対偶

論理学や数学において、対位法、または転置法とは、条件文から論理的に同値な対偶へと推論することを指し、対偶法と呼ばれる関連する証明方法を指します。命題の対偶は、前件と後件が否定され、入れ替わったものです。

条件文 $P\rightarrow Q$ 式では、の対偶 $P\rightarrow Q$ は $\neg Q\rightarrow \neg P$ [ ¹^]

PならばQ。— QでないならばPでない。「雨が降っているなら、私はコートを着る。」—「コートを着ないなら、雨は降っていない。」

対偶法則とは、条件文が真であるのは、その対偶が真である場合に限る、という法則である。^{[ 2 ]}

対位法（ $\neg Q\rightarrow \neg P$ ）は、他の3つの演算と比較できます。

反転（逆）、 $\neg P\rightarrow \neg Q$: 「雨が降っていないなら、私はコートを着ない。」対偶とは異なり、逆命題の真偽値は、ここで示されているように、元の命題が真であったかどうかに全く依存しません。
変換（逆）、 $Q\rightarrow P$: 「私がコートを着ているなら、雨が降っている。」逆は実際には逆の対偶であり、したがって常に逆と同じ真理値を持つ（ただし、先に述べたように、逆は必ずしも元の命題と同じ真理値を持つとは限らない）。
否定（論理補語） $\neg (P\rightarrow Q)$: 「雨が降っているからといってコートを着るわけではない。」、あるいは同等に「雨が降っている時、コートを着ないこともある。」という命題がある。否定が真であれば、元の命題（ひいてはその対偶）は偽となる。

注意： $P\rightarrow Q$ は真実であり、 $Q$ 偽である（つまり、 $\neg Q$ )ならば、論理的に次のことが結論付けられる。 $P$ も偽でなければならない（つまり、 $\neg P$ これはしばしば対偶の法則、または推論のモーダストレンスの規則と呼ばれます。^{[ 3 ]}

直感的な説明

図示されたオイラー図では、Aに含まれるものは必ずBにも含まれます。したがって、「AのすべてがBに含まれる」は次のように解釈できます。

A\to B

また、B（青色の領域）内にないものはA内にも存在できないことは明らかです。このことは次のように表現できます。

\neg B\to \neg A

これは上記の命題の対偶である。したがって、次のように言える。

(A\to B)\leftrightarrow (\neg B\to \neg A).

実際には、この等価性は命題の証明を容易にするために使用できます。たとえば、アメリカ合衆国のすべての少女 (A) は茶色の髪 (B) をしていることを証明したい場合、直接証明を試みることができます。 $A\to B$ アメリカ合衆国のすべての少女が実際に茶色の髪をしていることを確認するか、 $\neg B\to \neg A$ 茶色の髪をしていない女の子は全員アメリカ国外にいることを確認することによって。特に、アメリカ国内に茶色の髪をしていない女の子が少なくとも1人見つかった場合、 $\neg B\to \neg A$ 、同様に $A\to B$ 。

一般に、AならばBとなる命題については、Bでないならば必ずAでない命題となる。したがって、これらの命題のいずれかを証明または反証すれば、論理的に同値であるため、もう一方の命題も自動的に証明または反証される。

正式な定義

命題Qが命題Pに内在するとは、以下の関係が成り立つ場合をいう。

(P\to Q)

これは、「もし $P$ 、それから $Q$ 「、あるいは、「ソクラテスが人間であるならば、ソクラテスは人間である」」このような条件文では、 $P$ は前件であり、 $Q$ は後件である。一方の命題が他方の命題の否定後件である場合に限り、その命題は他方の命題の対偶となり、その逆もまた同様である。したがって、対偶は一般に次の形式をとる。

(\neg Q\to \neg P).

つまり、「もしそうでなければ $Q$ ならば、そうではない $P$ 、あるいは、より明確に言うと、「もし $Q$ 「もしソクラテスが人間でないならば、ソクラテスは人間ではない。」この文は、私たちの例を用いると、「もしソクラテスが人間でないならば、ソクラテスは人間ではない。」となります。この文は元の文と対比されており、論理的に同等であると言われています。論理的に同等であるため、一方を述べると実質的に他方も述べられます。一方が真であれば他方も真であり、一方が偽であれば他方も偽です。

厳密に言えば、対偶は2つの単純な条件文にのみ存在できます。しかし、類似している場合は、2つの複雑な普遍条件文にも対偶が存在する可能性があります。したがって、 $\forall {x}(P{x}\to Q{x})$ または「すべて」 $P$ sは $Q$ s」は、 $\forall {x}(\neg Q{x}\to \neg P{x})$ または「すべての非 $Q$ は非 $P$ s." ^{[ 4 ]}

