レヴィ・チヴィタフィールド

数学において、レヴィ・チヴィタ体（レヴィ・チヴィタたい）は、トゥリオ・レヴィ＝チヴィタにちなんで名付けられた^[1]非アルキメデス的順序体、すなわち無限量と無限小量を含む数体系である。通常は と表記される。 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

各メンバーは、次の形式の形式シリーズとして構築することができる。 ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a=\sum _{q\in \mathbb {Q} }a_{q}\varepsilon ^{q},}$

ここで、 は有理数の集合、係数は実数、 は固定された正の無限小として解釈されます。すべての有理数 に対して、 より小さい は有限個しか存在しないことが要求されます。この制限は、乗算と除算を明確に定義し一意にするために必要です。このような 2 つの数列は、その係数がすべて等しい場合にのみ等しいと見なされます。順序は係数のリストの辞書順序に従って定義され、これは が無限小である という仮定と同等です。${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle a_{q}}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle r}$${\displaystyle q\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle r}$${\displaystyle a_{q}\neq 0}$${\displaystyle \epsilon }$

実数は、 を除くすべての係数がゼロになる級数としてこの体に埋め込まれます。 ${\displaystyle a_{0}}$

• ${\displaystyle 7\varepsilon }$は、より大きいが、すべての正の実数より小さい無限小です。${\displaystyle \epsilon }$
• ${\displaystyle \varepsilon^{2}}$は より小さく、任意の正の実数 に対しても より小さくなります。${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle r\varepsilon }$${\displaystyle r}$
• ${\displaystyle 1+\varepsilon }$1 とわずかに異なります。
• ${\displaystyle \varepsilon^{1/2}}$は、任意の正の実数 に対してより大きく、さらに大きくなりますが、すべての正の実数 よりも小さくなります。${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle r\varepsilon }$${\displaystyle r}$${\displaystyle \varepsilon^{1/2}}$
• ${\displaystyle 1/\varepsilon }$任意の実数よりも大きい。
• ${\displaystyle 1+\varepsilon +{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}+\cdots +{\frac {1}{n!}}\varepsilon ^{n}+\cdots }$は と解釈され、これは 1 とはわずかに異なります。${\displaystyle e^{\varepsilon }}$
• ${\displaystyle 1+\varepsilon +2\varepsilon ^{2}+\cdots +n!\varepsilon ^{n}+\cdots }$は体の有効な要素です。なぜなら、この級数は収束を考慮せずに形式的に構築されるからです。

とが2つのレヴィ・チヴィタ級数であるならば、 ${\displaystyle a=\sum \limits _{q\in \mathbb {Q} }a_{q}\varepsilon ^{q}}$${\displaystyle b=\sum \limits _{q\in \mathbb {Q} }b_{q}\varepsilon ^{q}}$

• それらの合計は各点の合計です。${\displaystyle a+b}$${\displaystyle a+b:=\sum \limits _{q\in \mathbb {Q} }(a_{q}+b_{q})\varepsilon ^{q}}$
• それらの積はコーシー積である。${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle ab:=\sum \limits _{q\in \mathbb {Q} }\left(\sum \limits _{r+s=q}a_{r}b_{s}\right)\varepsilon ^{q}}$

(すべての に対して集合が有限であること、したがってすべての積が明確に定義され、結果として得られる級数が有効な Levi-Civita 級数を定義することを 確認できます。)${\displaystyle q\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle \{(r,s)\in \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} :\ r+s=q,\ a_{r}\neq 0,\ b_{s}\neq 0\}}$

• この関係は、 （つまり、 の係数の少なくとも 1 つがゼロ以外）かつ の最小のゼロ以外係数が厳密に正である場合に成立します。${\displaystyle 0<a}$${\displaystyle a\neq 0}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

これらの演算と順序を備えたレヴィ-チヴィタ体は、確かに、級数が正の無限小であるの順序付き体拡張です。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \varepsilon }$

レヴィ・チヴィタ体は実閉体であり、虚数単位( i )を付加するか、係数を複素数にすることで代数的に閉じることができる。この体はかなりの量の解析を行えるほど豊富であるが、その要素は、実数が浮動小数点数を使用して表現できるのと同じ意味でコンピュータ上で表現することができる。これは、記号微分法や有限差分法では扱いにくい場合に微分を実行する方法である自動微分の基礎である。 ^[2]

レヴィ・チヴィタ体はコーシー完全でもあり、コーシー列と収束列の定義をレヴィ・チヴィタ級数の列に相対化すると、体の各コーシー列は収束することを意味します。同様に、適切な稠密な順序体の拡大はありません。 ${\displaystyle \forall \exists \forall }$

順序体として、それはレヴィ-チヴィタ級数の最初の非ゼロ係数に対応する有理指数によって与えられる自然な値を持ちます。値環は実数で有界な級数のものであり、留数体は、値群は です。結果として得られる値体はヘンゼル型（凸値環を持つ実閉体）ですが、球面完備ではありません。実際、実係数と値群を持つハーン級数の体は適切な直接拡大であり、レヴィ-チヴィタ体に含まれない などの級数を含みます。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+)}$${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+)}$${\displaystyle 1+\varepsilon ^{1/2}+\varepsilon ^{2/3}+\varepsilon ^{3/4}+\varepsilon ^{4/5}+\cdots }$

レヴィ-チヴィタ体は、実数体上のピュイズー級数の体のコーシー完備化です。つまり、適切な稠密な拡大のない の稠密な拡大です。その注目すべき適切な部分体と適切な順序付き体拡大のいくつかを次に示します。 ${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle \mathbb {P} }$

• 実数の体。${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 無限小の正の不定値を持つ実多項式（有理関数）の分数の体。${\displaystyle \mathbb {R} (\varepsilon )}$${\displaystyle \varepsilon }$
• 上の形式ローラン級数の体。${\displaystyle \mathbb {R} ((\varepsilon ))}$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 上のPuiseuxシリーズのフィールド。${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

• 実係数と有理指数を持つハーン級数の体。${\displaystyle \mathbb {R} [[\varepsilon ^{\mathbb {Q} }]]}$
• 対数指数関数的超級数のフィールド。${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$
• 最初の- 数の下に誕生日がある超実数体。${\displaystyle \mathbf {No} (\varepsilon _{0})}$${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$
• 自由超フィルタを法とするの超べき乗として構築された超実数の体(ただし、ここでは埋め込みは標準的ではありません)。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$

• ウェブベースのレヴィ・チヴィタ数計算機