等周点

幾何学において、等周点（じょうかいてん、英: isoperimetric point）とは、三角形の中心、つまり平面三角形に関連付けられた特別な点である。この用語は、1985年にアメリカ数学月刊誌に発表された論文でGR Veldkampによって最初に導入され、三角形△ PBC、△ PCA、△ PABが等周を持つという性質を持つ三角形△ ABCの平面上の点P を表すために使用された。つまり、^{[1] [2]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\overline {PB}}+{\overline {BC}}+{\overline {CP}},\\=\ &{\overline {PC}}+{\overline {CA}}+{\overline {AP}},\\=\ &{\overline {PA}}+{\overline {AB}}+{\overline {BP}}.\end{aligned}}}$$

フェルトカンプの意味での等周点は、特定の条件を満たす三角形に対してのみ存在する。△ ABCのフェルトカンプの意味での等周点が存在する場合、その三線座標は次のようになる。^[3]

$${\displaystyle \sec {\tfrac {A}{2}}\cos {\tfrac {B}{2}}\cos {\tfrac {C}{2}}-1\ :\ \sec {\tfrac {B}{2}}\cos {\tfrac {C}{2}}\cos {\tfrac {A}{2}}-1\ :\ \sec {\tfrac {C}{2}}\cos {\tfrac {A}{2}}\cos {\tfrac {B}{2}}-1}$$

任意の三角形△ ABCに対して、上記のような三線座標を持つ点Pを関連付けることができます。この点は三角形の中心であり、クラーク・キンバリングの「三角形の中心の百科事典(ETC)」では三角形△ ABCの等周点と呼ばれています。これは三角形の中心X (175) として指定されます。^[4]点X (175) は、Veldkamp の意味での三角形△ ABCの等周点である必要はありません。ただし、Veldkamp の意味での三角形△ ABCの等周点が存在する場合、それは点X (175) と同一になります。

三角形△ PBC、△ PCA、△ PABの周囲が等しいという性質を持つ点Pは、1890年にエミール・ルモワーヌの論文ですでに研究されている。^{[4] [5]}

△ ABCを任意の三角形とする。この三角形の辺の長さをa、b、cとする。その外接半径をR、内接半径をrとする。フェルドカンプの意味で等周点が存在するための必要十分条件は次のように述べることができる。^[1]

三角形△ ABCがフェルトカンプの意味で等周点を持つのは、$${\displaystyle a+b+c>4R+r.}$$

すべての鋭角三角形△ ABCについて、 a + b + c > 4 R + rが成り立ち、したがってすべての鋭角三角形には、Veldkamp の意味で等周点が存在します。

三角形△ ABCの三角形の中心X（175）をPで表す。^[4]

• P は△ ABCの内心とジェルゴンヌ点を結ぶ線上にあります。
• P がVeldkamp の意味で△ ABCの等周点である場合、三角形△ PBC、△ PCA、△ PABの外接円は互いに接しており、P はそれらの根心です。
• PがVeldkampの意味で△ ABCの等周点である場合、 △ PBC、△ PCA、△ PABの周長は次の式に等しい。

$${\displaystyle {\frac {2\triangle }{{\bigl |}4R+r-(a+b+c){\bigr |}}}}$$ ここで△は面積、Rは円周半径、rは内接半径、a、b、cは△ ABCの辺の長さである。^[6]

三角形△ ABC が与えられているとき、 △ ABCの平面に、A、 B、 Cを中心とする円を描き、それらの円が外部的に互いに接するようにすることができます。一般に、 A 、 B、 C を中心とする 3 つの円にそれぞれ接するように 2 つの新しい円を描くことができます (円のうち 1 つは直線になる場合があります)。これらの円は△ ABCのソディ円です。半径の小さい方の円は内側ソディ円で、その中心は△ ABCの内側ソディ点または内側ソディ中心と呼ばれます。半径の大きい方の円は外側ソディ円で、その中心は三角形△ ABCの外側ソディ点または外側ソディ中心と呼ばれます。 ^{[6] [7]}

三角形の中心X (175)は、キンバリングの意味での等周点であり、△ ABCの外側のソディ点である。

• 等周点と等迂回点 - Geogebratube のインタラクティブなイラスト