シーケント記法

転置規則はシーケントとして表現できる。

(P\to Q)\vdash (\neg Q\to \neg P),

どこ $\vdash$ はメタ論理的なシンボルであり、 $(\neg Q\to \neg P)$ これは構文上の結果である $(P\to Q)$ 何らかの論理体系において、あるいは推論規則として：

{\frac {P\to Q}{\therefore \neg Q\to \neg P}},

ルールは、インスタンスが「 $P\to Q$ 証明の行に「」が現れた場合、それは「」に置き換えることができます。 $\neg Q\to \neg P$ あるいは、真理関数的なトートロジーまたは命題論理の定理の記述として。この原理は、ラッセルとホワイトヘッドによって『プリンキピア・マテマティカ』の中で命題論理の定理として次のように述べられた。

(P\to Q)\to (\neg Q\to \neg P),

どこ $P$ そして $Q$ それらは何らかの形式体系で表現された命題である。

証明

条件付きの定義による簡単な証明

一階述語論理では、条件文は次のように定義されます。

A\to B\,\leftrightarrow \,\neg A\lor B

これは、以下のように対偶と等価にすることができる。

{\begin{aligned}\neg A\lor B\,&\,\leftrightarrow B\lor \neg A\\\,&\,\leftrightarrow \neg B\to \neg A\end{aligned}}

単純な背理法による証明

させて：

(A\to B)\land \neg B

Aが真ならばBも真であり、Bは真ではないとされている。このとき、背理法を用いてAは真ではないことを示すことができる。なぜなら、Aが真であればBも真でなければならないからである（モーダス・ポネンスによる）。しかし、Bは真ではないとされているので、矛盾が生じる。したがって、Aは真ではない（真か偽かの二値命題を扱っていると仮定した場合）。

(A\to B)\to (\neg B\to \neg A)

同じプロセスを逆方向にも適用できます。その際、以下の前提から始めます。

(\neg B\to \neg A)\land A

ここで、Bは真か偽かのどちらかであることがわかっています。Bが偽であれば、Aも偽です。しかし、Aは真であると与えられているので、Bが偽であるという仮定は矛盾を生じさせ、Bが偽ではないという状況はあり得ないことを意味します。したがって、Bは真でなければなりません。

(\neg B\to \neg A)\to (A\to B)

証明された2つの命題を組み合わせると、条件文とその対偶との間の、求められていた論理的同値性が得られます。

(A\to B)\equiv (\neg B\to \neg A)

対偶の等価性に関するより厳密な証明

2つの命題が論理的に同値であるとは、それらが同時に真であるか、同時に偽であることを意味します。対偶が論理的に同値であることを証明するには、実質的含意が真であるか偽であるかを理解する必要があり、その場合について理解する必要があります。

P\to Q

これは、 $P$ 真実であり、 $Q$ 偽である。したがって、この命題は「偽であるとき」という文に還元できる。 $P$ そしてそうではない $Q$ 「（つまり、次のことが当てはまらない場合に真となる） $P$ そしてそうではない $Q$ "):

\neg (P\land \neg Q)

論理積の要素は、（交換法則により）入れ替えても影響がない。

\neg (\neg Q\land P)

定義 $R$ 「 $\neg Q$ "、そして $S$ 同等として $\neg P$ （これから、 $\neg S$ に等しい $\neg \neg P$ これは単に $P$ ):

\neg (R\land \neg S)

これは「（ Rが真でSが偽である）ということはない」と読め、これは実質条件文の定義である。したがって、次のように置き換えることができる。

R\to S

RとSを元に戻すことで $P$ そして $Q$ すると、目的の対偶が得られます。

\neg Q\to \neg P

古典的な命題論理体系では

命題論理におけるヒルベルト型の演繹体系では、転置の片側のみが公理として扱われ、もう片側は定理となる。ここでは、ヤン・ウカシェヴィチが提案した3つの公理系におけるこの定理の証明を説明する。

A1.

