ローレンツ群

物理学と数学において、ローレンツ群は、すべての（非重力）物理現象の古典的かつ量子的な設定であるミンコフスキー時空のすべてのローレンツ変換の群である。ローレンツ群は、オランダの物理学者ヘンドリック・ローレンツにちなんで名付けられている。

たとえば、次の法則、方程式、理論はローレンツ対称性を尊重します。

• 特殊相対性理論の運動法則
• 電磁気学の理論におけるマクスウェルの場の方程式
• 電子理論におけるディラック方程式
• 素粒子物理学の標準モデル

ローレンツ群は、自然界の既知の基本法則すべてにおける空間と時間の基本的な対称性を表します。重力の変動が無視できるほど小さい時空領域では、物理法則は特殊相対論と同じようにローレンツ不変です。

ローレンツ群は、ミンコフスキー時空のすべての等長変換の群であるポアンカレ群の部分群です。ローレンツ変換は、正確には、原点を固定した等長変換です。したがって、ローレンツ群は、ミンコフスキー時空の等長変換群の原点に関する等方性の部分群です。このため、ローレンツ群は同次ローレンツ群と呼ばれることがあり、ポアンカレ群は非同次ローレンツ群と呼ばれることがあります。ローレンツ変換は線形変換の例であり、ミンコフスキー時空の一般的な等長変換はアフィン変換です。

2 つの慣性参照フレーム ( t、x、y、z )と( t ′、x ′、y ′、z ′)、および 2 つの点P ₁、P ₂を想定すると、ローレンツ群は2 つの点間を伝播する 光の速度を保存する 2 つの参照フレーム間のすべての変換の集合です。

${\displaystyle c^{2}(\Delta t')^{2}-(\Delta x')^{2}-(\Delta y')^{2}-(\Delta z')^{2}=c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}}$

行列形式では、これらはすべて次のような線形変換Λです。

${\displaystyle \Lambda ^{\textsf {T}}\eta \Lambda =\eta \qquad \eta =\operatorname {diag} (1,-1,-1,-1)}$

これらはローレンツ変換と呼ばれる。

数学的には、ローレンツ群は不定直交群 O(1, 3)、行列リー群の2次形式を保存する群として記述できる。

${\displaystyle (t,x,y,z)\mapsto t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$

R ⁴上の2 次形式(この 2 次形式を備えたベクトル空間はR ^{1,3と表記されることもある)。この 2 次形式は、行列形式 (}古典直交群を参照) に置かれると、物理学ではミンコフスキー時空の 計量テンソルとして解釈される。

ローレンツ群は、連結されていない6次元の 非コンパクト 非可換実 リー群である。4つの連結成分は単純連結ではない。^[1]ローレンツ群の恒等成分（すなわち、恒等元を含む成分）自体が群であり、しばしば制限ローレンツ群と呼ばれ、SO ⁺ (1, 3)と表記される。制限ローレンツ群は、空間の向きと時間の方向の両方を保存するローレンツ変換からなる。その基本群は位数2であり、その普遍被覆である不定スピン群Spin(1, 3) は、特殊線型群SL(2, C )とシンプレクティック群Sp(2, C )の両方に同型である。これらの同型性により、ローレンツ群は、物理学にとって重要な多数の数学的構造、最も有名なのはスピノルに作用することができる。したがって、相対論的量子力学と量子場の理論では、 SO ⁺ (1, 3)がその特定の表現 (ベクトル表現) であると理解した上で、 SL(2, C ) をローレンツ群と呼ぶことが非常に一般的です。

ミンコフスキー空間へのローレンツ群の作用の再帰的表現には、合成代数を形成する双四元数が使用されます。ローレンツ変換の等長変換特性は、合成特性⁠ ⁠に従って成立します。 ${\displaystyle |pq|=|p|\times |q|}$

ローレンツ群のもう 1 つの特性は、共形性または角度の保存です。ローレンツ ブーストは時空平面の双曲回転によって作用し、このような「回転」は相対性理論で使用されるラピディティの尺度である双曲角を保存します。したがって、ローレンツ群は時空の共形群のサブグループです。

なお、この記事では、O(1, 3)を「ローレンツ群」、SO(1, 3)を「固有ローレンツ群」、SO ⁺ (1, 3)を「制限ローレンツ群」と呼んでいます。多くの著者 (特に物理学者) は、SO(1, 3) (または場合によってはSO ⁺ (1, 3) ) をO(1, 3)ではなく「ローレンツ群」という名前で呼んでいます。このような著者の著作を読むときは、著者が何について言及しているのかを正確に把握することが重要です。

ローレンツ群O(1, 3)はリー群であるため群であり、滑らかな多様体として位相的に記述されます。多様体として、4 つの連結成分を持ちます。直感的には、これは 4 つの位相的に分離された部分から構成されることを意味します。

4 つの接続コンポーネントは、その要素が持つ 2 つの変換プロパティによって分類できます。

• いくつかの要素は時間反転ローレンツ変換によって反転される。例えば、未来を指す時間的ベクトルは過去を指すベクトルに反転される。
• いくつかの元素は、不適当なローレンツ変換によって向きが反転する。例えば、特定の四分環（テトラッド）

時間の方向を保存するローレンツ変換は直交変換のサブグループは、しばしばO ⁺ (1, 3)。方向を保存するものは適切なもの、線形変換として行列式+1 を-1です。）適切なローレンツ変換のサブグループはSO(1, 3)。

時間の向きと方向の両方を保存するすべてのローレンツ変換の部分群は、適切な正時ローレンツ群または制限ローレンツ群と呼ばれ、SO ⁺ (1, 3)と表記されます。^[a]

4つの連結成分の集合は、クラインの4元群と同型である商群 O(1, 3) / SO ⁺ (1, 3)として群構造を与えることができる。O (1, 3)のすべての要素は、適切な直交変換と離散群の要素との半直積として表すことができる。

{1, P , T , PT }

ここで、PとT はパリティ演算子と時間反転演算子です。

P = 対数(1, −1, −1, −1)

