ピタゴラス素数

ピタゴラス素数は、次の形式の素数です。${\displaystyle 4n+1}$ピタゴラス素数は、2つの平方数の和となる奇数の素数です。この特徴付けは、2つの平方数の和に関するフェルマーの定理です。

同様に、ピタゴラスの定理によれば、それらは奇素数である。${\displaystyle p}$そのために${\displaystyle {\sqrt {p}}}$は、直角三角形の斜辺の長さであり、直角三角形の2辺は整数で、また素数でもある。${\displaystyle p}$ そのために${\displaystyle p}$それ自体が原始ピタゴラス三角形 の斜辺である。例えば、5はピタゴラス素数である。$\displaystyle {\sqrt {5}}}$ は、1と2を直角とする三角形の斜辺であり、5自体は、3と4を直角とする三角形の斜辺である。

最初のいくつかのピタゴラス素数は

ディリクレの等差数列の定理により、この数列は無限である。さらに強く、各 に対して${\displaystyle n}$ピタゴラス素数と非ピタゴラス素数の数${\displaystyle n}$ほぼ等しい。ただし、ピタゴラス素数の数は${\displaystyle n}$は、非ピタゴラス素数の数よりもやや小さい場合が多い。この現象はチェビシェフのバイアスとして知られている。^{[ 1 ]}例えば、 の値は のみである。${\displaystyle n}$600,000 までの数で、n 以下の奇素数のうちピタゴラス素数と非ピタゴラス素数の数が多いものは 26861と 26862です。 ^{[ 2 ]}

奇数平方数と偶数平方数の和は 4 を法として 1 に合同です が、 21 のように4 を法として 1 になる合成数が 存在し、2 つの平方数の和として表すことはできません。フェルマーの 2 つの平方数の和に関する定理は、 2 つの平方数の和として表すことができる素数は 2 と 4 を法として1に合同な奇素数のみであると述べています。 ^{[ 3 ]}このような数の表現は、2 つの平方数の順序を除いて一意です。^{[ 4 ]}

ピタゴラスの定理を用いると、この表現は幾何学的に解釈できる。ピタゴラス素数は奇素数に等しい。${\displaystyle p}$直角三角形が存在し、その直角三角形の2辺の長さは整数であり、その斜辺の長さは${\displaystyle {\sqrt {p}}}$それらはまた、まさに素数である。${\displaystyle p}$斜辺の長さが整数である直角三角形が存在する。${\displaystyle p}$なぜなら、もし三角形の脚が${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$斜辺の長さは${\displaystyle {\sqrt {p}}}$（と${\displaystyle x>y}$)、次に脚のある三角形${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$そして${\displaystyle 2xy}$斜辺の長さは${\displaystyle p}$[ ^{5 ]​}

この表現を2つの平方数の和として理解する別の方法として、ガウス整数、すなわち実部と虚部がともに整数である複素数を用いる方法がある。^{[ 6 ]}ガウス整数のノルムは${\displaystyle x+iy}$番号は${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$したがって、ピタゴラス素数（および2）はガウス整数のノルムとして現れますが、他の素数は現れません。ガウス整数の中では、ピタゴラス素数は素数とはみなされません。なぜなら、それらは次のように因数分解できるからです。 $${\displaystyle p=(x+iy)(x-iy).}$$同様に、それらの平方数は、整数の因数分解 とは異なる方法で因数分解することができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}p^{2}&=(x+iy)^{2}(x-iy)^{2}\\&=(x^{2}-y^{2}+2ixy)(x^{2}-y^{2}-2ixy).\\\end{aligned}}}$$ これらの因数分解における因数の実部と虚部は、与えられた斜辺を持つ直角三角形の2辺の長さである。

二次相互法則によれば、${\displaystyle p}$そして${\displaystyle q}$は異なる奇素数であり、少なくとも 1 つはピタゴラス数である。${\displaystyle p}$は二次剰余である${\displaystyle q}$かつその場合に限り${\displaystyle q}$は二次剰余である${\displaystyle p}$対照的に、どちらも${\displaystyle p}$または${\displaystyle q}$ピタゴラスであれば、${\displaystyle p}$は二次剰余である${\displaystyle q}$かつその場合に限り${\displaystyle q}$二次剰余ではない${\displaystyle p}$[ ^{4 ]​}

有限体において${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$と${\displaystyle p}$ピタゴラス素数、多項式方程式${\displaystyle x^{2}=-1}$2つの解がある。これは次のように表現できる。${\displaystyle -1}$は二次剰余である${\displaystyle p}$対照的に、この方程式は有限体では解を持たない。${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$どこ${\displaystyle p}$は奇素数であるが、ピタゴラス数ではない。^{[ 4 ]}

すべてのピタゴラス素数に対して${\displaystyle p}$ペイリーグラフが存在する${\displaystyle p}$頂点は、モジュロ数を表します${\displaystyle p}$グラフ上で2つの数が隣接しているのは、それらの差が2乗剰余である場合に限る。この定義は、2つの数の差を計算するために引き算する順序に関係なく、同じ隣接関係を生み出す。これは、ピタゴラス素数の性質によるものである。${\displaystyle -1}$は二次剰余である。^{[ 7 ]}

• Eaves, Laurence、「ピタゴラス素数：5、13、137を含む」、Numberphile、Brady Haran、2016年3月19日にオリジナルからアーカイブ、2013年4月2日に取得
• OEIS配列A007350 （プライムレース4n-1対4n+1でリーダーが変化する箇所）