\phi \to \left(\psi \to \phi \right)

A2。

\left(\phi \to \left(\psi \rightarrow \xi \right)\right)\to \left(\left(\phi \to \psi \right)\to \left(\phi \to \xi \right)\right)

A3。

\left(\lnot \phi \to \lnot \psi \right)\to \left(\psi \to \phi \right)

（A3）は既に転置の方向の1つを示している。もう一方の側は、 $(\psi \to \phi )\to (\neg \phi \to \neg \psi )$ は、ここで証明されている以下の補題を用いて、以下で証明される。

（DN1）

\neg \neg p\to p

-二重否定（一方向）

（DN2）

p\to \neg \neg p

- 二重否定（別の方向）

（HS1）

(q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r))

-仮言三段論法の一形態

（HS2）

(p\to q)\to ((q\to r)\to (p\to r))

- 仮言三段論法の別の形式。

また、いくつかの証明手順を簡略化するために、仮言三段論法のメタ定理を用いる。

証明は以下のとおりです。

$q\to \neg \neg q$ （DN2のインスタンス）
$(q\to \neg \neg q)\to ((p\to q)\to (p\to \neg \neg q))$ (HS1 のインスタンス)
$(p\to q)\to (p\to \neg \neg q)$ （（１）と（２）よりモーダス・ポネンスによる）
$\neg \neg p\to p$ （DN1のインスタンス）
$(\neg \neg p\to p)\to ((p\to \neg \neg q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q))$ （HS2のインスタンス）
$(p\to \neg \neg q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q)$ （（４）と（５）よりモーダス・ポネンスによる）
$(p\to q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q)$ （（３）と（６）から仮言三段論法メタ定理を用いて）
$(\neg \neg p\to \neg \neg q)\to (\neg q\to \neg p)$ （（A3）のインスタンス）
$(p\to q)\to (\neg q\to \neg p)$ （（７）と（８）から仮言三段論法メタ定理を用いて）

比較

例

「すべての赤い物体は色を持っている。 」という文を考えてみましょう。これは、「物体が赤いならば、それは色を持っている。」と同等に表現できます。

対偶は「物体に色がなければ、それは赤ではない」である。これは最初の命題から論理的に導き出され、同様に明らかに真である。
逆の命題は「物体が赤くなければ、色を持たない」です。青い物体は赤くはありませんが、それでも色を持っています。したがって、この場合、逆の命題は偽です。
その逆は「物体に色があれば、それは赤色である」です。物体は他の色を持つこともできるので、この命題の逆は偽です。
否定文は「色を持たない赤い物体が存在する」です。この文は、否定される元の文が真であるため、偽です。

言い換えれば、対偶は与えられた条件文と論理的に同等であるが、双条件文には十分ではない。

同様に、「すべての四角形は4つの辺を持つ」という命題、あるいはそれと同等に「多角形が四角形であれば、それは4つの辺を持つ」という命題を考えてみましょう。

対偶は「多角形が4つの辺を持たないならば、それは四角形ではない」である。これは論理的に導き出され、原則として対偶は条件文と同じ真偽値を持つ。
逆命題は「多角形が四角形でない場合、それは4つの辺を持たない」です。この場合、前の例とは異なり、命題の逆は真です。
その逆は「多角形が4つの辺を持つならば、それは四角形である」です。ここでも、前の例とは異なり、この命題の逆は真です。
否定文は「少なくとも1つの四角形には4つの辺がない」である。この文は明らかに誤りである。

この命題とその逆はどちらも真であるため、双条件命題と呼ばれ、「多角形は、4つの辺を持つ場合に限り、四角形である。 」と表現できます。（「 if and only if」というフレーズは、 iffと略されることもあります。）つまり、4つの辺を持つことは、四角形であるための必要条件であると同時に、四角形とみなすための十分な条件でもあるということです。

真実

ある命題が真であれば、その対偶も真である（そしてその逆もまた真である）。
ある命題が偽であれば、その対偶も偽である（そしてその逆もまた然り）。
ある命題の逆命題が真であれば、その逆命題も真である（そしてその逆もまた真である）。
ある命題の逆命題が偽であれば、その逆命題も偽である（そしてその逆もまた然り）。
ある命題の否定が偽であれば、その命題は真である（そしてその逆もまた然り）。
ある命題（またはその対偶）と逆（または反対）が両方とも真であるか両方とも偽である場合、それは論理双条件文として知られています。

伝統的な論理

伝統的な論理学では、対位法は、ある命題から別の命題を推論する直接推論の一形態であり、前者の主語は元の論理命題の述語の矛盾語である。場合によっては、対位法は前者の性質（肯定または否定）の変化を伴う。^[⁵^]現代論理学におけるその記号表現については、転置の規則を参照のこと。対位法には、他の伝統的な推論プロセスである変換や反転とは異なる哲学的応用もあり、曖昧さは命題の種類によって変化する。