T = diag(−1, 1, 1, 1) です。

したがって、任意のローレンツ変換は、4 つの連結成分のうち 1 つを選択する 2 ビットの情報を追加した、適切な直交ローレンツ変換として指定できます。このパターンは、有限次元リー群に典型的です。

制限ローレンツ群SO ⁺ (1, 3)はローレンツ群の恒等成分であり、これは、群内にある連続曲線によって恒等成分に接続できるすべてのローレンツ変換から構成されることを意味します。制限ローレンツ群は、同じ次元 (この場合は次元 6) を持つ、完全なローレンツ群の連結された正規部分群です。

制限ローレンツ群は、通常の空間回転とローレンツブースト（時間的方向を含む双曲空間での回転^{[2] ）によって生成されます。すべての適切な直交ローレンツ変換は、回転（} 3つの実パラメータで指定）とブースト（これも3つの実パラメータで指定）の積として表すことができるため、任意の適切な直交ローレンツ変換を指定するには6つの実パラメータが必要です。これは、制限ローレンツ群が6次元である理由を理解する1つの方法です。（ローレンツ群のリー代数も参照してください。）

すべての回転の集合は、通常の回転群SO(3)と同型のリー部分群を形成します。ただし、すべてのブーストの集合は部分群を形成しません。これは、2 つのブーストを組み合わせても、一般に別のブーストが生成されないためです。(むしろ、非共線的なブーストのペアは、ブーストと回転に相当し、これはトーマス回転に関係します。) ある方向のブースト、またはある軸の周りの回転は、1 つのパラメータの部分群を生成します。

群G が空間Vに作用する場合、曲面S ⊂ Vは、 S がGの下で不変（すなわち、∀ g ∈ G、 ∀ s ∈ S：gs ∈ S）であり、任意の 2 点s ₁、s ₂ ∈ Sに対してg ∈ Gが存在し、 gs ₁ = s ₂となるとき、推移面となる。ローレンツ群の定義により、それは二次形式を保存する。

${\displaystyle Q(x)=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}.}$

平坦な時空R ^1,3に作用する正時ローレンツ群O ⁺ (1, 3) , Q ( x ) = const.の推移面は次の通りである: ^[3]

• Q ( x ) > 0, x ₀ > 0は、2 枚の双曲面の上側の枝です。このシート上の点は、未来の時間のようなベクトルによって原点から分離されています。
• Q ( x ) > 0, x ₀ < 0はこの双曲面の下の枝です。このシート上の点は過去時間のようなベクトルです。
• Q ( x ) = 0, x ₀ > 0は光円錐の上部の枝、つまり未来光円錐です。
• Q ( x ) = 0, x ₀ < 0は光円錐の下側の枝、つまり過去の光円錐です。
• Q ( x ) < 0は 1 枚の双曲面です。このシート上の点は原点から空間的に離れています。
• 原点x ₀ = x ₁ = x ₂ = x ₃ = 0。

これらの面は3次元なので、画像は忠実ではありませんが、O ⁺ (1, 2)に関する対応する事実に対しては忠実です。完全なローレンツ群の場合、変換Tは双曲面 (円錐) の上部の枝から下部の枝に変換され、その逆も行われるため、推移面は 4 つだけです。

上記の推移面を定式化する同等の方法は、リー理論の意味での対称空間として定式化することです。たとえば、双曲面の上面は、軌道安定定理により、商空間SO ⁺ (1, 3) / SO(3)として記述できます。さらに、この上面は、3次元双曲空間のモデルも提供します。

これらの観察は、誘導表現法を用いて、ローレンツ群、実際はポアンカレ群のすべての無限次元ユニタリ表現を見つけるための良い出発点となる。^[4]まず、推移面ごとに 1 つずつ「標準ベクトル」を用意し、次にどのサブグループがこれらのベクトルを保存するかを問う。物理学者によってこれらのサブグループは小群と呼ばれる。すると、問題は本質的に、小群の表現を見つけるというより簡単な問題に帰着する。たとえば、2 枚の双曲線の 1 つにおける標準ベクトルは、( m , 0, 0, 0)として適切に選択できる。各m ≠ 0について、ベクトルは正確に 1 枚のシートを貫通する。この場合、小群は回転群SO(3)であり、その表現はすべて既知である。粒子が変換する正確な無限次元ユニタリ表現は、その分類の一部である。すべての表現が物理的な粒子に対応できるわけではない (知られている限り)。一枚の双曲線上の標準ベクトルはタキオンに対応します。光円錐上の粒子は光子、より仮説的には重力子です。原点に対応する「粒子」は真空です。

他のいくつかの群は、制限ローレンツ群SO ⁺ (1, 3)と準同型または同型です。これらの準同型は、物理学におけるさまざまな現象を説明する上で重要な役割を果たします。

• 特殊線型群 SL(2, C )は制限ローレンツ群の二重被覆である。この関係はディラック方程式のローレンツ不変性とスピノルの共変性を表現するために広く使われている。言い換えれば、（制限）ローレンツ群はSL(2, C ) / Z _{2と同型である。}
• シンプレクティック群 Sp(2, C ) はSL(2, C )と同型であり、ワイルスピノルを構築するのに使用され、またスピノルが質量を持つ仕組みを説明するのにも使用されます。
• スピン群 Spin(1, 3)はSL(2, C )と同型であり、クリフォード代数の観点からスピンとスピノルを説明するために使用され、これにより、ローレンツ群を超重力理論や弦理論を含むリーマン幾何学の一般的な設定に一般化する方法を明確にします。
• 制限ローレンツ群は射影特殊線型群PSL(2, C )と同型であり、射影特殊線型群 PSL(2, C ) はリーマン球面上の共形幾何学の対称群であるメビウス群と同型である。この関係は、メビウス群に対して以前に開発された分類体系に従ってローレンツ群の部分群を分類する上で中心的な役割を果たす。

ワイル表現またはスピノル写像は、 SL(2, C )からSO ⁺ (1, 3)への射影準 同型のペアです。これらはパリティ変換の下で一致するペアを形成し、左および右のカイラルスピノルに対応します。

