フラックス

フラクションとは、ある点におけるフルーエント（時間とともに変化する量または関数）の瞬間的な変化率、つまり勾配のことです。 ^{[ 1 ]}フラクションは、アイザック・ニュートンが時間微分（時間に関する微分）の形式を記述するために導入しました。ニュートンは1665年にこの概念を導入し、数学論文「フラクション法」で詳細に説明しました。^{[ 2 ]}フラクションとフルーエントは、ニュートンの初期の微積分を構成していました。^{[ 3 ]}

流暢な${\displaystyle y}$は次のように定義されます。$\displaystyle y=t^{2}}$（場所）${\displaystyle t}$⁠は時間です）における流率（微分）${\displaystyle t=2}$は：

${\displaystyle {\dot {y}}={\frac {\Delta y}{\Delta t}}={\frac {(2+o)^{2}-2^{2}}{(2+o)-2}}={\frac {4+4o+o^{2}-4}{2+o-2}}={\frac {4o+o^{2}}{o}}}$

こちら​${\displaystyle o}$は無限に小さな時間です^{。 [ 4 ]}したがって、この用語は$\displaystyle o^{2}}$は2次無限小項であり、ニュートンによれば、ここで無視できる。$\displaystyle o^{2}}$⁠ は、第 1 次無限小と比較して、第 2 次無限小であるため、${\displaystyle o}$⁠ . ^{[ 5 ]}したがって、最終的な方程式は次の形式になります。

${\displaystyle {\dot {y}}={\frac {\Delta y}{\Delta t}}={\frac {4o}{o}}=4}$

彼はその使用を正当化した。${\displaystyle o}$流動は物体の動きの結果であると述べることで、ゼロではない量として定義した。

当時の著名な哲学者であったジョージ・バークリー司教は、 1734年に出版されたエッセイ『分析家』の中でニュートンの流率を非難した。 ^{[ 6 ]}バークリーは、無限小の使用を理由に、流率の正確性を信じることを拒否した。${\displaystyle o}$彼はそれを無視することはできないと考え、もしそれがゼロであれば、結果としてゼロ除算になると指摘した。バークレーはそれらを「消え去った量の幽霊」と呼び、この発言は当時の数学者たちを不安にさせ、最終的に微積分における無限小の使用の廃止につながった。

ニュートンは晩年、${\displaystyle o}$無限に小さいものとして定義するのではなく、極限の概念と同様の定義を用いて、ゼロに近づくものとして定義することを好んだ。 ^{[ 7 ]}彼は、これによってフラックスが安全な基盤に戻ったと信じていた。この時までに、ライプニッツの微分（および彼の記法）は、ニュートンのフラックスとフルエントにほぼ取って代わり、今日でも使用されている。

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