伝統的な論理学では、対位法のプロセスは、範疇命題とクラスを含む推論のいくつかのステップで構成される図式です。^{[ 6 ]}範疇命題には主語と述語が含まれており、コピュラの存在影響は、その命題が少なくとも1つのメンバーを持つクラスを参照していることを意味します。これに対し、仮定命題または実質含意命題の条件形式は、他の命題の複合体であり、たとえば「PならばQ」（PとQは両方とも命題）であり、その存在影響は、量化存在が具体化される（存在具体化）さらなる命題に依存し、仮定命題または実質含意命題自体には依存しません。

完全対位法は主語と述語の同時交換と否定であり、アリストテレス論理の「A」型と「O」型の命題にのみ有効であるが、「E」型の命題については、普遍から特殊への量の変更が行われた場合（部分対位法）に条件付きで有効となる。有効な対位法は、伝統的な命題の4つのタイプ（A、E、I、O型）すべてで得られ、元の述語の矛盾を持つ命題が得られるため、（完全）対位法は、元の命題の対位法を変換することによって得られる。「E」型の命題については、さらに量の変更を行うことで部分対位法を得ることができる。対位法の定義では推論された命題の述語については何も述べられていないため、それは元の主語かその矛盾のいずれかであり、結果として「A」、「O」、「E」型の命題において互いに対位法となる2つの対偶が生じる。^{[ 7 ]}

例えば、元の「A」型カテゴリー命題から、

すべての住民は有権者です。

これは、すべてのクラスがメンバーを持ち、存在含意がカテゴリー命題の形で想定されていることを前提としており、まずオブバージョンによって「E」型の命題を導き出すことができる。

住民の中に投票権を持たない人はいない。

元の命題の対偶は、別の「E」型命題に変換することによって導出される。

投票しない者は居住者ではない。

このプロセスは、さらに反転させることによって完了し、元の命題の反転された対偶である「A」型の命題が得られます。

投票しない人は全員非居住者である。

対位法の図式：^{[ 8 ]}

対位法は、「A」命題と「O」命題に適用した場合にのみ、直接推論の有効な形式となることに注意してください。対位法は、「I」命題には有効ではありません。「I」命題の対位法は、有効な逆命題を持たない「O」命題です。「E」命題の対位法は、限定（ per accidens ）がある場合にのみ有効です。これは、「E」命題の対位法が「A」命題であり、限定、つまり対位法に加えて命題の量を全称から特殊に変更することによってのみ有効に変換できるためです。

また、対位法は推論方法の一つであり、他の推論規則を用いる必要がある場合があることにも注意が必要です。対偶は対位法によって得られるものであり、対位が完全対位か部分対位かによって結果が異なります。対位法の過程における転換と反転の連続的な適用は、様々な名称で呼ばれることがあります。

伝統的なクラス論理で定義される命題とその対偶の論理的等価性の過程は、命題論理の公理の一つではありません。伝統的な論理では、各元の命題から推論される対偶は複数存在します。「A」命題に関しては、これは現代論理の記号体系において転置規則、または対偶の法則によって回避されます。哲学論理の分野における技術的な用法では、「対偶」という用語は、論理学者（例えば、アーヴィング・コピ、スーザン・ステビング）によって伝統的な論理と範疇命題に限定される場合があります。この意味で、「対偶」という用語は、仮説命題や実質的含意に適用される場合、通常は「転置」と呼ばれます。

転置の形式

推論された命題において、後件は元の命題の前件の矛盾であり、推論された命題の前件は元の命題の後件の矛盾である。実質含意の記号は、命題が仮定的、または「もしPならばQ」の形式であることを示す。

転置規則（↔）の双条件文は、仮定命題（→）間の関係を指し、各命題は前件と後件の項を含みます。論理的推論の観点から、ある命題の項を転置または変換するには、双条件関係の両側の命題の項を変換する必要があります。つまり、（P → Q）を（Q → P）に転置または変換するには、もう一方の命題（¬ Q → ¬ P）を（¬ P → ¬ Q ）に転置または変換する必要があります。そうでない場合、一方の命題の項を変換してもう一方の命題の項を変換しないと、規則が無効になり、命題の項の十分条件と必要条件に違反することになります。ここで違反するのは、変更された命題が、不当な変換によって前件を否定したり後件を肯定したりする誤謬を犯していることです。

転置規則の真偽は、論理学における十分条件と必要条件の関係に依存する。

十分な条件

命題「PならばQ 」において、 Pの発生はQの発生の十分な理由である。Pは、個体またはクラスとして、Qを実質的に含意するが、 QとPの関係は、逆命題「QならばP 」が必ずしも十分な条件を持つとは限らないようなものである。十分な条件の推論規則はモーダス・ポネンスであり、これは条件付き含意の論証である。

