タクシー番号

数学において、n番目のタクシー数は、通常Ta( n )またはTaxicab( n )と表記され、2つの正の 整数の立方体の和としてn通りの方法で表現できる最小の整数として定義されます。^[1]最も有名なタクシー数は1729 = Ta(2) = 1 ³ + 12 ³ = 9 ³ + 10 ³で、ハーディ・ラマヌジャン数としても知られています。^{[2] [3]}

この名前は、 1919年頃の 数学者 G. H. ハーディとシュリニヴァーサ ラマヌジャンの会話に由来しています。ハーディは次のように語っています。

私はかつて、パトニーで病気で寝込んでいた彼（ラマヌジャン）に会いに行ったことを覚えています。私はタクシー1729号に乗って、その数字はむしろつまらない数字のようだ、不吉な前兆ではないことを願っていると言いました。彼は「いいえ」と答えました。「それは非常に興味深い数字です。それは2つの異なる方法で2つの立方数の和として表される最小の数です。」^{[4] [5]}

ハーディ・ラマヌジャン数 Ta(2) = 1729 の加数のペアは、1657 年に発表したベルナール・フレニクル・ド・ベッシーによって初めて言及されました。1729 は、シュリニヴァーサ・ラマヌジャンが2 つの加数の特定の例に対してこれが最小であると主張したという話により、20 世紀初頭に最初のタクシー数として有名になりました。1938 年に、GH ハーディとEM ライトは、そのような数がすべての正の整数 nに対して存在することを証明し、その証明はそのような数を生成するプログラムに簡単に変換できます。しかし、その証明では、このようにして生成された数が最小であるかどうかについてはまったく主張されていないため、 Ta( n )の実際の値を見つけるために使用することはできません。

1729年以降のタクシー番号はコンピュータの助けを借りて発見された。ジョン・リーチは1957年にTa(3)を得た。E・ローゼンスティール、JA・ダーディス、CR・ローゼンスティールは1989年にTa(4)を発見した。^[6] JA・ダーディスは1994年にTa(5)を発見し、1999年にデイビッド・W・ウィルソンがそれを確認した。^{[7] [8]} Ta(6)は、2003年のカルードらの論文でその番号が実際にはTa(6)である確率が99%であると示された後、2008年3月9日にNMBRTHRYメーリングリストでウーヴェ・ホラーバッハによって^発表された。^[9] Ta(7)からTa(12)までの上限は、2006年にクリスチャン・ボイヤーによって発見された。^[11]

加数を正の数に制限することは必要です。負の数を許可すると、n通りの異なる方法で立方体の和として表現できる数の例がさらに増え (より小さく) なるからです。キャブタクシー数の概念は、この種の定義を代替的に制限の少ないものにするために導入されました。ある意味では、2 つの加数と 3 の累乗の指定も制限的です。一般化されたタクシー数では、これらの値がそれぞれ 2 と 3 以外になることがあります。

現時点で判明しているタクシー番号は以下の6つです。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (1)=&\ 2\\&=1^{3}+1^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (2)= &\ 1729\\&=1^{3}+12^{3}\\&=9^{3}+10^{3}\\[6pt]\オペレーター名 {Ta} (3)=&\ 87539319\\&=167^{3}+436^{3}\\&=228^{3}+423^{3}\\&=255^{3}+414^{ 3}\\[6pt]\オペレーター名 {Ta} (4)=&\ 6963472309248\\&=2421^{3}+19083^{3}\\&=5436^{3}+18948^{3}\\&=10200^{3}+18072^{3}\\&= 13322^{3}+16630^{3}\\[6pt]\オペレータ名 {Ta} (5)=&\ 48988659276962496\\&=38787^{3}+365757^{3}\\&=107839^{3}+362753^{3}\\&=205292^{3} +342952^{3}\\&=221424^{3}+336588^{3}\\&=231518^{3}+331954^{3}\\[6pt]\オペレーター名{タ} (6)=&\ 24153319581254312065344\\&=582162^{3}+28906206^{3}\\&=3064173^{3}+28894803^{3}\\&=8519281^{3}+28657487^{3}\\&= 16218068^{3}+27093208^{3}\\&=17492496^{3}+26590452^{3}\\&=18289922^{3}+26224366^{3}\end{aligned}}}$$

