リーチラティス

数学において、リーチ格子は24次元ユークリッド空間における偶ユニモジュラ格子Λ _{24であり、}キス数問題に対する最も優れたモデルの1つである。これはジョン・リーチ(1967)によって発見された。また、 1940年に エルンスト・ウィット によって発見された可能性もあるが、公表されていない。

リーチ格子 Λ _{24 は}、24 次元ユークリッド空間E ²⁴内の唯一の格子であり、次の特性を持ちます。

• これはユニモジュラです。つまり、行列式が 1である特定の 24×24行列の列によって生成できます 。
• _{それは偶数です。つまり、Λ 24}の各ベクトルの長さの 2 乗は偶数です。
• _{Λ 24}内のゼロ以外のベクトルの長さはいずれも少なくとも 2 です。

_{最後の条件は、Λ 24}の点を中心とする単位球が重なり合わないという条件と同等です。各単位球は 196,560 個の近傍球に接しており、これは 1 つの単位球に同時に接触できる、重なり合わない 24 次元単位球の最大数であることが知られています。196,560 個の単位球を別の単位球を中心とするこの配置は非常に効率的であるため、どの球も移動する余地はありません。この構成は、その鏡像とともに、 196,560 個の単位球が同時に他の単位球に接触する唯一の24 次元配置です。この特性は、整数格子、六方タイリング、E ₈格子に基づいて、それぞれ 2、6、240 個の単位球を持つ 1、2、8 次元でも当てはまります。

この格子にはルート系がなく、実際にはルートを持たない最初のユニモジュラー格子（ノルムが 4 未満のベクトル）であるため、中心密度は 1 です。この値に 24 次元の単位球の体積を掛けると、その絶対密度を導くことができます。 ${\displaystyle {\tfrac {\pi ^{12}}{12!}}}$

Conway (1983) は、リーチ格子が 26 次元偶ロレンツユニモジュラー格子II _25,1の反射群の単純根の集合 (またはディンキン図)に等長であることを示した。比較すると、II _9,1と II _17,1のディンキン図は有限である。

1949年に独自に開発されたバイナリゴレイコードは、符号理論の応用である。より具体的には、24ビットワードごとに最大3つのエラーを訂正し、最大4つのエラーを検出できるエラー訂正コードである。 これは、以前に使用されていたアダマールコードよりもはるかにコンパクトであるため、ボイジャー探査機との通信に使用された。

量子化器、またはアナログからデジタルへのコンバーターは、格子を使用して平均二乗平均誤差を最小限に抑えることができます。ほとんどの量子化器は 1 次元の整数格子に基づいていますが、多次元格子を使用すると RMS 誤差が削減されます。ボロノイ セルの2 次モーメントが低いため、リーチ格子はこの問題に対する優れたソリューションです。

ボゾン弦理論を記述する2次元共形場理論の頂点代数は、24次元商トーラスR ²⁴ /Λ ₂₄上にコンパクト化され、 2要素反射群によってオービフォールドされ、モンスター群を自己同型群とするグリース代数の明示的な構成を提供します。このモンスター頂点代数は、モンスタームーンシャイン予想を証明するためにも使用されました。

リーチ格子はさまざまな方法で構築できます。すべての格子と同様に、リーチ格子は、行列式が1である 24×24 行列である生成行列の列の積分スパンを取得することによって構築できます。

8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0
 2 0 2 0 2 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0
 2 0 0 2 2 2 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0
 2 2 0 0 2 0 2 0 2 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0
 0 2 2 2 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0
 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0
 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
−3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

^[1]

^{リーチ格子は、2 −3/2} ( a ₁ , a ₂ , ..., a ₂₄ )の形式のベクトルの集合として明示的に構築することができ、ここでa _{i は}整数であり、

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{24}\equiv 4a_{1}\equiv 4a_{2}\equiv \cdots \equiv 4a_{24}{\pmod {8}}}$

そして、4 を法とする固定剰余クラスごとに、その 1 がi座標に対応し、i がこの剰余クラスに属する 24 ビット ワードは、_バイナリGolayコード内のワードです。Golay コードは、関連する Witt 設計とともに、リーチ格子内の 196560 個の最小ベクトルの構築に使用されます。

リーチ格子（L mod 8）は、次の3つのセットの組み合わせによって直接構築できます。

${\displaystyle L~=~~(4B+C)\otimes {1_{2^{12}}}~~+~~~{1_{2^{24}}}\otimes 2G~~~}$、（はサイズnの1ベクトル）、 ${\displaystyle {1_{n}}}$