ミンコフスキー時空上のSL(2, C )の作用は、時空上の点を2行2列のエルミート行列として次のように 書くことで定義できる。

${\displaystyle {\overline {X}}={\begin{bmatrix}ct+z&x-iy\\x+iy&ct-z\end{bmatrix}}=ct1\!\!1+x\sigma _{x}+y\sigma _{y}+z\sigma _{z}=ct1\!\!1+{\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}}$

パウリ行列の観点から。

このプレゼンテーション、ワイルプレゼンテーションは、

${\displaystyle \det \,{\overline {X}}=(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

したがって、エルミート行列の空間（4次元の実ベクトル空間）はミンコフスキー時空と同一視され、エルミート行列の行列式はミンコフスキー時空における対応するベクトルの長さの2乗となる。要素S∈SL (2, C )は、エルミート行列の空間に対して次 のように作用する。

${\displaystyle {\overline {X}}\mapsto S{\overline {X}}S^{\dagger }~,}$

ここで はSのエルミート転置である。この作用は行列式を保存するので、SL(2, C )はミンコフスキー時空に（線形）等長変換によって作用する。上記のパリティ反転形は ${\displaystyle S^{\dagger }}$

${\displaystyle X=ct1\!\!1-{\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}}$

これは次のように変換されます

${\displaystyle X\mapsto \left(S^{-1}\right)^{\dagger }XS^{-1}}$

これが正しい変換であることは、次のことに注意すれば明らかである。

${\displaystyle {\overline {X}}X=\left(c^{2}t^{2}-{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}\right)1\!\!1=\left(c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}\right)1\!\!1}$

上記の変換のペアに対して不変のままです。

これらの写像は射影的であり、どちらの写像の核も2元部分群± Iである。第一同型定理により、商群PSL(2, C ) = SL(2, C ) / {± I }はSO ⁺ (1, 3)と同型である。

パリティ写像はこれら2つの被覆を交換する。これは、エルミート共役がSL(2, C )の自己同型であることに対応する。これら2つの異なる被覆は、ローレンツ群のスピノルに対する2つの異なるカイラル作用に対応する。上線のない形式は、 ⁠ ⁠として変換される右手スピノルに対応し、上線のある形式は、 ⁠ ⁠として変換される左手スピノルに対応する。^[b]${\displaystyle \psi _{R}\mapsto S\psi _{R}}$${\displaystyle \psi _{L}\mapsto \left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{L}}$

この一対の被覆は量子化に耐えられないことに注意することが重要です。量子化されると、カイラル異常という特異な現象が発生します。ローレンツ群の古典的な（つまり、量子化されていない）対称性は量子化によって破れます。これがアティヤ・シンガーの指数定理の内容です。

物理学では、ローレンツ変換Λ ∈ SO ⁺ (1, 3)を⁠ ⁠${\displaystyle {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }}$と表記するのが慣例であり、これは時空インデックスμ、ν = 0, 1, 2, 3を持つ行列を示します。パウリ行列から 4 次元ベクトルは、 ⁠ ⁠と⁠ ⁠として作成できます。2 つの形式はパリティ変換によって関連しています。⁠ ⁠に注意してください。 ${\displaystyle \sigma ^{\mu }=(I,{\vec {\sigma }})}$${\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }=\left(I,-{\vec {\sigma }}\right)}$${\displaystyle {\overline {\sigma }}_{\mu }=\sigma ^{\mu }}$

ローレンツ変換が与えられたとき、上記の${\displaystyle x^{\mu }\mapsto x^{\prime \mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }}$S∈SL (2, C )による直交ローレンツ群の二重被覆は次のように表される。

${\displaystyle x^{\prime \mu }{\overline {\sigma }}_{\mu }={\overline {\sigma }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }=Sx^{\nu }{\overline {\sigma }}_{\nu }S^{\dagger }}$

これを 落とすと、${\displaystyle x^{\mu }}$

${\displaystyle {\overline {\sigma }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=S{\overline {\sigma }}_{\nu }S^{\dagger }}$

パリティ共役形は

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

上記がインデックス表記の正しい形式であることは、すぐには分かりません。その理由の 1 つは、インデックス表記で作業する場合、ローレンツ変換とその逆変換、または転置変換を誤って混同してしまうことが非常に多いためです。この混乱は、インデックス形式で記述すると恒等式が認識しにくいために発生します。ローレンツ変換は、ローレンツ変換の下ではテンソルではありません。したがって、この恒等式の直接的な証明は、その正しさを確立するために役立ちます。恒等式から始めて、これを実証できます。 ${\displaystyle \eta \Lambda ^{\textsf {T}}\eta =\Lambda ^{-1}}$

${\displaystyle \omega \sigma ^{k}\omega ^{-1}=-\left(\sigma ^{k}\right)^{\textsf {T}}=-\left(\sigma ^{k}\right)^{*}}$

ここで、上記は通常のパウリ行列であり、は転置行列、は複素共役である。行列は ${\displaystyle k=1,2,3}$${\displaystyle (\cdot )^{\textsf {T}}}$${\displaystyle (\cdot )^{*}}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$

4ベクトルで表すと、関係は

${\displaystyle \sigma _{\mu }^{\textsf {T}}=\sigma _{\mu }^{*}=\omega {\overline {\sigma }}_{\mu }\omega ^{-1}}$

これは次のように変換されます

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\mu }^{\textsf {T}}{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }&=\omega {\overline {\sigma }}_{\mu }\omega ^{-1}{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\\&=\omega S\;{\overline {\sigma }}_{\nu }\,S^{\dagger }\omega ^{-1}\\&=\left(\omega S\omega ^{-1}\right)\,\left(\omega {\overline {\sigma }}_{\nu }\omega ^{-1}\right)\,\left(\omega S^{\dagger }\omega ^{-1}\right)\\&=\left(S^{-1}\right)^{\textsf {T}}\,\sigma _{\nu }^{\textsf {T}}\,\left(S^{-1}\right)^{*}\end{aligned}}}$