前提（１）：PならばQ
前提（２）：P
結論：したがって、Q

必要条件

前提（1）の逆は成り立たないため、 PとQの関係について言えることは、 Qが存在しない場合、Pは発生しないということ、つまりQはPの必要条件であるということだけです。必要条件の推論規則はモーダス・トレンスです。

前提（１）：PならばQ
前提（２）：Qではない
結論：したがって、Pではない

必要性と十分性の例

論理学者が十分条件と必要条件を対比させる際に伝統的に用いる例として、「火があれば酸素が存在する」という命題がある。火や燃焼には酸素のある環境が必要であるが、酸素のある環境が存在するからといって、必ずしも火や燃焼が起こるとは限らない。火は酸素の存在を前提としていると推論することはできるが、酸素の存在から逆の「酸素があれば火がある」という命題を推論することはできない。元の命題から推論できるのは、「酸素がなければ火は発生しない」ということだけである。

命題間の関係

双条件の記号（"↔"）は、命題間の関係が必然的かつ十分であることを示し、「もし～ならば、かつ～である」と表現されます。あるいは、例のように「もしPならばQ、もしQでないならばPでない」となります。

必要条件と十分条件は、伝統的な論理の概念と直接推論の規則を用いて類推によって説明できる。カテゴリー命題「すべてのSはPである」において、主語項Sは分布している、すなわち、そのクラスのすべてのメンバーがその表現において網羅されていると言われる。逆に、述語項Pは分布している、あるいはその表現において網羅されているとは言えない。なぜなら、クラスとしてのPのメンバーのすべてのインスタンスが、クラスとしてのSのメンバーでもあるかどうかは不確定だからである。正当に推論できるのは「いくつかのPはSである」ということだけである。したがって、型「A」命題「すべてのPはSである」は、元の型「A」命題「すべてのSはPである」からの変換によって推論することはできない。推論できるのは型「A」命題「すべての非Pは非Sである」だけである（( P → Q )と( ¬Q → ¬P )はどちらも型「A」命題であることに注意）。文法的には、「すべての人間は死ぬ運命にある」から「すべての人間は人間である」を推論することはできません。タイプ「A」の命題は、主語と述語の両方が分配されている場合に限り、変換によって直接推論できます。例えば、「すべての未婚男性は独身男性である」から「すべての独身男性は未婚男性である」を推論する場合などがこれに該当します。

転置とは区別される

ほとんどの著者は同じことを指してこれらの用語を使用しますが、一部の著者は転置と対位を区別します。伝統的な論理では、推論規則としての転置の推論プロセスは、対位と反転^[⁹^]を通じてカテゴリー命題に適用されます。これは、反転規則が最初に元のカテゴリー命題「すべてのSはPである」に適用され、その逆「Sは非Pではない」が得られる一連の直接推論です。元の命題をタイプ「E」命題に反転すると、両方の項が分配されます。次に、その逆が変換され、「非PはSではない」となり、両方の項の分配が維持されます。「非PはSではない」が再び反転され、[対偶]「すべての非Pは非Sである」となります。対位法の定義において推論された命題の述語については何も述べられていないため、それが元の主語であっても矛盾語であっても構わない。そして結果として得られるタイプ「A」命題の述語項は再び非分配となる。これにより、述語項が分配される対偶と、述語項が非分配される対偶の2つが生じる。^[¹⁰^]

対位法は、与えられた定言命題から、元の述語の矛盾を主語とする別の定言命題を推論する、直接推論の一種である。対位法の定義では推論される命題の述語については何も述べられていないため、それが元の主語であっても矛盾であってもよい。これは、実質的含意または仮定的命題である転置命題の形式とは対照的である。違いは、定言命題への適用において、対位法の結果は、それぞれが他方の反転である2つの対偶である^{[ 11 ]} 、すなわち「非PはSではない」と「すべての非Pは非Sである」である。2つの対偶の区別は、対位法の「間接推論」 ^{[ 12 ]}を前提とする転置の原理に吸収され、排除され、「対位法則」とも呼ばれる。^{[ 13 ]}

