トランスシリーズ

数学において、対数指数トランスシリーズ体とは、非アルキメデスの順序付き微分体であり、基本的な非三角関数の漸近的成長率の比較可能性を、はるかに広いクラスのオブジェクトに拡張します。各 log-exp トランスシリーズは形式的な漸近動作を表し、形式的に操作することができ、収束するとき (または、無限超実数など特別な意味論を使用する場合はすべてのケースで)、実際の動作に対応します。トランスシリーズは、関数を表すのにも便利です。指数と対数を含めることで、トランスシリーズは無限大におけるべき級数( ) やその他の同様の漸近展開の強力な一般化になります。 ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{x^{n}}}}$

この分野は、ダーン＝ゲーリング^[1]とエカレ^[2]によって、それぞれモデル理論や指数体、解析的特異点の研究、エカレによるデュラック予想の証明の文脈で独立に導入された。これは、ハーディの指数対数関数の分野とエカレの加速加算可能級数の分野を拡張した形式的な対象を構成する。 ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$

この体には、一般化された級数と和の概念を持つ順序付けられた体、区別された反微分を持つ互換微分、互換な指数関数と対数関数、および級数の形式的な合成の概念など、豊富な構造があります。 ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$

非公式に言えば、exp-log トランスシリーズは、実係数を持つ、正の無限大不定値、指数、対数、およびそれらの合成の、よく基づいている(つまり、逆順に並べられた) 正式なハーン級数です。2 つの重要な追加条件は、exp-log トランスシリーズの指数および対数の深さ、つまり exp と log の反復の最大数が有限でなければならないことです。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle f,}$

次の形式級数は log-exp トランス級数です。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{x^{\frac {1}{n}}}}{n!}}+x^{3}+\log x+\log \log x+\sum _{n=0}^{\infty }x^{-n}+\sum _{i=1}^{\infty }e^{-\sum _{j=1}^{\infty }e^{ix^{2}-jx}}.}$

${\displaystyle \sum _{m,n\in \mathbb {N} }x^{\frac {1}{m+1}}e^{-(\log x)^{n}}.}$

次の形式級数はlog-exp トランス級数 ではありません。

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }x^{n}}$— このシリーズは根拠があまりありません。

${\displaystyle \log x+\log \log x+\log \log \log x+\cdots }$— この級数の対数深度は無限大である

${\displaystyle {\frac {1}{2}}x+e^{{\frac {1}{2}}\log x}+e^{e^{{\frac {1}{2}}\log \log x}}+\cdots }$— この級数の指数関数的および対数関数的深さは無限である

最後の 2 つの級数を含むトランス級数の微分体を定義することは可能です。これらはそれぞれ、およびに属します (以下の「超実数の使用」の段落を参照)。 ${\displaystyle \mathbb {T} ^{EL}}$${\displaystyle \mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle }$

注目すべき事実は、基本的な非三角関数の漸近的成長率、さらには実数の順序付き指数体のモデル理論的構造で定義可能なすべての関数の漸近的成長率がすべて比較可能であることです。すべてのそのようなおよびに対して、または が成り立ちます。ここで はを意味します。関係式におけるの同値類 は の漸近的動作であり、の芽（または無限大におけるの芽）とも呼ばれます。 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\times ,<,\exp )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f\leq _{\infty }g}$${\displaystyle g\leq _{\infty }f}$${\displaystyle f\leq _{\infty }g}$${\displaystyle \exists x.\forall y>xf(y)\leq g(y)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\leq _{\infty }g\wedge g\leq _{\infty }f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

トランスシリーズ体は、これらの成長率の形式的な一般化として直感的に考えることができます。基本的な操作に加えて、トランスシリーズは、制限された指数および対数の深さを持つ適切なシーケンスの「極限」の下で閉じています。ただし、複雑なのは、成長率が非アルキメデス的であるため、最小上限プロパティを持たないことです。超実数の構成と同様に、シーケンスを最小複雑性の最小上限に関連付けることで、この問題に対処できます。たとえば、 は急速に減衰するためではなく に関連付けられており、急速な減衰を複雑性と同一視すると、必要以上に複雑性が大きくなります (また、漸近的動作のみを考慮するため、点ごとの収束は決定的ではありません)。 ${\textstyle (\sum _{k=0}^{n}x^{-k})_{n\in \mathbb {N} }}$${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{-k}}$${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{-k}-e^{-x}}$${\displaystyle e^{-x}}$