もう1つ転置すると、

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

シンプレクティック群Sp(2, C )はSL(2, C )と同型である。この同型はC ²上のシンプレクティック双線型形式を保存するように、つまりローレンツ変換に対して不変になるように構成される。これは次のように表現できる。シンプレクティック群は次のように定義される。

${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbf {C} )=\left\{S\in \operatorname {GL} (2,\mathbf {C} ):S^{\textsf {T}}\omega S=\omega \right\}}$

どこ

${\displaystyle \omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$

この要素には他の一般的な表記法があります。Jが使用されることもありますが、これはほぼ複素構造の概念との混乱を招きます。これらは異なる方法で変換されるため、同じではありません。 ${\displaystyle \omega =\epsilon }$

ワイルスピノル（2成分スピノル）のペアが与えられた場合

${\displaystyle u={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{bmatrix}}~,\quad v={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}}$

不変双線型形式は慣例的に次のように記述される。

${\displaystyle \langle u,v\rangle =-\langle v,u\rangle =u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}=u^{\textsf {T}}\omega v}$

この形式はローレンツ群の下で不変なので、S∈SL (2, C )に対しては

${\displaystyle \langle Su,Sv\rangle =\langle u,v\rangle }$

これはスピノルの「スカラー積」の一種を定義し、ラグランジアンにおけるローレンツ不変な質量項を定義するためによく使用されます。物理学にとって重要ないくつかの注目すべき特性があります。1つは、${\displaystyle \omega ^{2}=-1}$${\displaystyle \omega ^{-1}=\omega ^{\textsf {T}}=\omega ^{\dagger }=-\omega }$

定義関係は次のように書ける。

${\displaystyle \omega S^{\textsf {T}}\omega ^{-1}=S^{-1}}$

これはローレンツ群の定義関係に非常に似ている

${\displaystyle \eta \Lambda ^{\textsf {T}}\eta ^{-1}=\Lambda ^{-1}}$

ここで、ミンコフスキー空間の計量テンソルであり、もちろん前と同じです。 ${\displaystyle \eta =\operatorname {diag} (+1,-1,-1,-1)}$${\displaystyle \Lambda \in \operatorname {SO} (1,3)}$

SL(2, C ) は単連結なので、制限ローレンツ群SO ⁺ (1, 3)の普遍被覆群です。制限により、準同型SU(2) → SO(3)が存在します。ここで、単位ノルム四元数の群に同型である特殊ユニタリ群SU(2)も単連結なので、回転群SO(3)の被覆群です。これらの被覆写像はそれぞれ、被覆群のちょうど 2 つの要素が商の各要素に写像されるという意味で二重被覆です。制限ローレンツ群と回転群は二重連結であるとよく言われます。これは、各群の基本群が2 要素巡回群Z ₂に同型であることを意味します。

二重被覆はスピン群の特徴である。実際、二重被覆に加えて

スピン⁺ (1, 3) = SL(2, C ) → SO ⁺ (1, 3)

スピン(3) = SU(2) → SO(3)

私たちは二重の覆いを持っています

ピン(1, 3) → O(1, 3)

スピン(1, 3) → SO(1, 3)

スピン⁺ (1, 2) = SU(1, 1) → SO(1, 2)

これらのスピノリアル二重被覆はクリフォード代数から構築されます。

二重被覆の左グループと右グループ

SU(2) → SO(3)

は、それぞれ二重被覆における左グループと右グループの 変形後退である。

SL(2, C ) → SO ⁺ (1, 3) です。

しかし、等質空間SO ⁺ (1, 3) / SO(3)は双曲 3 次元空間H ³に同相なので、制限ローレンツ群をファイバーSO(3)と基底H ^{3 を}持つ主ファイバー束として示しました。後者はR ³に同相であり、SO(3)は 3 次元実射影空間R P ³に同相なので、制限ローレンツ群はR P ³とR ³の積に局所的に同相であることがわかります。基底空間は収縮可能であるため、これは大域同相に拡張できます。^{[説明が必要]}

制限ローレンツ群SO ⁺ (1, 3)はメビウス群PSL(2, C )と同型なので、その共役類も5つの類に分類されます。

• 楕円変換
• 双曲変換
• 斜航変換
• 放物線変換
• 些細なアイデンティティ変換

メビウス変換に関する記事では、リーマン球面へのメビウス変換の不動点を考慮することによってこの分類がどのように生じるかが説明されています。リーマン球面へのメビウス変換の不動点は、ここではミンコフスキー時空への制限ローレンツ変換の ヌル固有空間に対応します。

各タイプの例と、それが生成する1 つのパラメータのサブグループの影響(たとえば、夜空の外観への影響) については、以下のサブセクションで説明します。

メビウス変換は、リーマン球面（または天球）の共形変換です。次に、 SL(2, C )の任意の元と共役すると、それぞれ任意の楕円、双曲、斜航、放物線（制限付き）ローレンツ変換の例が得られます。対応する 1 パラメータ部分群の流れ線への影響は、例に見られるパターンを何らかの共形変換によって変換することです。たとえば、楕円ローレンツ変換は天球上の任意の 2 つの異なる固定点を持つことができますが、点は依然として 1 つの固定点から別の固定点に向かって円弧に沿って流れます。他のケースも同様です。

SL(2, C )の楕円要素は

${\displaystyle P_{1}={\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {i}{2}}\theta \right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {i}{2}}\theta \right)\end{bmatrix}}}$

であり、不動点ξ = 0, ∞を持つ。作用をX ↦ P ₁ X P ₁ ^†と書き、項をまとめると、スピノル写像はこれを（制限付き）ローレンツ変換に変換する。

${\displaystyle Q_{1}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&\sin(\theta )&0\\0&-\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\right)~.}$

この変換は、 z軸周りの回転、exp( iθJ _z )を表します。これが生成する1パラメータのサブグループは、θを定数ではなく実変数、つまり回転角度とすることで得られます。

天球の対応する連続変換（恒等変換を除く）はすべて、同じ 2 つの固定点、北極と南極を共有します。変換により、他のすべての点が緯度円の周囲に移動するため、このグループはθ が増加する につれてz軸を中心に反時計回りの連続回転を生成します。スピノル マップで明らかな角度の倍増は、スピノル二重被覆の特徴です。