対偶による証明

命題の対偶は常に命題自体と同じ真偽値を持つため、数学の定理を証明する強力なツールとなり得る（特に、対偶の真偽が命題自体の真偽よりも容易に証明できる場合）。対偶による証明は、命題の対偶を直接証明することである。 ^{[ 14 ]}ただし、例えば、 √2 の無理数の証明のように、背理法などの間接的な方法も対偶とともに使用できる。有理数の定義により、「もし ${\sqrt {2}}$ が有理数であれば、既約分数として表すことができる」。この文は定義の言い換えであるため真である。この文の対偶は「もし ${\sqrt {2}}$ 既約分数として表現できないならば、それは有理数ではない」。この対偶も、元の命題と同様に真である。したがって、もし証明できるならば、 ${\sqrt {2}}$ 既約分数として表現できない場合、次のことが成り立つはずです。 ${\sqrt {2}}$ は有理数ではない。後者は背理法によって証明できる。

前の例では、定義の対偶を用いて定理を証明しました。定理の主張の対偶を証明することによっても定理を証明できます。正の整数Nが平方数でないならば、その平方根は無理数であることを証明するには、正の整数N の平方根が有理数であるならば、 Nは平方数であるという対偶を証明すればよいのです。これは、√Nを共通の素因数を持たない正の整数aとbを用いた有理式a/bに等しいと置き、二乗してN = a ² / b ²を得ることで示せます。N は正の整数なのでb = 1となり、 N = a ²となり、平方数になります。

数学において、対偶による証明、または対位法による証明は、証明で使用される推論規則であり、条件文をその対偶から推論するものです。^[¹⁵^]言い換えれば、「AならばB 」という結論は、「 BでないならばAでない」という主張の証明を構築することによって推論されます。多くの場合、対偶が元の条件文自体よりも証明しやすい場合に、このアプローチが好まれます。

論理的に、対偶による証明の妥当性は、次の真理表を使用することで実証できます。この表では、 p → qおよびが示されています。 $\lnot$ q → $\lnot$ pはすべてのシナリオにおいて同じ真理値を持つ。

背理法との違い

背理法による証明：(背理法のために)次のように仮定する。 $\neg A$ は真である。この仮定を用いて矛盾を証明せよ。したがって、 $\neg A$ 偽なので、 $A$ それは本当です。

対偶による証明：証明する $A\to B$ その対偶の命題を証明する。 $\neg B\to \neg A$ 。

例

させて $x$ 整数であること。

証明するには：もし

x^{2}

偶数の場合、

x

均等です。

直接的な証明も可能ですが、ここでは対偶を用いてこの命題を証明することにします。上記の命題の対偶は次のとおりです。

もし

x

等しくない場合

x^{2}

均等ではない。

後者の主張は次のように証明できます。xが偶数でないと仮定すると、 xは奇数になります。2つの奇数の積は奇数なので、 $x^{2}=x\cdot x$ 奇妙だ。したがって $x^{2}$ 均等ではない。

対偶を証明したので、元の命題が真であると推論できる。^{[ 16 ]}

非古典論理では

直観主義論理

直観主義論理では、次の文 $P\to Q$ 同等であるとは証明できない $\lnot Q\to \lnot P$ 私たちはそれを証明できます $P\to Q$ 暗示する $\lnot Q\to \lnot P$ （下記参照）追加の仮定なしで、逆の意味は、 $\lnot Q\to \lnot P$ に $P\to Q$ 知る必要がある $\lnot \lnot Q\to Q$ これは排中律またはそれに相当する公理から導かれる。

仮定する $P\to Q$ （初期仮定）
仮定する $Q\to \bot$
から $P\to Q$ そして $Q\to \bot$ 、結論する $P\to \bot$
退院時の想定；結論 $(Q\to \bot )\to (P\to \bot )$
旋回 $(A\to \bot )$ の中へ $\lnot A$ 、結論する $\lnot Q\to \lnot P$
退院時の想定；結論 $(P\to Q)\to (\lnot Q\to \lnot P)$ 。

主観的論理

対偶は、主観論理における主観的ベイズの定理の一例であり、次のように表現される。

(\omega _{P{\tilde {|}}Q}^{A},\omega _{P{\tilde {|}}\lnot Q}^{A})=(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})\,{\widetilde {\phi \,}}\,a_{P}\,,