比較可能性のため、トランスシリーズには振動成長率（ など）は含まれません。一方、収束級数や実数値関数に直接対応しないトランスシリーズなどのものもあります。トランスシリーズのもう1つの制限は、それらのそれぞれが指数の塔、つまりの有限反復によって制限されるため、テトレーションやその他の超指数関数、つまり指数の塔よりも速く成長する関数が除外されることです。形式的な超指数項を含む一般化されたトランスシリーズの体を構築する方法はいくつかあり、たとえばアーベル方程式の形式的な解があります。^[3]${\displaystyle \sinx}$${\textstyle \sum _{k\in \mathbb {N} }k!e^{x^{-{\frac {k}{k+1}}}}$${\displaystyle e^{e^{.^{.^{.^{e^{x}}}}}}}$${\displaystyle e^{x}}$${\displaystyle e_{\omega}}$ ${\displaystyle e^{e_{\omega }(x)}=e_{\omega }(x+1)}$

トランスシリーズは、どの式が有効かを定義する規則、トランスシリーズの比較、算術演算、さらには微分を含む正式な（潜在的に無限の）式として定義できます。適切なトランスシリーズを対応する関数または芽に割り当てることができますが、収束には微妙な点があります。発散するトランスシリーズであっても、ボレル和の一般化である加速和を使用して、実際の成長率（トランスシリーズに対する正式な演算と一致する）を意味のある（一意の）形で割り当てることができます。

Transseries はいくつかの同等の方法で形式化できますが、ここでは最も単純な方法の 1 つを使用します。

トランスシリーズは、よく基礎づけられた合計であり、

${\displaystyle \sum a_{i}m_{i},}$

有限の指数深さを持ち、各 は非ゼロの実数であり、モニック超単項式です (は超単項式ですが、係数 でない限りモニックではありません。各 は異なります。加数の順序は無関係です)。 ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle a_{i}m_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}=1}$${\displaystyle m_{i}}$

合計は無限大または超限数になる可能性があり、通常は減少する順序で記述されます。 ${\displaystyle m_{i}}$

ここで、well-based とは、無限の昇順シーケンスが存在しないことを意味します( well-ordering を参照)。 ${\displaystyle m_{i_{1}}<m_{i_{2}}<m_{i_{3}}<\cdots }$

モニック超単項式は、1、x、log x、log log x、...、e ^{purely_large_transseries}のいずれかです。

注:であるため、これをプリミティブとして含めませんが、多くの著者は含めます。log -free transseries には含まれませんが、は許可されます。また、 purely_large_transseries (上記) の指数深度は低くなるため、定義の循環性は回避されます。定義は指数深度の再帰によって機能します。および を使用して異なるステージを明示的に分離する構成については、「反復ハーン級数としての Log-exp transseries」(下記) を参照してください。${\displaystyle x^{n}=e^{n\log x}}$${\displaystyle \log }$${\displaystyle x^{n}e^{\cdots }}$${\displaystyle x^{a}e^{\cdots }}$

純粋に大きなトランスシリーズは、すべての を満たす空でないトランスシリーズです。 ${\textstyle \sum a_{i}m_{i}}$${\displaystyle m_{i}>1}$

トランスシリーズには有限の指数的深さがあり、 eまたは logのネスト レベルごとに深さが 1 ずつ増加します (したがって、 x + log x + log log x + ...となることはできません)。

トランスシリーズの追加は項ごとに行われます: (項がない場合は係数がゼロになります)。 ${\textstyle \sum a_{i}m_{i}+\sum b_{i}m_{i}=\sum (a_{i}+b_{i})m_{i}}$