SL(2, C )の双曲的要素は

${\displaystyle P_{2}={\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {\eta }{2}}\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {\eta }{2}}\right)\end{bmatrix}}}$

不動点ξ = 0, ∞ を持ちます。リーマン球面からユークリッド平面への立体投影では、このメビウス変換の効果は原点からの拡大です。

スピノル写像はこれをローレンツ変換に変換する。

${\displaystyle Q_{2}={\begin{bmatrix}\cosh(\eta )&0&0&\sinh(\eta )\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh(\eta )&0&0&\cosh(\eta )\end{bmatrix}}=\exp \left(\eta {\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}\right)~.}$

この変換は、 z軸に沿ったラピディティ ηのブーストを表します。これが生成する 1 パラメータ サブグループは、η を定数ではなく実変数とすることで得られます。天球の対応する連続変換 (恒等変換を除く) はすべて同じ固定点 (北極と南極) を共有し、他のすべての点を経度に沿って南極から北極に向かって移動します。

SL(2, C )の斜航要素は

${\displaystyle P_{3}=P_{2}P_{1}=P_{1}P_{2}={\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {1}{2}}(\eta +i\theta )\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {1}{2}}(\eta +i\theta )\right)\end{bmatrix}}}$

ξ = 0, ∞の不動点を持つ。スピノル写像はこれをローレンツ変換に変換する。

${\displaystyle Q_{3}=Q_{2}Q_{1}=Q_{1}Q_{2}={\begin{bmatrix}\cosh(\eta )&0&0&\sinh(\eta )\\0&\cos(\theta )&\sin(\theta )&0\\0&-\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\\sinh(\eta )&0&0&\cosh(\eta )\end{bmatrix}}=\exp {\begin{bmatrix}0&0&0&\eta \\0&0&\theta &0\\0&-\theta &0&0\\\eta &0&0&0\end{bmatrix}}~.}$

これが生成する 1 パラメータ サブグループは、η + i θ をこの複素定数の任意の実数倍に置き換えることによって得られます。( η、θ が独立に変化する場合は、z軸の周りの同時回転とz軸に沿ったブーストで構成される2 次元 アーベル サブグループが得られます。対照的に、ここで説明する1 次元サブグループは、ブーストのラピディティと回転の角度が固定比 になるような 2 次元サブグループの要素で構成されます。)

天球の対応する連続変換 (恒等変換を除く) はすべて、同じ 2 つの固定点 (北極と南極) を共有します。これらは、航程線と呼ばれる曲線群に沿って、他のすべての点を南極から北極に向かって (またはその逆) 移動させます。各航程線は、多くの場合、各極の周りを無限に螺旋状に回ります。

SL(2, C )の放物要素は

${\displaystyle P_{4}={\begin{bmatrix}1&\alpha \\0&1\end{bmatrix}}}$

リーマン球面上には単一の不動点ξ = ∞ があります。立体投影では、実軸に沿った通常の移動として現れます。

スピノル写像はこれを行列（ローレンツ変換を表す）に変換する。

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{4}&={\begin{bmatrix}1+{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&-{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}\\\operatorname {Re} (\alpha )&1&0&-\operatorname {Re} (\alpha )\\-\operatorname {Im} (\alpha )&0&1&\operatorname {Im} (\alpha )\\{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&1-{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=\exp {\begin{bmatrix}0&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&0\\\operatorname {Re} (\alpha )&0&0&-\operatorname {Re} (\alpha )\\-\operatorname {Im} (\alpha )&0&0&\operatorname {Im} (\alpha )\\0&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&0\end{bmatrix}}~.\end{aligned}}}$

これにより、2 つのパラメータを持つアーベル群が生成されます。これは、α を定数ではなく複素変数と見なすことによって得られます。天球の対応する連続変換 (恒等変換を除く) は、すべての点を北極で特定の大円に接する円の族に沿って移動します。北極自体以外のすべての点は、これらの円に沿って移動します。

放物型ローレンツ変換は、ヌル回転と呼ばれることがよくあります。これらは、非恒等ローレンツ変換の 4 つのタイプ (楕円型、双曲型、斜航型、放物型) の中で最も馴染みのない変換である可能性が高いため、ここでは、放物型ローレンツ変換の例がミンコフスキー時空に与える影響を決定する方法を説明します。

上記の行列は変換をもたらす。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}+\operatorname {Re} (\alpha )\;{\begin{bmatrix}x\\t-z\\0\\x\end{bmatrix}}-\operatorname {Im} (\alpha )\;{\begin{bmatrix}y\\0\\z-t\\y\end{bmatrix}}+{\frac {\vert \alpha \vert ^{2}}{2}}\;{\begin{bmatrix}t-z\\0\\0\\t-z\end{bmatrix}}.}$

ここで、一般性を失うことなく、Im( α ) = 0とする。この変換を実数群パラメータαに関して微分し、α = 0で評価すると、対応するベクトル場（一次線形偏微分演算子）が得られる。

${\displaystyle x\,\left(\partial _{t}+\partial _{z}\right)+(t-z)\,\partial _{x}.}$

これを関数f ( t , x , y , z )に適用し、関数が不変であること、つまりこの変換によって消滅することを要求します。結果として得られる1階線形偏微分方程式の解は、次の形式で表すことができます。

${\displaystyle f(t,x,y,z)=F\left(y,\,t-z,\,t^{2}-x^{2}-z^{2}\right),}$

ここで、Fは任意の滑らかな関数である。Fの引数は、点（事象）が放物線変換の下でどのように動くかを説明する3つの有理不変量を与える。点（事象）自体は動かない。

${\displaystyle y=c_{1},~~~~t-z=c_{2},~~~~t^{2}-x^{2}-z^{2}=c_{3}.}$

右辺の定数に実数値を選択すると、3 つの条件が生成され、ミンコフスキー時空内の曲線が指定されます。この曲線は、変換の軌道です。

有理不変量の形式は、これらのフローライン（軌道）が単純な記述を持つことを示しています。つまり、重要でない座標y を省略すると、各軌道はヌル平面t = z + c ₂と双 曲面t ² − x ² − z ² = c ₃の交差になります。c 3 = 0の場合、_双曲面は光円錐に退化し、軌道は対応するヌル平面にある放物線になります。