次のタクシー番号の上限はわかっています:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (7)\leq &\ 24885189317885898975235988544\\&=2648660966^{3}+1847282122^{3}\\&=2685635652^{3}+1766742096^{3}\\&=2736414008^{3}+1638024868^{3}\\&=2894406187^{3}+860447381^{3}\\&=2915734948^{3}+459531128^{3}\\&=2918375103^{3}+309481473^{3}\\&=2919526806^{3}+58798362^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (8)\leq &\ 50974398750539071400590819921724352\\&=299512063576^{3}+288873662876^{3}\\&=336379942682^{3}+234604829494^{3}\\&=341075727804^{3}+224376246192^{3}\\&=347524579016^{3}+208029158236^{3}\\&=367589585749^{3}+109276817387^{3}\\&=370298338396^{3}+58360453256^{3}\\&=370633638081^{3}+39304147071^{3}\\&=370779904362^{3}+7467391974^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (9)\leq &\ 136897813798023990395783317207361432493888\\&=41632176837064^{3}+40153439139764^{3}\\&=46756812032798^{3}+32610071299666^{3}\\&=47409526164756^{3}+31188298220688^{3}\\&=48305916483224^{3}+28916052994804^{3}\\&=51094952419111^{3}+15189477616793^{3}\\&=51471469037044^{3}+8112103002584^{3}\\&=51518075693259^{3}+5463276442869^{3}\\&=51530042142656^{3}+4076877805588^{3}\\&=51538406706318^{3}+1037967484386^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (10)\leq &\ 7335345315241855602572782233444632535674275447104\\&=15695330667573128^{3}+15137846555691028^{3}\\&=17627318136364846^{3}+12293996879974082^{3}\\&=17873391364113012^{3}+11757988429199376^{3}\\&=18211330514175448^{3}+10901351979041108^{3}\\&=19262797062004847^{3}+5726433061530961^{3}\\&=19404743826965588^{3}+3058262831974168^{3}\\&=19422314536358643^{3}+2059655218961613^{3}\\&=19426825887781312^{3}+1536982932706676^{3}\\&=19429379778270560^{3}+904069333568884^{3}\\&=19429979328281886^{3}+391313741613522^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (11)\leq &\ 2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632\\&=11410505395325664056^{3}+11005214445987377356^{3}\\&=12815060285137243042^{3}+8937735731741157614^{3}\\&=12993955521710159724^{3}+8548057588027946352^{3}\\&=13239637283805550696^{3}+7925282888762885516^{3}\\&=13600192974314732786^{3}+6716379921779399326^{3}\\&=14004053464077523769^{3}+4163116835733008647^{3}\\&=14107248762203982476^{3}+2223357078845220136^{3}\\&=14120022667932733461^{3}+1497369344185092651^{3}\\&=14123302420417013824^{3}+1117386592077753452^{3}\\&=14125159098802697120^{3}+657258405504578668^{3}\\&=14125594971660931122^{3}+284485090153030494^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (12)\leq &\ 73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152\\&=33900611529512547910376^{3}+32696492119028498124676^{3}\\&=38073544107142749077782^{3}+26554012859002979271194^{3}\\&=38605041855000884540004^{3}+25396279094031028611792^{3}\\&=39334962370186291117816^{3}+23546015462514532868036^{3}\\&=40406173326689071107206^{3}+19954364747606595397546^{3}\\&=41606042841774323117699^{3}+12368620118962768690237^{3}\\&=41912636072508031936196^{3}+6605593881249149024056^{3}\\&=41950587346428151112631^{3}+4448684321573910266121^{3}\\&=41960331491058948071104^{3}+3319755565063005505892^{3}\\&=41965847682542813143520^{3}+1952714722754103222628^{3}\\&=41965889731136229476526^{3}+1933097542618122241026^{3}\\&=41967142660804626363462^{3}+845205202844653597674^{3}\end{aligned}}}$$

より制限の厳しいタクシー問題では、タクシー数が立方数フリー、つまり 1 ³以外の立方数で割り切れないことが求められます。立方数フリーのタクシー数TがT = x ³ + y ³と表記される場合、数xとy は互いに素でなければなりません。上記のタクシー数Ta( n )のうち、立方数フリーのタクシー数はTa(1)とTa(2)のみです。3 つの表現を持つ最小の立方数フリーのタクシー数は、 1981 年に大学院生だったPaul Vojtaによって発見されました(未発表)。

$${\displaystyle {\begin{aligned}15170835645&=517^{3}+2468^{3}\\&=709^{3}+2456^{3}\\&=1733^{3}+2152^{3}\end{aligned}}}$$

4 つの表現を持つ最小の立方体フリー タクシー数は、2003 年に Stuart Gascoigne によって発見され、Duncan Moore によって独立に発見されました。

$${\displaystyle {\begin{aligned}1801049058342701083&=92227^{3}+1216500^{3}\\&=136635^{3}+1216102^{3}\\&=341995^{3}+1207602^{3}\\&=600259^{3}+1165884^{3}\end{aligned}}}$$ （OEISの配列A080642）。

• ハーディ、GH ;ライト、EM (1954)。数論入門（第3版）。ロンドン＆ニューヨーク：オックスフォード大学出版局。定理412。
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• Rosenstiel, E.; Dardis, JA; Rosenstiel, CR (1991). 「ディオファントス方程式 s = x 3 + y 3 = z 3 + w 3 = u 3 + v 3 = m 3 + n 3 {\displaystyle s=x^{3}+y^{3}=z^{3}+w^{3}=u^{3}+v^{3}=m^{3}+n^{3}} の異なる正の整数における 4 つの最小解」。数学およびその応用研究所紀要。27 : 155–157。MR 1125858  。
• Wilson, David W. (1999)。「5 番目のタクシー番号は 48988659276962496」。Journal of Integer Sequences 2。（ウィルソンはこれを書いたとき、JA・ダーディスが1994年にTa(5)を発見していたことを知らなかった。）
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• 2002年にRandall L. Rathbunが数論メーリングリストに投稿した記事
• グライム、ジェームズ; ボウリー、ロジャー。ハラン、ブレイディ（編）。1729年：タクシー数またはハーディ・ラマヌジャン数。Numberphile。
• オイラーにおけるタクシーとその他の数学
• サイモン・シン、ブレイディ・ハラン（編）。「フューチュラマのタクシー番号」。ナンバーフィル。