2つの立方体の合計

数学では、2 つの立方数の合計は、ある 3 乗の数に別の 3 乗の数を加えたものです。

あらゆる立方数の和は初等代数学 の恒等式 に従って因数分解できる。^[1]$${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}$$

二項数は、この因数分解をより高い奇数乗に一般化します。

「SOAP」という記憶法は、「Same, Opposite, Always Positive」の略で、立方体を因数分解するときに加算記号と減算記号の正しい配置を記憶するために時々使用されます。^[2]この方法を因数分解に適用すると、「Same」は元の式と同じ符号を持つ最初の項を表し、「Opposite」は元の式と反対の符号を持つ2番目の項を表し、「Always Positive」は3番目の項を表し、常に正になります。

式から始めて、a + b ^[1]を掛けてaとbをに 分配し、^[1] 同類項を消去します。 ^[1]${\displaystyle a^{2}-ab+b^{2}}$ $${\displaystyle (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a(a^{2}-ab+b^{2})+b(a^{2}-ab+b^{2}).}$$${\displaystyle a^{2}-ab+b^{2}}$ $${\displaystyle a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}}$$ $${\displaystyle a^{3}+b^{3}}$$

同様に立方体の差についても、 $${\displaystyle {\begin{aligned}(ab)(a^{2}+ab+b^{2})&=a(a^{2}+ab+b^{2})-b(a^{2}+ab+b^{2})\\&=a^{3}+a^{2}b+ab^{2}\;-a^{2}b-ab^{2}-b^{3}\\&=a^{3}-b^{3}.\end{aligned}}}$$

フェルマーの最終定理の指数が3の場合、2つの非ゼロの整数立方を足しても非ゼロの整数立方にならないと述べている。指数が3の場合の最初の証明はオイラーによって与えられた。^[3]

タクシー数とは、2つの正の整数の立方体の和としてn通りの方法で表せる最小の正の数である。Ta(1) = 1の後の最小のタクシー数はTa(2) = 1729であり、^[4]次のように表される 。

${\displaystyle 1^{3}+12^{3}}$または${\displaystyle 9^{3}+10^{3}}$

3つの異なる方法で表される最小のタクシー番号Ta(3)は87,539,319で、次のように表される。

${\displaystyle 436^{3}+167^{3}}$、または${\displaystyle 423^{3}+228^{3}}$${\displaystyle 414^{3}+255^{3}}$

キャブタクシー数は、2つの整数立方体のn通りの和として表される最小の正の数であり、立方体は正だけでなく負または0になることができます。キャブタクシー数(1) = 0の次に小さいキャブタクシー数は、キャブタクシー数(2) = 91であり、^[5]次のように表されます。

${\displaystyle 3^{3}+4^{3}}$または${\displaystyle 6^{3}-5^{3}}$

キャブタクシー(3)は、3つの異なる方法で表現される最小のキャブタクシー番号であり、4104であり、^[6]は次のように表される。

${\displaystyle 16^{3}+2^{3}}$、または${\displaystyle 15^{3}+9^{3}}$${\displaystyle -12^{3}+18^{3}}$

• 2つの平方の差
• 二項数
• ソフィー・ジェルマンの正体
• オーリフィーユ因数分解
• フェルマーの最終定理

• Broughan, Kevin A. (2003 年 1 月)。「2 つの立方体の和の特徴付け」( PDF)。Journal of Integer Sequences。6 (4): 46。Bibcode : 2003JIntS...6...46B。