光円錐上にある特定のヌル ラインは不変のままです。これは、前述のリーマン球面上の唯一の (二重の) 固定点に対応します。原点を通る他のヌル ラインは、変換によって「円錐の周りを回転」します。α が増加するにつれて、このようなヌル ラインの 1 つが移動するのを 追うことは、前述のように、天球上の円形のフロー ラインの 1 つに沿った点の動きを追うことに対応します。

代わりにRe( α ) = 0を選択すると 、 xとyの役割が入れ替わった同様の軌道が生成されます。

放物線変換は、ヘリシティ| h | ≥ 1 の質量のない粒子 (光子 など)のゲージ対称性につながります。上記の明示的な例では、 z方向に移動する質量のない粒子(つまり 4 次運動量P = ( p , 0, 0, p ) )は、その運動の「小群」内で、以下に定義されるxブーストとy回転の組み合わせ K _x − J _yによってまったく影響を受けません。これは、説明した明示的な変換法則から明らかです。つまり、光のようなベクトルと同様に、P自体は不変です。つまり、αのすべての痕跡や効果は消えています。 説明した特別なケースでは、c ₁ = c ₂ = c ₃ = 0 です。(他の同様の生成元K _y + J _xと、それとJ _{z は}、 E (2)と同型の光のようなベクトルの小群を構成します。)

この同型性により、リーマン球面のメビウス変換は、「恒星」に対して相対速度で運動している観測者から見た、ローレンツ変換による夜空の外観の変化を表すことになります。

「恒星」がミンコフスキー時空に存在し、天球上の点としてモデル化されていると仮定する。すると、天球上の任意の点は、リーマン球上の点に対応する複素数ξ = u + ivに関連付けられ、ミンコフスキー空間のヌルベクトル（光のようなベクトル） と同一視できる。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u^{2}+v^{2}+1\\2u\\-2v\\u^{2}+v^{2}-1\end{bmatrix}}}$

あるいは、ワイル表現（スピノル写像）では、エルミート行列

${\displaystyle N=2{\begin{bmatrix}u^{2}+v^{2}&u+iv\\u-iv&1\end{bmatrix}}.}$

このヌル ベクトルの実スカラー倍数の集合は、原点を通るヌル ラインと呼ばれ、特定の場所と時間 (ミンコフスキー時空の原点と同一視できる任意のイベント) の観測者から星などのさまざまな遠方の物体までの視線を表します。次に、天球上の点(つまり、視線) は、特定のエルミート行列と同一視されます。

この図は、射影幾何学の言語で明確に表現されます。（制限付き）ローレンツ群は、射影天球に作用します。これは、射影空間の与えられた商の下でとなる非ゼロのヌルベクトルの空間です。に対してとなります。これは、ローレンツ変換を使用して作用した後に時間座標を1 に再スケールできるため、天球と呼ばれ、空間部分が単位球面上にあることが保証されます。 ${\displaystyle t>0}$${\displaystyle (t,x,y,z)\sim (t',x',y',z')}$${\displaystyle (t',x',y',z')=(\lambda t,\lambda x,\lambda y,\lambda z)}$${\displaystyle \lambda >0}$${\displaystyle t}$

メビウス側から見ると、SL(2, C ) は複素射影空間C P ¹に作用します。これは 2 次元球面と微分同相であることが示されます。これはリーマン球面と呼ばれることもあります。射影空間上の商は、群SL(2, C )上の商につながります。

最後に、複素射影ベクトルを使用してヌルベクトルを構築することで、これら 2 つを結び付けることができます。 がC P ¹射影ベクトルである場合、そのエルミート共役でテンソル化してエルミート行列を生成できます。 この記事の他の部分から、この行列空間は 4 ベクトルとして見ることができることがわかります。 リーマン球面の各射影ベクトルを行列に変換して得られる行列空間は、ブロッホ球面として知られています。 ${\displaystyle \xi }$${\displaystyle 2\times 2}$

他のリー群と同様に、ローレンツ群の多くの側面を研究する便利な方法は、そのリー代数を使用することです。ローレンツ群SO(1, 3)は行列リー群であるため、対応するリー代数は行列リー代数であり、^{[5]のように計算できます。}${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)}$

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)=\left\{4\times 4\,\,\,\mathbf {R} {\text{-valued matrices}}\,X\mid e^{tX}\in \mathrm {SO} (1,3)\,\mathrm {for} \,\mathrm {all} \,t\right\}}$。

が対角要素(1, −1, −1, −1)を持つ対角行列である場合、リー代数は次のような行列から構成される^[6]${\displaystyle \eta }$${\displaystyle {\mathfrak {o}}(1,3)}$${\displaystyle 4\times 4}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \eta X\eta =-X^{\textsf {T}}}$。

明示的には、次の形式の行列 で構成される。${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)}$${\displaystyle 4\times 4}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a&b&c\\a&0&d&e\\b&-d&0&f\\c&-e&-f&0\end{pmatrix}}}$、

ここで、は任意の実数です。このリー代数は 6 次元です。、、および が0 である要素で構成されるの部分代数はと同型です。 ${\displaystyle a,b,c,d,e,f}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

完全ローレンツ群O(1, 3)、真ローレンツ群SO(1, 3)、真正直交ローレンツ群SO ⁺ (1, 3) (恒等式に接続された成分) はすべて同じリー代数を持ち、通常は⁠ ⁠${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)}$と表記されます。

ローレンツ群の恒等成分はSL(2, C )の有限商に同型なので(ローレンツ群とメビウス群の関係については上記のセクションを参照)、ローレンツ群のリー代数はリー代数 ⁠ ⁠ に同型です。複素${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )}$リー代数は3 次元ですが、実リー代数として見ると 6 次元になります。 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )}$