比較：

の最も重要な項は、最大の項です(合計は基数が十分あるため、これは非ゼロのトランスシリーズに存在します)。 が正である場合は、最も重要な項の係数が正です (これが、上で「純粋に大きい」を使用した理由です)。X > Yである場合は、X  −  Yが正です。 ${\textstyle \sum a_{i}m_{i}}$${\displaystyle a_{i}m_{i}}$${\displaystyle m_{i}}$${\textstyle \sum a_{i}m_{i}}$

モニック超単項式の比較:

${\displaystyle x=e^{\log x},\log x=e^{\log \log x},\ldots }$これらは私たちの建設における唯一の平等です。

${\displaystyle x>\log x>\log \log x>\cdots >1>0.}$

${\displaystyle e^{a}<e^{b}}$iff （また）。${\displaystyle a<b}$${\displaystyle e^{0}=1}$

乗算：

${\displaystyle e^{a}e^{b}=e^{a+b}}$

${\displaystyle \left(\sum a_{i}x_{i}\right)\left(\sum b_{j}y_{j}\right)=\sum _{k}\left(\sum _{i,j\,:\,z_{k}=x_{i}y_{j}}a_{i}b_{j}\right)z_{k}.}$

これは本質的には積に分配法則を適用します。つまり、級数は基数が十分あるため、内部の合計は常に有限です。

差別化:

${\displaystyle \left(\sum a_{i}x_{i}\right)'=\sum a_{i}x_{i}'}$

${\displaystyle 1'=0,x'=1}$

${\displaystyle (e^{y})'=y'e^{y}}$

${\displaystyle (\log y)'=y'/y}$(除算は乗算を使用して定義されます)。

これらの定義により、トランスシリーズは順序付き微分体です。トランスシリーズは値体でもあり、その値は主単数形超単項式によって与えられ、対応する漸近関係は(絶対値) の場合に によって定義されます。 ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle 0\neq f,g\in \mathbb {T} ^{LE}}$${\displaystyle f\prec g}$${\displaystyle \forall 0<r\in \mathbb {R} ,|f|<r|g|}$${\displaystyle |f|=\max(f,-f)}$

まず、いわゆる対数フリートランスシリーズのの部分体を定義します。これらは、対数項を一切含まないトランスシリーズです。 ${\displaystyle \mathbb {T} ^{E}}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$

帰納的定義:

について、単項式の線形順序付き乗法群を定義します。次に、 がwell-based 級数の体を表すものとします。これは、 well-based (つまり、逆 well-ordered) 台を持つ写像の集合であり、点ごとの和とコーシー積を備えています (ハーン級数を参照)。 では、 の真上にある単項式のみを台に含む級数である、純粋に大きなトランス級数の(非ユニタル) 部分環を区別します。 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{n}}$${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [[{\mathfrak {M}}_{n}]]}$${\displaystyle \mathbb {R} \to {\mathfrak {M}}_{n}}$${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E}}$${\displaystyle \mathbb {T} _{n,\succ }^{E}}$${\displaystyle 1}$

私たちは商品と注文の準備から始まります。${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{0}=x^{\mathbb {R} }}$${\displaystyle x^{a}x^{b}:=x^{a+b}}$${\displaystyle x^{a}\prec x^{b}\leftrightarrow a<b}$

が となり、したがって およびが定義される場合、が およびとなる形式表現の集合を表すものとします。これは、 または(および) の場合に限り、積および辞書式順序の下で線型順序の可換群を形成します。${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{n}}$${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E}}$${\displaystyle \mathbb {T} _{n,\succ }^{E}}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{n+1}}$${\displaystyle x^{a}e^{\theta }}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \theta \in \mathbb {T} _{n,\succ }^{E}}$${\displaystyle (x^{a}e^{\theta })(x^{a'}e^{\theta '})=(x^{a+a'})e^{\theta +\theta '}}$${\displaystyle x^{a}e^{\theta }\prec x^{a'}e^{\theta '}}$${\displaystyle \theta <\theta '}$${\displaystyle \theta =\theta '}$${\displaystyle a<a'}$