• G - 24 ビット Golay コード
• B - 2進整数列
• C -トゥー・モース系列または整数ビットパリティの合計（格子のキラリティーを与える）

24ビットゴレイ[ 2 ^ 12コード] 24ビット整数[ 2 ^ 24コード]パリティリーチラティス[ 2 ^ 36コード] G = B = C = L = ( 4 B + C ) ⊕ 2 G 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 0 000000000 00000000 00000000 11111111 00000000 00000000 10000000 00000000 00000000 1 22222222 00000000 00000000​​ 11110000 11110000 00000000 01000000 00000000 00000000 1 22220000 22220000 00000000 00001111 11110000 00000000 11000000 00000000 00000000 0 ... 11001100 11001100 00000000 00100000 00000000 00000000 1 51111111 11111111 11111111 00110011 11001100 00000000 10100000 00000000 00000000 0 73333333 11111111 11111111 00111100 00111100 00000000 01100000 00000000 00000000 0 ... 11000011 00111100 00000000 11100000 00000000 00000000 1 15111111 11111111 11111111 10101010 10101010 00000000 00010000 00000000 00000000 1 37333333 11111111 11111111 01010101 10101010 00000000 10010000 00000000 00000000 0 ... 01011010 01011010 00000000 01010000 00000000 00000000 0 44000000 00000000 00000000 10100101 01011010 00000000 11010000 00000000 00000000 1 66222222 00000000 00000000                           
                                                                            
                             
                             
                             
                           
                             
                             
                           
                             
                             
                           
                             
                             
... ... ... ... 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 0 66666666 66666666 66666666                                                                   
                             

リーチ格子は、w がワイルベクトルで ある場合、次のように構築することもできます。${\displaystyle w^{\perp }/w}$

${\displaystyle (0,1,2,3,\dots ,22,23,24;70)}$

26次元偶ロレンツユニモジュラー格子 II _25,1において、このようなロレンツノルムがゼロの積分ベクトルが存在することは、 1 ² + 2 ² + ... + 24 ²が完全な平方数（実際は 70 ²）であるという事実に依存している。24 は、この特性を持つ 1 より大きい整数唯一の数である（砲弾問題を参照）。これはエドゥアール・リュカスによって予想されたが、証明はずっと後になって、楕円関数に基づいてなされた。

この構成のベクトルは 、実際には奇数ユニモジュラー格子I ²⁵の偶数部分格子D _24のワイル ベクトルです。より一般的には、L が少なくとも 4 つのノルム 1 のベクトルを持つ次元 25 の任意の正定値ユニモジュラー格子である場合、そのノルム 2 の根のワイル ベクトルは整数長を持ち、 Lとこのワイル ベクトルを使用してリーチ格子の同様の構成が存在します。 ${\displaystyle (0,1,2,3,\dots ,22,23,24)}$

Conway & Sloane (1982) は、それぞれニーマイヤー格子に基づいたリーチ格子の 23 の構成を説明しました。バイナリ ゴレイ コードが拡張ハミング コードH ₈の 3 つのコピーを使用して構築できるのと同様に、リーチ格子はE8 格子の 3 つのコピーを使用して構築することもできます。この構成は、リーチ格子の Turyn構成として知られています。

1つの点 Λ ₀から始めて、点間の最小距離を縮めることなく、格子 Λ _nのコピーを積み重ねて( n  + 1) 次元格子 Λ _{n +1を形成できます。Λ 1 は}整数格子、Λ _2は六方格子、Λ ₃は面心立方充填に対応します。Conway & Sloane (1982b) は、リーチ格子が 24 次元で唯一の積層格子であることを示しました。

リーチ格子もアイゼンシュタイン整数上の 12 次元格子です。これは複素リーチ格子として知られ、24 次元の実リーチ格子と同型です。リーチ格子の複素構成では、2 進ゴレイ符号が3 進ゴレイ符号_に置き換えられ、マシュー群M ₂₄がマシュー群M ₁₂に置き換えられます。E ₆格子、E 8格子、およびコクセター・トッド格子も、アイゼンシュタイン整数またはガウス整数上の複素格子として構成されます。

リーチ格子は、イコシアン環を使用して構築することもできます。イコシアン環はE8 格子と抽象的に同型であり、その 3 つのコピーを使用して、Turyn 構成を使用してリーチ格子を構築できます。

