\rho )-\operatorname {Tr} (\Pi _{i}\sigma )|,}$$ ${\displaystyle \{\Pi _{i}\}_{i}}$

なぜそうなるのかを見るために、直交サポートを持つ半正定値行列で一意の分解があることを観察し始めます。これらの演算子を使用すると、簡潔に と記述できます。さらに、 であり、したがって です。したがって となります。これは、がPOVM 、で測定して得られる古典的な確率分布を表し、最大値がすべての POVM で実行されることを示しています。 ${\displaystyle \rho -\sigma =P-Q}$${\displaystyle P,Q\geq 0}$${\displaystyle |\rho -\sigma |=P+Q}$${\displaystyle \operatorname {Tr} (\Pi _{i}P),\operatorname {Tr} (\Pi _{i}Q)\geq 0}$${\displaystyle |\operatorname {Tr} (\Pi _{i}P)-\operatorname {Tr} (\Pi _{i}Q))|\leq \operatorname {Tr} (\Pi _{i}P)+\operatorname {Tr} (\Pi _{i}Q))}$$${\displaystyle \sum _{i}|\operatorname {Tr} (\Pi _{i}(\rho -\sigma ))|=\sum _{i}|\operatorname {Tr} (\Pi _{i}(P-Q))|\leq \sum _{i}\operatorname {Tr} (\Pi _{i}(P+Q))=\operatorname {Tr} |\rho -\sigma |.}$$$${\displaystyle \max _{\Pi }\delta (P_{\Pi ,\rho },P_{\Pi ,\sigma })\leq T(\rho ,\sigma ),}$$${\displaystyle P_{\Pi ,\rho }}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle (P_{\Pi ,\rho })_{i}\equiv \operatorname {Tr} (\Pi _{i}\rho )}$${\displaystyle \Pi \equiv \{\Pi _{i}\}_{i}}$

不等式が何らかの POVM によって飽和していると結論付けるには、 の固有ベクトルに対応する要素を持つ射影測定を考慮するだけで済みます。この選択により、の固有値は次のようになります。 ${\displaystyle \rho -\sigma }$$${\displaystyle \delta (P_{\Pi ,\rho },P_{\Pi ,\sigma })={\frac {1}{2}}\sum _{i}|\operatorname {Tr} (\Pi _{i}(\rho -\sigma ))|={\frac {1}{2}}\sum _{i}|\lambda _{i}|=T(\rho ,\sigma ),}$$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \rho -\sigma }$

シャッテンノルムのヘルダー双対性を用いると、トレース距離は変分形式で次のように表すことができる^[1]

${\displaystyle T(\rho ,\sigma )={\frac {1}{2}}\sup _{-\mathbb {I} \leq U\leq \mathbb {I} }\mathrm {Tr} [U(\rho -\sigma )]=\sup _{0\leq P\leq \mathbb {I} }\mathrm {Tr} [P(\rho -\sigma )].}$

古典的な対応物と同様に、トレース距離は 2 つの量子状態を区別する最大確率に関連付けることができます。

例えば、アリスが、それぞれ確率 の状態またはのどちらかのシステムを準備し、それをバイナリ測定を使用して2つの状態を区別する必要があるボブに送信するとします。ボブは、測定結果と、状態または を識別するための結果とPOVM要素などのPOVM要素をそれぞれ割り当てます。ボブが受信状態を正しく識別する期待確率は、次のように与えられます。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle P_{1}=1-P_{0}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle p_{\text{guess}}={\frac {1}{2}}p(0|\rho )+{\frac {1}{2}}p(1|\sigma )={\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} (P_{0}\rho )+{\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} (P_{1}\sigma )={\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {Tr} \left(P_{0}(\rho -\sigma )\right)\right).}$

したがって、最適な測定を適用すると、ボブは最大の確率を持つ。

${\displaystyle p_{\text{guess}}^{\text{max}}=\sup _{P_{0}}{\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {Tr} \left(P_{0}(\rho -\sigma )\right)\right)={\frac {1}{2}}(1+T(\rho ,\sigma ))}$

アリスがシステムをどの状態で準備したかを正しく識別すること。^[2]

トレース距離には次のような性質がある^[1]

• これは密度行列の空間上の計量であり、非負で対称であり、三角不等式を満たし、${\displaystyle T(\rho ,\sigma )=0\Leftrightarrow \rho =\sigma }$
• ${\displaystyle 0\leq T(\rho ,\sigma )\leq 1}$そして、直交するサポートを持つ場合のみ${\displaystyle T(\rho ,\sigma )=1}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$
• これはユニタリ変換でも保存されます。${\displaystyle T(U\rho U^{\dagger },U\sigma U^{\dagger })=T(\rho ,\sigma )}$
• これはトレース保存CP写像の下で収縮的である。つまり、がCPT写像であるとき、${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle T(\Phi (\rho ),\Phi (\sigma ))\leq T(\rho ,\sigma )}$
• それぞれの入力に対して凸である。例：${\displaystyle T(\sum _{i}p_{i}\rho _{i},\sigma )\leq \sum _{i}p_{i}T(\rho _{i},\sigma )}$
• 純粋状態においては、それは状態の内積によって一意に表現できる。^[3]${\displaystyle T(|\psi \rangle \langle \psi |,|\phi \rangle \langle \phi |)={\sqrt {1-|\langle \psi |\phi \rangle |^{2}}}}$

量子ビットの場合、トレース距離はブロッホ表現のユークリッド距離の半分に等しくなります。

2つの量子状態の忠実度は、不等式によって トレース距離と関係している。${\displaystyle F(\rho ,\sigma )}$${\displaystyle T(\rho ,\sigma )}$

${\displaystyle 1-{\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}\leq T(\rho ,\sigma )\leq {\sqrt {1-F(\rho ,\sigma )}}\,.}$

上限不等式は、と が純粋状態のときに等式になります。[ここで使用されている忠実度の定義は、ニールセンとチュアンで使用されている定義の2乗であることに注意してください] ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$

トレース距離は総変動距離の一般化であり、2 つの交換可能な密度行列の場合、対応する 2 つの確率分布の総変動距離と同じ値になります。