と を同一視して帰納的にをに自然に含めることにより、を に自然に埋め込み、したがって を に自然に埋め込みます。次に、線型順序付き可換群と、対数フリーのトランスシリーズの体である 順序付き体を定義します。${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{1}}$${\displaystyle x^{a}}$${\displaystyle x^{a}e^{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{n+1}}$${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E}}$${\displaystyle \mathbb {T} _{n+1}^{E}}$${\textstyle {\mathfrak {M}}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {M}}_{n}}$${\textstyle \mathbb {T} ^{E}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {T} _{n}^{E}}$

体は、 の実係数と単項式を持つ基底の整った級数の体の適切な部分体です。実際、 の級数はすべて、となる最小の正の整数である有界指数深度を持ちますが、級数 ${\displaystyle \mathbb {T} ^{E}}$${\displaystyle \mathbb {R} [[{\mathfrak {M}}]]}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{E}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f\in \mathbb {T} _{n}^{E}}$

${\displaystyle e^{-x}+e^{-e^{x}}+e^{-e^{e^{x}}}+\cdots \in \mathbb {R} [[{\mathfrak {M}}]]}$

そのような制限はありません。

指数関数：${\displaystyle \mathbb {T} ^{E}}$

対数自由トランスシリーズ体には、特定の射 である指数関数が備えられています。を対数自由トランスシリーズとし、を の指数深さとすると、 となります。を の 和として書きます。ここで、は実数であり、は無限小です (いずれも 0 になる場合があります)。すると、正式なハーン和 ${\displaystyle \exp :(\mathbb {T} ^{E},+)\to (\mathbb {T} ^{E,>},\times )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\in \mathbb {T} _{n}^{E}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f=\theta +r+\varepsilon }$${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E},}$${\displaystyle \theta \in \mathbb {T} _{n,\succ }^{E}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle E(\varepsilon ):=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {\varepsilon ^{k}}{k!}}}$

は で収束し、 はにおける実指数関数の値であると定義します。 ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E}}$${\displaystyle \exp(f)=e^{\theta }\exp(r)E(\varepsilon )\in \mathbb {T} _{n+1}^{E}}$${\displaystyle \exp(r)}$${\displaystyle r}$

右合成:${\displaystyle e^{x}}$

級数の正しい構成は指数関数の深さの帰納法によって定義できる。 ${\displaystyle \circ _{e^{x}}}$${\displaystyle e^{x}}$

${\displaystyle \left(\sum f_{\mathfrak {m}}{\mathfrak {m}}\right)\circ e^{x}:=\sum f_{\mathfrak {m}}({\mathfrak {m}}\circ e^{x}),}$

とします。帰納的に単項式は によって保存されるため、各帰納的ステップで和は適切に基づいており、したがって適切に定義されます。 ${\displaystyle x^{r}\circ e^{x}:=e^{rx}}$${\displaystyle \circ _{e^{x}},}$

意味：

上記で定義された関数は全射ではないため、対数は 上で部分的にしか定義されません。たとえば、級数には対数が存在しません。さらに、すべての正の無限対数フリーのトランス級数は の正のべき乗よりも大きくなります。からに移動するには、 で表される - 倍の反復指数項の正式な逆数のように動作する、級数の変数に形式的な反復対数を単に「挿入」することができます。 ${\displaystyle \exp }$${\displaystyle \mathbb {T} ^{E,>}}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{E}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{E}}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \ell _{n},n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle e_{n}}$

について、が の形式表現の集合を表すものとします。 を定義し、のときはを定義して、これを順序付きグループに変換します。を定義します。 および の場合、項を持つ 要素を識別して に埋め込みます。${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} ,}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{m,n}}$${\displaystyle {\mathfrak {u}}\circ \ell _{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {u}}\in {\mathfrak {M}}_{m}}$${\displaystyle ({\mathfrak {u}}\circ \ell _{n})({\mathfrak {v}}\circ \ell _{n}(x)):=({\mathfrak {u}}{\mathfrak {v}})\circ \ell _{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {u}}\circ \ell _{n}\prec {\mathfrak {v}}\circ \ell _{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {u}}\prec {\mathfrak {v}}}$${\displaystyle \mathbb {T} _{m,n}^{LE}:=\mathbb {R} [[{\mathfrak {M}}_{m,n}]]}$${\displaystyle n'>n}$${\displaystyle m'\geq m+(n'-n),}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{m,n}}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{m',n'}}$${\displaystyle {\mathfrak {u}}\circ \ell _{n}}$