1972 年、ウィットは、1940 年 1 月 28 日に発見したという次の構成を与えました。Hがn行 n 列のアダマール行列( n =4 ab )であるとします。すると、行列は2 n次元の双線型形式を定義し、その核はn次元になります。この核による商は、 (1/2) Zに値を取る非特異双線型形式です。これは、整数双線型形式であるインデックス 2 の 3 つの部分格子を持ちます。ウィットは、a =2、b =3 とし、Hを 24 行 24 列の行列 (インデックスはZ /23 Z ∪ ∞) とし、エントリ Χ( m + n ) ( Χ(∞)=1、 Χ(0)=−1、 Χ( n )= は、 nがゼロでない場合に 23 を法として平方剰余記号) とすることで、3 つの部分格子の 1 つとしてリーチ格子を得ました。この行列H は、いくつかの重要でない符号変更を伴うPaley 行列です。 ${\displaystyle {\begin{pmatrix}Ia&H/2\\H/2&Ib\end{pmatrix}}}$

Chapman (2001) は、 Paley型の歪んだアダマール行列を使用した構成について説明しました 。ルート システムを持つニーマイヤー格子は、体の整数環のモジュールにすることができます。このニーマイヤー格子を整数環の非主イデアルで乗算すると、リーチ格子が得られます。 ${\displaystyle D_{24}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-23}})}$

Raji (2005) は、リング上の高次剰余コードを使用して Leech 格子を構築しました。同様の構成は、ランク 24 の他の格子の構築にも使用されます。 ${\displaystyle Z_{4}}$

Lが格子上の座標を持つ八元数の集合であるとき、リーチ格子は、 ${\displaystyle E_{8}}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle x,y,z\in L}$

${\displaystyle x+y,y+z,x+z\in L{\bar {s}}}$

${\displaystyle x+y+z\in Ls}$

ここで。この構成は (Wilson 2009) によるものです。 ${\displaystyle s={\frac {1}{2}}(-e_{1}+e_{2}+e_{3}+e_{4}+e_{5}+e_{6}+e_{7 })}$

リーチ格子は対称性が高い。その自己同型群はコンウェイ群Co ₀で、その位数は 8 315 553 613 086 720 000 である。Co ₀の中心には2 つの要素があり、この中心による Co ₀の商はコンウェイ群 Co ₁、つまり有限単純群である。残りのコンウェイ群やマシュー群など、他の多くの散在群は、リーチ格子のベクトルのさまざまな構成の安定化群として構成できる。

リーチ格子は、このように高い回転対称性群を持っているにもかかわらず、反射対称性の超平面をまったく持ちません。言い換えれば、リーチ格子はキラルです。また、24 次元の超立方体や単体、さらにはE8 格子の 3 つのコピーの直積よりも対称性がはるかに少なくなっています。

自己同型群は、ジョン・コンウェイによって初めて記述されました。ノルム 8 の 398034000 のベクトルは、48 のベクトルの 8292375 の「交差」に該当します。各交差には、24 の相互に直交するベクトルとその負が含まれ、24 次元の直交プレックスの頂点を記述します。これらの交差のそれぞれは、格子の座標系と見なすことができ、ゴレイ コードと同じ対称性、つまり 2 ¹² × |M ₂₄ | を持ちます。したがって、リーチ格子の完全な自己同型群の順序は 8292375 × 4096 × 244823040、つまり 8 315 553 613 086 720 000 です。

Conway、Parker & Sloane (1982) は、リーチ格子の被覆半径が であることを示しました。言い換えると、この半径の閉球を各格子点の周りに配置すれば、これらはユークリッド空間を覆うことになります。すべての格子点から少なくとも 離れた点は、リーチ格子のディープホールと呼ばれます。リーチ格子の自己同型群の下には、それらの軌道が 23 個あり、これらの軌道はリーチ格子以外の 23 個のニーマイヤー格子に対応します。ディープホールの頂点の集合は、対応するニーマイヤー格子のアフィン ディンキン図に等長です。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

リーチ格子の密度は です。Cohn & Kumar (2009) は、これが 24 次元空間における球の最も密な格子パッキングになることを示しました。Henry Cohn、Abhinav Kumar、Stephen D. Miller 他 (2017) は、これが非格子パッキングの中でも最も密な球パッキングであることを示し、これを改善しました。 ${\displaystyle {\tfrac {\pi ^{12}}{12!}}\approx 0.001930}$

