原始ピタゴラス三つ組の木

原始ピタゴラス数の木は、各ノードが原始ピタゴラス数を表し、各原始ピタゴラス数がちょうど 1 つのノードで表される数学的な木です。これらの木のうち、ベルグレンの木とプライスの木の 2 つでは、木の根は $(3, 4, 5)であり、各ノードは$ 線形変換によって生成された 3 つの子をちょうど 3 つ持ちます。

ピタゴラス数とは、それぞれ直角三角形の2辺と斜辺になり得る性質を持つ3つの正の整数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の組であり、次の式を満たす。 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 3つ組が原始的 であるとは、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の最大公約数が1である場合に限る。原始ピタゴラス数では、 $a$ 、 $b$ 、 $cは$ 互いに素である。すべての原始ピタゴラス数組の集合は、自然な形で根付き木、具体的には三項木構造を持つ。これは1934 年に B. Berggrenによって初めて発見された。^[¹^]

FJM Barningは^{[ 2 ]} 3つの行列のいずれかが

{\begin{array}{lcr}A={\begin{bmatrix}1&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\end{bmatrix}}&B={\begin{bmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\end{bmatrix}}&C={\begin{bmatrix}-1&2&2\\-2&1&2\\-2&2&3\end{bmatrix}}\end{array}}

右からピタゴラス数列を形成する列ベクトルを乗算すると、結果は別のピタゴラス数列となる別の列ベクトルになります。最初のピタゴラス数列が原始的であれば、結果として得られるピタゴラス数列も原始的になります。したがって、各原始ピタゴラス数列には 3 つの「子」があります。すべての原始ピタゴラス数列はこのようにして $(3, 4, 5)$ から派生し、原始数列は 1 回以上出現しません。結果は、ルートノードに $(3, 4, 5)$ を持つ無限三分木としてグラフィカルに表現できます(右側の古典的な木を参照)。この木は、1970 年の A. Hall ^[³^]および 1990 年の AR Kanga ^[⁴^]の論文にも登場しました。2008 年に VE Firstov は、一般的にこのような三分木は 3 つしか存在せず、Berggren の木に似ているが初期ノード $(4, 3, 5)$ から始まる木を明示的に与えることを示し^[⁵^]

証明

原始的なピタゴラス数のみが存在する

ツリーには原始ピタゴラス数だけが含まれており、それ以外は含まれていないことを帰納的に示すことができる。これは、 $(3, 4, 5)$ のような初期ノードに存在する原始ピタゴラス数から始めて、生成される各数列がピタゴラス数であり、かつ原始数であることを示すことによって証明できる。

ピタゴラス教団の財産の保存

上記の行列のいずれか、例えば $A$ を、ピタゴラスの性質 $a$ $2$ $+$ $b$ $2$ $=$ $c$ $2$ を持つ三つ組 $(a, b, c) T$ に適用して、新しい三つ組 $($ $d$ $,$ $e$ $,$ $f$ $)$ $T$ $=$ $A$ $($ $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ $)$ $T$ $を得ると、この新しい三つ組もピタゴラスになります。これは、 d$ 、 $e$ 、 $fをそれぞれ$ $a$ 、 $b$ 、 $c$ の 3 つの項の和として書き出し、それぞれを二乗し、 $c$ $2$ $=$ $a$ $2$ $+$ $b$ $2を代入して$ $f$ $2$ $=$ $d$ $2$ $+$ $e$ $2$ を得ることで確認できます。これは、 $Aだけでなく、$ $B$ と $C$ にも当てはまります。

原始性の保存

行列 $A$ 、 $B$ 、 $C$ はすべてユニモジュラーです。つまり、整数要素のみを持ち、行列式は ±1 です。したがって、それらの逆行列もユニモジュラーであり、特に整数要素のみを持ちます。したがって、たとえば $A$ のいずれかを原始ピタゴラストリプル $(a 、 b 、 c) T$ に適用して別のトリプル $(d 、 e 、 f) T$ を得ると、 $(d 、 e 、 f) T = A (a 、 b 、 c) T$ となり、したがって $(a 、 b 、 c) T = A -1 (d 、 e 、 f) T$ $となります。 d$ 、 $e$ 、 $f$ のいずれか 2 つ (したがって 3 つすべて) に共通する素因数がある場合、この最後の式により、その素数は $a$ 、 $b$ 、 $c$ のそれぞれも割り切ります。したがって、 $a$ 、 $b$ 、 $cが$ 実際に互いに素であるならば、 $d$ 、 $e$ 、 $f$ も互いに素でなければなりません。これは $Aだけでなく$ $B$ と $C$ にも当てはまります。