${\displaystyle \left({\mathfrak {u}}\circ \overbrace {e^{x}\circ \cdots \circ e^{x}} ^{n'-n}\right)\circ \ell _{n'}.}$

すると、有向和として ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$

${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}=\bigcup _{m,n\in \mathbb {N} }\mathbb {T} _{m,n}^{LE}.}$

右辺の合成は、自然に次のように定義されます。 ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE},}$${\displaystyle \circ _{\ell }}$${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \mathbb {T} _{m,n}^{LE}\ni \left(\sum f_{{\mathfrak {m}}\circ \ell _{n}}{\mathfrak {m}}\circ \ell _{n}\right)\circ \ell :=\sum f_{{\mathfrak {m}}\circ \ell _{n}}{\mathfrak {m}}\circ \ell _{n+1}\in \mathbb {T} _{m,n+1}^{LE}.}$

指数と対数:

指数関数は、対数自由トランス級数の場合と同様に上で定義できますが、上でも逆数を持ちます。実際、厳密に正の級数 に対して、 と書きます。ここでは(その台の最大元)の支配単項式、は対応する正の実数係数、は無限小です。正式なハーン和 ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$${\displaystyle \exp }$${\displaystyle \log }$${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE,>}}$${\displaystyle f\in \mathbb {T} _{m,n}^{LE,>}}$${\displaystyle f={\mathfrak {m}}r(1+\varepsilon )}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \varepsilon :={\frac {f}{{\mathfrak {m}}r}}-1}$

${\displaystyle L(1+\varepsilon ):=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {(-\varepsilon )^{k}}{k+1}}}$

は に収束します。 と書きます。はの形を持ち、 となります。 を定義します。 最後に、 ${\displaystyle \mathbb {T} _{m,n}^{LE}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}={\mathfrak {u}}\circ \ell _{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {u}}\in {\mathfrak {M}}_{m}}$${\displaystyle {\mathfrak {u}}=x^{a}e^{\theta }}$${\displaystyle \theta \in \mathbb {T} _{m,\succ }^{E}}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \ell ({\mathfrak {m}}):=a\ell _{n+1}+\theta \circ \ell _{n}}$

${\displaystyle \log(f):=\ell ({\mathfrak {m}})+\log(c)+L(1+\varepsilon )\in \mathbb {T} _{m,n+1}^{LE}.}$

また、log-exp 超級数体を超実数体の部分体として定義することもできる。^[4]この体にはゴンショア-クラスカルの指数関数と対数関数^[5]が備わっており、コンウェイ正規形の下での well-based 級数体の自然な構造も備わっている。^[6]${\displaystyle \mathbf {No} }$${\displaystyle \mathbf {No} }$

によって生成されるの部分体と最も単純な正の無限超実数(これは自然に順序数 に対応し、超級数として級数 に対応します) を定義します。次に、 に対して、によって生成される体、 の元の指数関数、 の正に正の元の対数、および 内の加算可能族の (ハーン) 和として を定義します。この和集合はと自然に同型です。実際、を に送信し、 内の累乗および内の加算可能族の和と交換できる唯一の同型が にあります。 ${\displaystyle F_{0}^{LE}=\mathbb {R} (\omega )}$${\displaystyle \mathbf {No} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle x}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle F_{n+1}^{LE}}$${\displaystyle F_{n}^{LE}}$${\displaystyle F_{n}^{LE}}$${\displaystyle F_{n}^{LE}}$${\displaystyle F_{n}^{LE}}$${\textstyle F_{\omega }^{LE}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }F_{n}^{LE}}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle x}$${\displaystyle F_{\omega }^{LE}}$${\displaystyle F_{\omega }}$

• このプロセスを を超えて超限帰納的に続け、極限順序数での和集合をとると、の微分と合成を拡張する正規化された適切なクラスサイズの体が得られます(以下の超級数上の演算を参照)。${\displaystyle \mathbf {Ord} }$${\displaystyle F_{\omega }^{LE}}$${\displaystyle \mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle }$${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$