標準基底行列は、 {0, 1, 2, 3}の値を取るとしてインデックス付けできます。これらは、 の 1 つだけを1 にし、他の 1 つを 0 にすることで発生します。各成分は次のように記述できます。 ${\displaystyle M^{\mu \nu }}$${\displaystyle \mu ,\nu }$${\displaystyle a,b,\cdots ,f}$

${\displaystyle (M^{\mu \nu })_{\rho \sigma }=\delta ^{\mu }{}_{\rho }\delta ^{\nu }{}_{\sigma }-\delta ^{\nu }{}_{\rho }\delta ^{\mu }{}_{\sigma }}$。

交換関係は

${\displaystyle [M^{\mu \nu },M^{\rho \sigma }]=M^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }-M^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+M^{\nu \rho }\eta ^{\mu \sigma }-M^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }.}$

使用される規則にはさまざまな選択肢があります。物理学では、基底要素に の因子を含めるのが一般的で、これにより交換関係に の因子が生成されます。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$

次にブーストを生成し、ローテーションを生成します。 ${\displaystyle M^{0i}}$${\displaystyle M^{ij}}$

ローレンツ代数の構造定数は交換関係から読み取ることができます。これらの関係を満たす基底要素の任意の集合は、ローレンツ代数の表現を形成します。

ローレンツ群はR ⁴の微分同相群のサブグループとして考えることができるため、そのリー代数はR ⁴上のベクトル場と同一視できます。特に、空間上で等長変換を生成するベクトルはキリングベクトルであり、リー代数の計算に左不変ベクトル場の便利な代替手段を提供します。6つの生成子のセットを書き下ろすことができます。

• R ⁴上のベクトル場は3つの回転i Jを生成する。

  ${\displaystyle -y\partial _{x}+x\partial _{y}\equiv iJ_{z}~,\qquad -z\partial _{y}+y\partial _{z}\equiv iJ_{x}~,\qquad -x\partial _{z}+z\partial _{x}\equiv iJ_{y}~;}$

• R ⁴上のベクトル場は3つのブーストi K を生成する。

  ${\displaystyle x\partial _{t}+t\partial _{x}\equiv iK_{x}~,\qquad y\partial _{t}+t\partial _{y}\equiv iK_{y}~,\qquad z\partial _{t}+t\partial _{z}\equiv iK_{z}.}$

iの係数は、回転の生成元がエルミートであることを保証するようです。

ここで、ベクトル場から1パラメータ群を得る方法を簡単に思い出すと役に立つかもしれない。ベクトル場は、次のような 1階線形 偏微分演算子の形で書かれる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-y\partial _{x}+x\partial _{y}.}$

対応する初期値問題（スカラー関数を考え、いくつかの初期条件で 解く）は${\displaystyle r=(x,y)}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \partial _{\lambda }r={\mathcal {L}}r}$

${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=-y,\;{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}=x,\;x(0)=x_{0},\;y(0)=y_{0}.}$

解決策は次のように書ける

${\displaystyle x(\lambda )=x_{0}\cos(\lambda )-y_{0}\sin(\lambda ),\;y(\lambda )=x_{0}\sin(\lambda )+y_{0}\cos(\lambda )}$

または

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\lambda )&-\sin(\lambda )&0\\0&\sin(\lambda )&\cos(\lambda )&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t_{0}\\x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\end{bmatrix}}}$

_{ここで、 z}軸を中心とした 回転の1パラメータ行列群exp( iλJz )は簡単に認識できます。

その結果、 群パラメータλについて微分し、 λ = 0と設定すると、標準行列が復元されます。

${\displaystyle iJ_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}~,}$

これは、最初に使用したベクトル場に対応します。これは、リー代数の要素の行列表現とベクトル場表現の間を行き来する方法を示しています。指数写像は、ローレンツ群だけでなく、リー群全般に対してこの特別な役割を果たします。

前のセクションの手順を逆にすると、6つのジェネレータに対応するメビウス変換は、3つのパウリ行列をそれぞれη /2（3つのブーストの場合）またはiθ /2（3つの回転の場合）で乗算することで生じることがわかります。

${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\;\;\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},\;\;\sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.}$

もう一つの生成集合は、メビウス群への同型性を介して生じる。次の表は、6つの生成集合を列挙したものである。

• 最初の列は、メビウス作用（リーマン球面からの立体射影後）による流れの生成元をユークリッド平面上の実ベクトル場として示します。
• 2 番目の列には、メビウス変換の対応する 1 パラメータ サブグループが示されています。
• 3 列目は、ローレンツ変換の対応する 1 パラメータ部分群 (前の 1 パラメータ部分群の準同型によるイメージ) を示します。
• 4 列目は、ミンコフスキー時空上の実ベクトル場として、ローレンツ作用による流れの対応する生成元を示します。

ジェネレータは以下から構成されていることに注意してください

• 2つの放物線（ゼロ回転）
• 1つの双曲線（方向へのブースト）${\displaystyle \partial _{z}}$
• 3つの楕円（それぞれx、y、z軸を中心とした回転）

まずは

${\displaystyle \sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&i\\-i&0\end{bmatrix}}.}$

累乗する:

${\displaystyle \exp \left({\frac {i\theta }{2}}\,\sigma _{2}\right)={\begin{bmatrix}\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)&-\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)&\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{bmatrix}}.}$

SL(2, C )のこの元は、（楕円）メビウス変換の1パラメータ部分群を表す。

${\displaystyle \xi \mapsto \xi '={\frac {\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\xi -\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\xi +\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}.}$

次、

${\displaystyle \left.{\frac {d\xi '}{d\theta }}\right|_{\theta =0}=-{\frac {1+\xi ^{2}}{2}}.}$