すべての原始ピタゴラス三つ組がちょうど一度ずつ存在する

ツリーがすべての原始ピタゴラス数を含み、かつ1回しか含まないことを示すには、そのような数に対して、開始ノード $(3, 4, 5)に戻る経路がツリーをちょうど1つだけ存在することを示せば十分である。これは、任意の原始ピタゴラス数$ $($ $d$ $,$ $e$ $,$ $f$ $)$ に、ユニモジュラー逆行列 $A -1$ 、 $B -1$ 、 $C -1$ $を順に適用することで確認できる。上記の推論により、原始性とピタゴラス性が保持されることに注意し、 (3, 4, 5)$ より大きい数に対しては、逆遷移行列のちょうど1つが、すべての要素が正である新しい数（およびより小さい斜辺）を生成することに注意する。帰納法により、この新しい有効な数自体が、より小さい有効な数だけを生成し、以下同様である。より小さくなる可能性のある斜辺の数が有限であることから、最終的に $(3, 4, 5)$ に到達する。これは、 $($ $d$ $,$ $e$ $,$ $f$ $)$ が実際にツリー内に存在することを証明しています。なぜなら、 $(3, 4, 5)から逆の手順で到達できるからです。また、$ $($ $d$ $,$ $e$ $,$ $f$ $)から$ $(3, 4, 5)$ へのパスは 1 つしかなかったため、一意に存在します。

不動産

$行列A$ を使用した変換を $(a, b, c) = (3, 4, 5)$ から繰り返し実行すると、特徴 $b + 1 = c$ が保持されます。行列 $B は$ $(3, 4, 5)$ から $a - b = \pm1$ を保持します。行列 $Cは$ $(3, 4, 5)$ から $a$ $+ 2 =$ $c$ を保持します。

この木の幾何学的解釈では、各ノードに存在する外接円が関係します。任意の親三角形の 3 つの子は、親から内接半径を「継承」します。つまり、親の外接円半径が次の世代の内接半径になります。^{[ 6 ]}^{： p.7} 例えば、親 $(3, 4, 5) の$ 外接円半径は 2、3、6 です。これらは、3 つの子 $(5、12、13)$ 、 $(15、8、17)$ 、 $(21、20、29)$ の内接半径と正確に一致します。

初期条件として使用される任意のピタゴラス数から $A$ または $C$ のいずれかを繰り返し適用すると、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ のいずれかのダイナミクスは、 $x$ のダイナミクスとして表現できます。

x_{n+3}-3x_{n+2}+3x_{n+1}-x_{n}=0\,

これは、行列の共通特性方程式に基づいている。

\lambda ^{3}-3\lambda ^{2}+3\lambda -1=0.\,

$B$ が繰り返し適用される場合、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ のいずれかのダイナミクスは、 $x$ のダイナミクスとして表現できます。

x_{n+3}-5x_{n+2}-5x_{n+1}+x_{n}=0,\,

$これはB$ の特性方程式に基づいている。^{[ 7 ]}

さらに、3 つの行列のいずれかを任意の回数、任意の順序で掛け合わせることで、無数の他の 3 階単変数差分方程式を見つけることができます。たとえば、行列 $D = CB は$ 、1 つのステップでツリーから 2 つのノード (横方向、次に下方向) だけ移動します。D の特性方程式は、 $D$ によって形成される非網羅的なツリー内の $a$ 、 $b$ 、または $c$ のいずれかの 3 階ダイナミクスのパターンを提供し $ます$ 。