どこ $(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})$ は、情報源によって与えられた二項条件付き意見のペアを表します。 $A$ パラメータ $a_{P}$ は、基本率（別名：事前確率）を表します。 $P$ 導関数の逆条件意見のペアは次のように表される。 $(\omega _{P{\tilde {|}}Q}^{A},\omega _{P{\tilde {|}}\lnot Q}^{A})$ 条件付きの意見 $\omega _{Q|P}^{A}$ 論理式を一般化する $P\to Q$ つまり、ソースにTRUEまたはFALSEを割り当てることに加えて $A$ 声明には主観的な意見を割り当てることができます。 $\omega _{Q\mid P}^{A}$ 絶対的な真実の意見は情報源と同等である $A$ と言っている $P\to Q$ は TRUE であり、 $\omega _{Q\mid P}^{A}$ 完全に誤った意見は情報源と同等です $A$ と言っている $P\to Q$ 偽です。条件付き意見の場合 $\omega _{Q|P}^{A}$ 主観的ベイズの定理演算子は絶対的に真である ${\widetilde {\phi \,}}$ 主観的論理は絶対的に偽の派生条件意見を生み出す $\omega _{P{\widetilde {|}}\lnot Q}^{A}$ それによって絶対的に真となる派生的条件付き意見 $\omega _{\lnot P{\widetilde {|}}\lnot Q}^{A}$ これは以下と同等です $\lnot Q\to \lnot P$ 真である。したがって、主観的ベイズの定理は、対偶とベイズの定理の両方の一般化を表している。^{[ 17 ]}

確率論において

対偶はベイズの定理の一例であり、特定の形式では次のように表現できます。

\Pr(\lnot P\mid \lnot Q)={\frac {\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)}{\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)+\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)}}.

上記の式では条件付き確率 $\Pr(\lnot Q\mid P)$ 論理式を一般化する $P\to \lnot Q$ つまり、TRUEまたはFALSEを割り当てることに加えて、ステートメントに任意の確率を割り当てることもできます。 $a(P)$ は、基本率（別名：事前確率）を表します。 $P$ と仮定する $\Pr(\lnot Q\mid P)=1$ と同等 $P\to \lnot Q$ 真実であり、 $\Pr(\lnot Q\mid P)=0$ と同等 $P\to \lnot Q$ 偽りである。したがって、 $\Pr(\lnot P\mid \lnot Q)=1$ いつ $\Pr(Q\mid P)=1$ つまり、 $P\to Q$ は真実です。なぜなら $\Pr(\lnot Q\mid P)=1-\Pr(Q\mid P)=0$ したがって、上記の等式の右辺の分数は 1 に等しくなり、 $\Pr(\lnot P\mid \lnot Q)=1$ これは以下と同等です $\lnot Q\to \lnot P$ 真である。したがって、ベイズの定理は対偶の一般化を表している。^{[ 18 ]}

参考文献

↑ 「対偶の定義」。www.merriam -webster.com 。2019年11月26日取得。
↑ 「対位法則」。beisecker.faculty.unlv.edu 。2019年11月26日取得。
↑ "Modus ponens と Modus tollens | ロジック" .ブリタニカ百科事典。2019年11月26日に取得。
↑ 「述語と量化文 II」。www.csm.ornl.gov 。 2019年11月26日取得。
↑ Brody, Bobuch A.「論理用語集」『哲学百科事典』第5-6巻、61ページ、Macmillan、1973年。また、Stebbing, L. Susan『現代論理学入門』第7版、65-66ページ、Harper、1961年、およびIrving Copi著『論理学入門』 141ページ、Macmillan、1953年。いずれの資料もほぼ同じ定義を示している。
↑アーヴィング・コピ著『論理学入門』、123-157ページ、マクミラン社、1953年。
↑ Brody、p. 61、Macmillan、1973年。また、Stebbing、p.65-66、Harper、1961年、およびCopi、p. 141-143、Macmillan、1953年。
↑ステビング、L. スーザン。『現代論理学入門』第7版、66ページ。ハーパー、1961年。
↑ Stebbing 1961 、pp. 65–66。対位法の最初の段階である反転と転換については、 Copi 1953 、p. 141を参照。
↑ Stebbing 1961 、pp. 65–66を参照。また、オブバージョン、コンバージョン、オブバージョン再帰の直接的な推論については、 Copi 1953 、p. 141を参照。
↑ Stebbing 1961、66ページを参照。
↑オブバージョンとコンバージョンの「媒介推論」としての吸収の説明については、 Copi 1979 、pp. 171–174を参照。
↑ 1973 年以前。
↑スミス、ダグラス；エッゲン、モーリス；セント・アンドレ、リチャード（2001）、『高等数学への移行』（第5版）、ブルックス/コール、37ページ、ISBN 0-534-38214-2
↑ Cusick, Larry. "対偶による証明" . zimmer.csufresno.edu . 2019年10月26日取得.
↑ Franklin, J. ; A. Daoud (2011). Proof in Mathematics: An Introduction . Sydney: Kew Books. ISBN 978-0-646-54509-7。（50ページ）
↑ Audun Jøsang 2016:92
↑ Audun Jøsang 2016:2