C上の対応するベクトル場（立体投影による S ²の像と考えられる）は

${\displaystyle -{\frac {1+\xi ^{2}}{2}}\,\partial _{\xi }.}$

と書くと、これはR ²上のベクトル場となる。${\displaystyle \xi =u+iv}$

${\displaystyle -{\frac {1+u^{2}-v^{2}}{2}}\,\partial _{u}-uv\,\partial _{v}.}$

SL(2, C )の要素に戻り、作用を書き出して項をまとめると、スピノル写像の下の像はSO ⁺ (1, 3)の要素であることがわかる。${\displaystyle X\mapsto PXP^{\dagger }}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&0&\sin(\theta )\\0&0&1&0\\0&-\sin(\theta )&0&\cos(\theta )\end{bmatrix}}.}$

θ = 0でθについて微分すると、 R ^1,3上の対応するベクトル場が得られる。

${\displaystyle z\partial _{x}-x\partial _{z}.\,\!}$

これは明らかに、 y軸を中心とした反時計回りの回転を発生させるものです。

ローレンツ群のリー代数の部分代数は共役性を除いて列挙することができ、そこから制限ローレンツ群の閉じた部分群を共役性を除いて列挙することができます。(詳細については、以下に引用したホールの書籍を参照してください。) これらは、上の表に示されている生成元で簡単に表現できます。 ${\displaystyle X_{n}}$

1 次元部分代数は、もちろん、ローレンツ群の元の 4 つの共役類に対応します。

• ${\displaystyle X_{1}}$は、 1パラメータの放物線部分代数SO(0, 1)を生成する。
• ${\displaystyle X_{3}}$ブーストの1パラメータ部分代数SO(1, 1)を生成する。
• ${\displaystyle X_{4}}$回転の1パラメータSO(2)を生成する。
• ${\displaystyle X_{3}+aX_{4}}$(任意の に対して) は、斜航変換の 1 パラメータ部分代数を生成します。${\displaystyle a\neq 0}$

(厳密に言えば、最後のものは無限に多くのクラスに対応します。異なるクラスは異なるクラスを生成するからです。) 2 次元の部分代数は次のとおりです。 ${\displaystyle a}$

• ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$完全に放物線からなるアーベル部分代数を生成する。
• ${\displaystyle X_{1},X_{3}}$アフィン群 Aff(1)のリー代数に同型な非可換部分代数を生成する。
• ${\displaystyle X_{3},X_{4}}$同じ固定点のペアを共有するブースト、回転、および航程運動からなるアーベル部分代数を生成します。

3 次元部分代数はビアンキ分類法を使用します。

• ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}}$ユークリッド相似群Hom(2)のリー代数に同型なビアンキV部分代数を生成する。
• ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{4}}$ユークリッド群E (2)のリー代数に同型なビアンキVII ₀部分代数を生成する。
• ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}+aX_{4}}$、ここで、ビアンキVII_部分代数を生成する。${\displaystyle a\neq 0}$
• ${\displaystyle X_{1},X_{3},X_{5}}$SL(2, R )のリー代数、双曲平面の等長変換群に同型なビアンキ VIII部分代数を生成する。
• ${\displaystyle X_{4},X_{5},X_{6}}$回転群SO(3)のリー代数に同型なビアンキIX部分代数を生成する。

ビアンキ型は、イタリアの数学者ルイージ・ビアンキによる 3 次元リー代数の分類を指します。

4次元部分代数はすべて共役である

• ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}}$ユークリッド相似群であるSim(2)のリー代数に同型な部分代数を生成する。

部分代数は格子を形成し（図を参照）、各部分代数はべき乗により制限リー群の閉じた部分群を生成します。これらから、クラインの 4 元群の要素の 1 つを乗算することで、共役を除くローレンツ群のすべての部分群を構築できます。

連結リー群と同様に、制限ローレンツ群の閉部分群の剰余類空間、つまり同次空間は、数学的に非常に興味深いものです。簡単に説明します。

• Sim(2)群はヌルライン、つまりリーマン球面上の点の安定化群である。したがって、同次空間SO ⁺ (1, 3) / Sim(2)は球面S ²上の共形幾何学を表すクライン幾何学である。
• ユークリッド群SE(2)の（恒等成分）はヌルベクトルの安定化因子であるため、同次空間SO ⁺ (1, 3) / SE(2)は質量のない粒子の運動量空間である。幾何学的には、このクライン幾何学はミンコフスキー時空における光円錐の退化した幾何学を表す。
• 回転群SO(3)は時間的ベクトルの安定化群であるため、同次空間SO ⁺ (1, 3) / SO(3)は質量を持つ粒子の運動量空間である。幾何学的には、この空間は3次元双曲空間 H ³に他ならない。

ローレンツ群の概念は、任意の次元の時空に自然に一般化される。数学的には、( n +1)次元ミンコフスキー空間のローレンツ群は、 Rn ^{+ 1}の線型変換の不定直交群 O( n ,1)であり、二次形式を保存する 。

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1})\mapsto x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-x_{n+1}^{2}.}$

O(1, n )群は二次形式を保存する

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1})\mapsto x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\cdots -x_{n+1}^{2}}$

O(1, n ) はO( n , 1)と同型であり、ローレンツ群の両方の表現が理論物理学のコミュニティで使用されています。前者は重力に関連する文献でより一般的であり、後者は粒子物理学の文献でより一般的です。

この二次形式を選択したベクトル空間R ^{n +1の一般的な表記法は}R ^{1, n}です。

4 次元 ( n = 3 )のローレンツ群の特性の多くは、任意のnに直接一般化されます。たとえば、ローレンツ群O( n , 1)には 4 つの連結成分があり、 ( n + 1)次元ミンコフスキー空間の天体( n − 1)球面に対して共形変換によって作用します。恒等成分SO ⁺ ( n , 1)は、双曲n空間H ⁿ上のSO( n )バンドルです。

低次元の場合n = 1とn = 2は、物理的場合n = 3 の「おもちゃのモデル」として役立つことが多いが、高次元のローレンツ群は、隠れた次元の存在を仮定する弦理論などの物理理論で使用される。ローレンツ群O( n , 1)は、 n次元ド・ジッター空間 dS _nの等長変換群でもあり、これは等質空間O( n , 1) / O( n − 1, 1)として実現されることがある。特に、O(4, 1)は、宇宙論モデルである ド・ジッター宇宙 dS ₄の等長変換群である。