ツリーを生成する代替方法

2つのパラメータを使用する

このツリーのダイナミクスに対する別のアプローチ^{[ 8 ]}は、すべての原始ピタゴラス数を生成するための標準的な公式に基づいています。

a=m^{2}-n^{2},\,

b=2mn,\,

c=m^{2}+n^{2},\,

$m > n > 0$ かつ $m$ と $n$ が互いに素で、かつパリティが反対（つまり、両方とも奇数ではない）である。ペア $(m, n)$ は、(列ベクトルとして表現) に以下のいずれかの値を乗じることで反復できる。

{\begin{array}{lcr}{\begin{bmatrix}2&-1\\1&0\end{bmatrix}},&{\begin{bmatrix}2&1\\1&0\end{bmatrix}},&{\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}},\end{array}}

それぞれが不等式、互いに素であること、および反対の偶奇性を保持します。結果として得られる $(2, 1)から始まる三項ツリーには、そのような$ $(m, n)$ のペアがそれぞれちょうど 1 回含まれており、 $(a, b, c)$ の 3 つに変換すると、上記のツリーと同一になります。

あるいは、ルートノードを $(m, n) = (3, 1)から始めます。$ ^{[ 9 ]} すると、行列の乗算によって不等式と互いに素性が保持され、 $m$ と $nの両方が奇数のままになります。対応する原始ピタゴラス 3 個は、$ $a = (m 2 - n 2) / 2$ 、 $b = mn$ 、 $c = (m 2 + n 2) / 2$ となります。このツリーは、 $a$ と $b$ が入れ替わっているものの、同じ原始ピタゴラス 3 個を生成します。

1つのパラメータを使用する

このアプローチは、半角の正接から任意の原始ピタゴラス数を生成する標準公式に依存しています。具体的には、 $t = n / m = b / (a + c)$ と書きます。ここで、 $tは長さ$ $b$ の辺の反対側の内角の半分の正接です。ツリーのルートノードは $t$ $= 1/2 で$ あり、これは原始ピタゴラス数 $(3, 4, 5)に対応します。値$ $t$ を持つ任意のノードの場合、その 3 つの子は $1 / (2 -$ $t$ $)$ 、 $1 / (2 +$ $t$ $)$ 、および $t$ $/ (1 + 2$ $t$ $)です。このような値$ $t$ に関連付けられた原始ピタゴラス数を見つけるには、 $(1 -$ $t$ $2$ $、 2$ $t$ $、 1 +$ $t$ $2$ $)$ を計算し、3 つの値すべてを分母の最小公倍数で乗算します。（あるいは、 $t$ $=$ $n$ $/$ $m を$ 既約分数で表し、前のセクションの公式を使用します。）代わりに $t$ $= 1/3 の値を持つルートノードは、$ $a$ と $b$ の値が入れ替わっているものの、同じ原始ピタゴラストリプルのツリーを生成します。

別の木

あるいは、Priceによって発見された3つの異なる行列を使用することもできます。^{[ 6 ]}

{\begin{array}{lcr}A'={\begin{bmatrix}2&1&-1\\-2&2&2\\-2&1&3\end{bmatrix}}\,,&B'={\begin{bmatrix}2&1&1\\2&-2&2\\2&-1&3\end{bmatrix}}\,,&C'={\begin{bmatrix}2&-1&1\\2&2&2\\2&1&3\end{bmatrix}}\,.\end{array}}

$集合{A, B, C}$ によって生成される 3 つの子と、集合 ${A', B', C'}$ によって生成される子は同じではありませんが、それぞれの集合は個別にすべての原始的な 3 つ組を生成します。

例えば、 $[5, 12, 13]を$ 親として使用すると、3つの子からなる2つのセットが得られます。

{\begin{array}{ccc}&\left[5,12,13\right]&\\A&B&C\\\left[45,28,53\right]&\left[55,48,73\right]&\left[7,24,25\right]\end{array}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad {\begin{array}{ccc}{}&\left[5,12,13\right]&{}\\A'&B'&C'\\\left[9,40,41\right]&\left[35,12,37\right]&\left[11,60,61\right]\end{array}}