• の代わりに、によって生成される部分体と における のすべての有限反復から始め、がによって生成される部分体である場合、 の元の指数関数と における加算可能な族の和であるとき、指数対数トランスシリーズ体の同型コピーが得られます。これは、全指数関数を備えた の適切な拡張です。^[7]${\displaystyle F_{0}^{LE}}$${\displaystyle F_{0}^{EL}:=\mathbb {R} (\omega ,\log \omega ,\log \log \omega ,\ldots )}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \log }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,F_{n+1}^{EL}}$${\displaystyle F_{n}^{EL}}$${\displaystyle F_{n}^{EL}}$${\displaystyle F_{n}^{EL}}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{EL}}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$

のベラルドゥッチ-マントヴァ導出^[8]は、その自然導出と一致し、およびの指数順序体構造および一般化級数体構造との適合関係を満たす唯一のものである。${\displaystyle \mathbf {No} }$${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{EL}}$${\displaystyle \mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle .}$

とにおける導出とは反対に、は射影的ではない。例えば、級数 ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE},}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{EL}}$${\displaystyle \mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle }$

${\displaystyle {\frac {1}{\omega \log \omega \log \log \omega \cdots }}:=\exp(-(\log \omega +\log \log \omega +\log \log \log \omega +\cdots ))\in \mathbb {T} ^{EL}}$

またはには原始微分がありません(これは、これらのフィールドに超指数関数が含まれていないという事実に関連しています)。 ${\displaystyle \mathbb {T} ^{EL}}$${\displaystyle \mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle }$

トランスシリーズは非常に強力な閉包特性を持ち、トランスシリーズ上で多くの操作を定義できます。

• Log-exp トランスシリーズは指数的に閉じた順序体を形成します。指数関数と対数関数は完全です。例:

${\displaystyle \exp(x^{-1})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{-n}\quad {\text{and}}\quad \log(x+\ell )=\ell +\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(x^{-1}\ell )^{n}}{n+1}}.}$

• 対数は正の引数に対して定義されます。
• Log-exp トランスシリーズは実数閉です。
• 積分: すべての log-exp トランスシリーズには、定数項がゼロの一意の原始微分、およびがあります。${\displaystyle f}$${\displaystyle F\in \mathbb {T} ^{LE}}$${\displaystyle F'=f}$${\displaystyle F_{1}=0}$
• 対数不定積分: に対して、 が成り立ちます。${\displaystyle f\in \mathbb {T} ^{LE}}$${\displaystyle h\in \mathbb {T} ^{LE}}$${\displaystyle f'=fh'}$

注 1.最後の 2 つの特性は、がリウヴィル閉であることを意味します。 ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$

注 2.基本的な非三角関数と同様に、各正の無限超級数は、強い意味でも整数指数性を持ちます。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \exists k,n\in \mathbb {N} :\quad \ell _{n-k}-1\leq \ell _{n}\circ f\leq \ell _{n-k}+1.}$

この数は一意であり、の指数性と呼ばれます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle f}$

の本来の特性は、（ は正の無限大の log-exp トランスシリーズ全体の集合）合成が可能であり、これにより各 log-exp トランスシリーズを 上の関数として見ることができるという点です。簡単に言うと、およびについて、の変数の各出現を で置き換えることによって級数が得られます。 ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$${\displaystyle \circ :\mathbb {T} ^{LE}\times \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }\to \mathbb {T} ^{LE}}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$${\displaystyle g\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$${\displaystyle f\in \mathbb {T} ^{LE}}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