Brody, Bobuch A. (1973). 「論理用語集」。『哲学百科事典』第5-6巻。Macmillan。61頁以降。
コピ、アーヴィング・M. (1953).論理学入門. マクミラン。
コピ、アーヴィング・M.、コーエン、カール（2005）。論理学入門。プレンティス・ホール。
コピ、アーヴィング・M.、コーエン、カール、ロディッチ、ヴィクター（2016）。『論理学入門』テイラー＆フランシス。ISBN 978-1-315-51087-3。
コピ、アーヴィング M. (1979).記号論理学（第 5 版）. マクミラン.
ハーレー、パトリック・J. (2011).論理学入門（第11 版）. Cengage Learning. ISBN 9780840034175。
ムーア、ブルック・ノエル；パーカー、リチャード・バール（2020）[1986]。クリティカルシンキング（第13 版）。ニューヨーク市：マグロウヒル・エデュケーション。ISBN 978-1-260-80787-5OCLC 1122695276。
プライアー、アーサー・ノーマン（1973）。「伝統的論理学」。哲学百科事典。第 5巻。マクミラン。
ステビング、L.スーザン（1961）。現代論理学入門（第7 版）。ハーパー。

情報源

Audun Jøsang、2016年、『主観的論理：不確実性下での推論のための形式体系』、 Springer、Cham、ISBN 978-3-319-42337-1
ブルンバーグ、アルバート・E.「現代論理学」『哲学百科事典』第5巻、マクミラン、1973年。
ブロディ、ボブック A.「論理用語集」『哲学百科事典』第 5-6 巻、 61 ページ。マクミラン、1973 年。
コピ、アーヴィング。『論理学入門』マクミラン、1953年。
コピ、アーヴィング。『記号論理学』マクミラン、1979年、第5版。
Prior, AN「伝統的論理学」『哲学百科事典』第5巻、マクミラン、1973年。
ステビング、スーザン。『論理学の現代的入門』。クロムウェル社、1931年。

外部リンク

ウィキメディア・コモンズにある「対位法」に関連するメディア
不適切な転置（誤謬ファイル）

[1] 「対偶の定義」。www.merriam -webster.com 。2019年11月26日取得。

[2] 「対位法則」。beisecker.faculty.unlv.edu 。2019年11月26日取得。

[3] "Modus ponens と Modus tollens | ロジック" .ブリタニカ百科事典。2019年11月26日に取得。

[4] 「述語と量化文 II」。www.csm.ornl.gov 。 2019年11月26日取得。

[5] Brody, Bobuch A.「論理用語集」『哲学百科事典』第5-6巻、61ページ、Macmillan、1973年。また、Stebbing, L. Susan『現代論理学入門』第7版、65-66ページ、Harper、1961年、およびIrving Copi著『論理学入門』 141ページ、Macmillan、1953年。いずれの資料もほぼ同じ定義を示している。

[6] アーヴィング・コピ著『論理学入門』、123-157ページ、マクミラン社、1953年。

[7] Brody、p. 61、Macmillan、1973年。また、Stebbing、p.65-66、Harper、1961年、およびCopi、p. 141-143、Macmillan、1953年。

[8] ステビング、L. スーザン。『現代論理学入門』第7版、66ページ。ハーパー、1961年。

[9] Stebbing 1961 、pp. 65–66。対位法の最初の段階である反転と転換については、 Copi 1953 、p. 141を参照。

[10] Stebbing 1961 、pp. 65–66を参照。また、オブバージョン、コンバージョン、オブバージョン再帰の直接的な推論については、 Copi 1953 、p. 141を参照。

[11] Stebbing 1961、66ページを参照。

[12] オブバージョンとコンバージョンの「媒介推論」としての吸収の説明については、 Copi 1979 、pp. 171–174を参照。

[FOOTNOTEPrior1973-13] 1973 年以前。

[14] スミス、ダグラス；エッゲン、モーリス；セント・アンドレ、リチャード（2001）、『高等数学への移行』（第5版）、ブルックス/コール、37ページ、ISBN 0-534-38214-2

[15] Cusick, Larry. "対偶による証明" . zimmer.csufresno.edu . 2019年10月26日取得.

[16] Franklin, J. ; A. Daoud (2011). Proof in Mathematics: An Introduction . Sydney: Kew Books. ISBN 978-0-646-54509-7。（50ページ）

[17] Audun Jøsang 2016:92

[18] Audun Jøsang 2016:2

1

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[

[

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

対偶