注釈と参考文献

↑ B. Berggren、「Pytagoreiska trianglar」（スウェーデン語）、 Elementa: Tidskrift för elementär matematik、fysik och kemi 17 (1934)、129–139。根付き木については6ページをご覧ください。
↑ Barning、FJM (1963)、「Over pythagorese en bijna-pythagorese driehoeken en een Generatieprocesmet behulp van unimodulaire matrices」(オランダ語)、Math。セントラムアムステルダム空軍ズイベレウィスク。 ZW-011: 37、 https://ir.cwi.nl/pub/7151
↑ A. Hall、「ピタゴラスの三つ組の系譜」、 The Mathematical Gazette、第54巻、第390号、1970年12月、377-9ページ。
↑ Kanga, AR、「ピタゴラス三つ組の家系図」、 Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications 26、1990年1月/2月、15-17。
↑ Firstov, VE (2008). "A Special Matrix Transformation Semigroup of Primitive Pairs and the Genealogy of Pythagorean Triples" . Mat. Zametki . 84 (2): 281–299 . doi : 10.4213/mzm4074 .
1 2 Price, H. Lee (2008). "ピタゴラスの木: 新しい種". arXiv : 0809.4324 [ math.HO ].
↑ミッチェル、ダグラス W.、「92.60 に関するフィードバック」、 Mathematical Gazette 93、2009 年 7 月、358–9。
↑ Saunders, Robert A.; Randall, Trevor (1994年7月)、「ピタゴラスの三つ組の家系図の再検討」、Mathematical Gazette、78 : 190–193、doi : 10.2307/3618576、JSTOR 3618576、S2CID 125749577 。
↑ミッチェル、ダグラス W.、「すべての原始ピタゴラス三つ組の代替的特徴付け」、 Mathematical Gazette 85、2001 年 7 月、273–275。

外部リンク

cut-the-knotにおける原始ピタゴラス三つ組の基となる三項ツリー
Frank R. Bernhart、および H. Lee Price、「ピタゴラスの庭、再訪」、Australian Senior Mathematics Journal 01/2012; 26(1):29-40。
ワイススタイン、エリック W. 「ピタゴラス数」 . MathWorld .

[1] B. Berggren、「Pytagoreiska trianglar」（スウェーデン語）、 Elementa: Tidskrift för elementär matematik、fysik och kemi 17 (1934)、129–139。根付き木については6ページをご覧ください。

[2] Barning、FJM (1963)、「Over pythagorese en bijna-pythagorese driehoeken en een Generatieprocesmet behulp van unimodulaire matrices」(オランダ語)、Math。セントラムアムステルダム空軍ズイベレウィスク。 ZW-011: 37、 https://ir.cwi.nl/pub/7151

[3] A. Hall、「ピタゴラスの三つ組の系譜」、 The Mathematical Gazette、第54巻、第390号、1970年12月、377-9ページ。

[4] Kanga, AR、「ピタゴラス三つ組の家系図」、 Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications 26、1990年1月/2月、15-17。

[5] Firstov, VE (2008). "A Special Matrix Transformation Semigroup of Primitive Pairs and the Genealogy of Pythagorean Triples" . Mat. Zametki . 84 (2): 281–299 . doi : 10.4213/mzm4074 .

[Price-6] 1 2 Price, H. Lee (2008). "ピタゴラスの木: 新しい種". arXiv : 0809.4324 [ math.HO ].

[7] ミッチェル、ダグラス W.、「92.60 に関するフィードバック」、 Mathematical Gazette 93、2009 年 7 月、358–9。

[8] Saunders, Robert A.; Randall, Trevor (1994年7月)、「ピタゴラスの三つ組の家系図の再検討」、Mathematical Gazette、78 : 190–193、doi : 10.2307/3618576、JSTOR 3618576、S2CID 125749577 。

[9] ミッチェル、ダグラス W.、「すべての原始ピタゴラス三つ組の代替的特徴付け」、 Mathematical Gazette 85、2001 年 7 月、273–275。

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[ 2 ]

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[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

証明

原始的なピタゴラス数のみが存在する

ピタゴラス教団の財産の保存

原始性の保存

すべての原始ピタゴラス三つ組がちょうど一度ずつ存在する

不動産

ツリーを生成する代替方法

2つのパラメータを使用する

1つのパラメータを使用する

別の木

注釈と参考文献

外部リンク

関連するトピック

ピタゴラス数を表し、各原始ピタゴラス数がちょうど 1 つのノードで表される

数学的な木

線形変換

直角三角形