• 結合性:およびに対して、および が成り立ちます。${\displaystyle f\in \mathbb {T} ^{LE}}$${\displaystyle g,h\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$${\displaystyle g\circ h\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$${\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h}$
• 右合成の互換性: に対して、関数は の自己同型体であり、形式和と可換であり、 に、 に、 に送出されます。も成り立ちます。${\displaystyle g\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$${\displaystyle \circ _{g}:f\mapsto f\circ g}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle g}$${\displaystyle e^{x}}$${\displaystyle \exp(g)}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \log(g)}$${\displaystyle \circ _{x}=\operatorname {id} _{\mathbb {T} ^{LE}}}$
• 単一性: 構成は前述の 2 つの特性を満たす一意のものです。
• 単調性: の場合、関数は上で定数または厳密に単調です。単調性は の符号に依存します。${\displaystyle f\in \mathbb {T} ^{LE}}$${\displaystyle g\mapsto f\circ g}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$${\displaystyle f'}$
• 連鎖律:およびに対して、 が成り立ちます。${\displaystyle f\in \mathbb {T} ^{LE}\times }$${\displaystyle g\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$${\displaystyle (f\circ g)'=g'f'\circ g}$
• 関数の逆関数: に対して、となる一意の級数が存在します。${\displaystyle g\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$${\displaystyle h\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$${\displaystyle g\circ h=h\circ g=x}$
• テイラー展開: 各log-expトランスシリーズは、あらゆる点の周囲にテイラー展開を持ち、あらゆる に対して、十分に小さい に対して、次式が成り立つ。${\displaystyle f}$${\displaystyle g\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {T} ^{LE}}$

${\displaystyle f\circ (g+\varepsilon )=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {f^{(k)}\circ g}{k!}}\varepsilon ^{k}}$

ここで、和は、加算可能な族の正式なハーン和です。

• 分数反復：指数関数と任意の実数に対して、分数反復が定義される。^[9]${\displaystyle f\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f^{a}}$${\displaystyle f}$

の理論は決定可能であり、次のように公理化できます (これは Aschenbrenner らの定理 2.2 です)。 ${\displaystyle \left\langle +,\times ,\partial ,<,\prec \right\rangle }$${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$

• ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$順序付けられた値の微分体です。
• ${\displaystyle f>0\wedge f\succ 1\Longrightarrow f'>0}$
• ${\displaystyle f\prec 1\Longrightarrow f'\prec 1}$
• ${\displaystyle \forall f\exists g:\quad g'=f}$
• ${\displaystyle \forall f\exists h:\quad h'=fh}$
• 中間値プロパティ (IVP):

${\displaystyle P(f)<0\wedge P(g)>0\Longrightarrow \exists h:\quad P(h)=0,}$

ここでPは微分多項式、すなわち${\displaystyle f,f',f'',\ldots ,f^{(k)}.}$

この理論では、指数関数は本質的に関数（微分法を使用）に対して定義されますが、定数に対しては定義されません。実際、 の定義可能なすべての部分集合は半代数的です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

の理論は、指数実順序指数体 の理論であり、ウィルキーの定理によってモデル完全になります。 ${\displaystyle \langle +,\times ,\exp ,<\rangle }$${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\times ,\exp ,<)}$

${\displaystyle \mathbb {T} _{\mathrm {as} }}$は加速和可能トランスシリーズ体であり、加速和を使用すると、対応するハーディ体が得られ、これは のサブフィールドに対応する最大ハーディ体であると予想されます。(ハーディ体の の微分サブフィールドへの同型がどれであるかを定義していないため、この予想は非公式です。) は、の上記の公理を満たすと予想されます。加速和を定義せずに、収束トランスシリーズに対する操作が発散トランスシリーズを生成する一方で、対応する芽に対する同じ操作が有効な芽を生成する場合、発散トランスシリーズをその芽に関連付けることができることに注意してください。 ${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle \mathbb {T} _{\mathrm {as} }}$${\displaystyle \mathbb {T} }$

ハーディ体は、どのハーディ体にも適切に含まれない場合に最大であると言われる。ゾルンの補題を適用すると、すべてのハーディ体は最大ハーディ体に含まれる。すべての最大ハーディ体は微分体と基本的同値であり、実際にと同じ第1階理論を持つと予想されます。^[10]対数トランスシリーズ自体は最大ハーディ体に対応しません。すべてのトランスシリーズが実関数に対応するわけではなく、最大ハーディ体には常に超指数関数が含まれるためです。^[11]${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$

• 形式冪級数
• ハーンシリーズ
• 指数関数的に閉じた体
• ハーディフィールド

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