コングルウム

数論において、合同数（複数形はcongrua）は、3 つの平方数の等差数列における連続する平方数の差です。つまり、、、（整数、、およびの場合）が互いに等間隔に配置された 3 つの平方数である場合、それらの間の間隔 は合同数と呼ばれます。 ${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle y^{2}}$${\displaystyle z^{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z^{2}-y^{2}=y^{2}-x^{2}}$

合同体問題とは、等差数列の平方数とそれに関連する合同体を見つける問題である。^[1]これはディオファントス方程式として形式化できる。つまり、整数 、 、 を見つける。この方程式 が満たされるとき、方程式の両辺は合同体に等しい。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$$${\displaystyle y^{2}-x^{2}=z^{2}-y^{2}.}$$

フィボナッチは、すべての合同数とそれに関連する等差数列を生成するためのパラメータ化された式を見つけることで、合同数を解決しました。この式によると、各合同数はピタゴラスの三角形の面積の 4 倍です。合同数は合同数とも密接に関係しています。すべての合同数は合同数であり、すべての合同数は合同数を有理数の 2 乗で乗じた数です。

たとえば、96 という数字は、4、100、196 (それぞれ 2、10、14 の平方) という数列の隣接する平方数の差であるため、合同数です。

最初のいくつかのコングルアは次のとおりです。

合同問題は、もともと1225年に神聖ローマ皇帝フリードリヒ2世が開催した数学トーナメントの一環として提起され、当時フィボナッチが正解し、この問題に関する研究を『平方数の書』に記録した。^[2]

フィボナッチは合同体がそれ自体正方形になることは不可能であることをすでに知っていたが、この事実の満足のいく証明を与えていなかった。^[3]幾何学的には、これはピタゴラス三角形の一対の辺が別のピタゴラス三角形の辺と斜辺になることは不可能であることを意味する。証明は最終的にピエール・ド・フェルマーによって与えられ、その結果は現在フェルマーの直角三角形定理として知られている。フェルマーはまた、等差数列に4つの正方形の列は存在しないと推測し、レオンハルト・オイラーによって証明された。 ^{[4] [5]}

合同体問題は、2つの異なる正の整数と（）を選択することで解くことができます。その場合、その数は合同体です。関連する等差数列の中央の平方は であり、他の2つの平方は合同体を加算または減算することで見つけることができます。さらに、合同体に平方数を掛けると別の合同体が生成され、その平方数列には同じ係数が掛けられます。すべての解は、これら2つの方法のいずれかで生じます。^[1]たとえば、合同体96は、およびを使用してこれらの式で作成できますが、合同体216は、より小さい合同体24に平方数9を掛けることで得られます。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m>n}$${\displaystyle 4mn(m^{2}-n^{2})}$${\displaystyle (m^{2}+n^{2})^{2}}$${\displaystyle m=3}$${\displaystyle n=1}$

ベルナール・フレニクル・ド・ベッシーが示したこの解法と同等の定式化は、等差数列 、 、 の３つの平方数について、真ん中の数がピタゴラス三角形の斜辺であり、他の２つの数と がそれぞれ三角形の２辺の差と和であるというものである。^[6]合同体自体は、同じピタゴラス三角形の面積の４倍である。合同体 96 を持つ等差数列の例は、このようにして、辺と斜辺の長さがそれぞれ 6、8、10 である 直角三角形から得ることができる。${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle y^{2}}$${\displaystyle z^{2}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle z}$

合同数は、有理数の辺を持つ直角三角形の面積として定義される。すべての合同数は（パラメータ化された解法を使用して）ピタゴラス三角形の面積として得られるため、すべての合同数は合同である。逆に、すべての合同数は合同数に有理数の2乗を掛けたものである。^[7]しかし、数が合同であるかどうかをテストすることは、数が合同であるかどうかをテストするよりもはるかに簡単である。合同数の問題の場合、パラメータ化された解法は、このテスト問題をパラメータ値の有限セットのチェックに簡略化する。対照的に、合同数の問題の場合、有限のテスト手順は、バーチとスウィナートン・ダイアーの予想が正しいという仮定の下で、トンネルの定理を介して推測的にのみ知られている。^[8]

• 等差数列を形成する3辺の正方形を持つ三角形。
• テオドロスの螺旋は、直角三角形で構成され、その（非整数の）辺を二乗すると無限等差数列を形成する。

• ワイスタイン、エリック W.、「コングルウム問題」、MathWorld