196560 個の最小ベクトルには、形状と呼ばれる 3 つの異なる種類があります。

• ${\displaystyle 1104={\binom {24}{2}}\cdot 2^{2}}$^{すべての順列と符号の選択に対して、形状が（4 2} ,0 ²² ）のベクトル。
• ${\displaystyle 97152=759\cdot 2^{8}\cdot {\frac {1}{2}}}$形状が (2 ⁸ ,0 ¹⁶ ) のベクトル。ここで、'2' はゴレイコードのオクタッドに対応し、マイナス記号は偶数個あります。
• ${\displaystyle 98304=2^{12}\cdot 24}$形状が(∓3,±1 ²³ )のベクトル。下側の符号はゴレイ符号の任意の符号語の「1」に使用され、「∓3」は任意の位置に出現できます。

三元ゴレイコード、二元ゴレイコード、リーチ格子は、それぞれ 729、4096、196560 ポイントの非常に効率的な 24 次元球面コードを生成します。球面コードは、花粉粒の気孔の分布を説明する試みとして生じたTammes 問題の高次元版です。気孔は、それらの間の最小角度を最大化するように分布します。2 次元では、この問題は単純ですが、3 次元以上ではそうではありません。3 次元の球面コードの例としては、正 20 面体の 12 個の頂点の集合が挙げられます。

任意の（正定値）格子Λに、次式で与えられる シータ関数を関連付けることができる。

${\displaystyle \Theta _{\Lambda }(\tau )=\sum _{x\in \Lambda }e^{i\pi \tau \|x\|^{2}}\qquad \operatorname {Im} \tau >0.}$

すると、格子のシータ関数は上半平面上の正則関数となる。さらに、階数nの偶ユニモジュラー格子のシータ関数は、実際には完全モジュラー群PSL(2, Z ) の重みn /2 のモジュラー形式である。整格子のシータ関数は、 のべき級数として表されることが多く、q n^の係数は、 2乗ノルム 2 nの格子ベクトルの数を与える。リーチ格子には、2乗ノルム 4 のベクトルが 196560 個、2乗ノルム 6 のベクトルが 16773120 個、2乗ノルム 8 のベクトルが 398034000 個などある。リーチ格子のシータ級数は、 ${\displaystyle q=e^{2i\pi \tau }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{\Lambda _{24}}(\tau )&=E_{12}(\tau )-{\frac {65520}{691}}\Delta (\tau )\\[5pt]&=1+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {65520}{691}}\left(\sigma _{11}(m)-\tau (m)\right)q^{m}\\[5pt]&=1+196560q^{2}+16773120q^{3}+398034000q^{4}+\cdots ,\end{aligned}}}$

ここで、は重み12の正規化されたアイゼンシュタイン級数、はモジュラー判別式、は指数11の除数関数、 はラマヌジャンのタウ関数である。したがって、m ≥ 1の場合、2乗ノルム2 mのベクトルの数は ${\displaystyle E_{12}(\tau )}$${\displaystyle \Delta (\tau )}$${\displaystyle \sigma _{11}(n)}$${\displaystyle \tau (n)}$

${\displaystyle {\frac {65520}{691}}\left(\sigma _{11}(m)-\tau (m)\right).}$

12 次元と 16 次元のCoxeter–Todd 格子やBarnes–Wall 格子など、リーチ格子の断面の多くは、リーチ格子よりかなり以前に発見されました。O'Connor と Pall (1944) は、24 次元の関連する奇ユニモジュラー格子を発見しました。これは現在では奇リーチ格子と呼ばれており、その 2 つの偶数隣のうちの 1 つがリーチ格子です。リーチ格子は、1965 年にJohn Leech  (1967, 2.31, p. 262) によって、彼が発見したいくつかの以前の球パッキング (Leech 1964) を改良することで発見されました。

Conway (1968) は、リーチ格子の自己同型群 の順序を計算し、ジョン・G・トンプソンと共同で、副産物として3 つの新しい散在群、すなわちコンウェイ群、Co ₁、Co ₂、Co ₃を発見しました。彼らはまた、リーチ格子の幾何学を使用して、当時発表された他の 4 つの散在群、すなわちヒグマン・シムズ群、スズキ群、マクローリン群、およびヤンコ群J ₂がコンウェイ群の内部に存在することも示しました。(Ronan、p. 155)

ウィット（1941、324ページ）は、24次元で10以上のユニモジュラー格子を発見したと述べる、かなり謎めいた一文を書いているが、それ以上の詳細は述べていない。ウィット（1998、328-329ページ）は、1938年初頭にこれらの格子を9つ発見し、さらにAを持つニーマイヤー格子を2つ発見したと述べた。²⁴
₁1940 年に、ルート システムと Leech 格子 (および奇数 Leech 格子) が作成されました。

• 球詰め
• E ₈格子

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