ウルトラプロダクト

超積は、主に抽象代数学と数理論理学、特にモデル理論と集合論に現れる数学的構成です。超積は、構造の族の直積の商です。すべての因子は同じシグネチャを持つ必要があります。超べき乗は、すべての因子が等しいこの構成の特殊なケースです。

たとえば、超冪は、与えられた体から新しい体を構築するために使用できます。実数の超冪である超実数は、この特殊なケースです。

超積の注目すべき応用としては、コンパクト性定理と完全性定理の非常にエレガントな証明、基本同値性の意味概念の代数的特徴付けを与えるKeislerの超冪定理、および、非標準解析モデルを構築するためにスーパーストラクチャとその単射を使用する Robinson–Zakon の提示があり、これにより、アブラハム・ロビンソンによって (コンパクト性定理の応用として) 開拓された非標準解析の分野の成長につながりました。

超積を得るための一般的な方法は、各要素（すべて同じシグネチャ）のインデックスセット構造（この記事では空ではないと仮定）と、超フィルタを使用する。${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle M_{i}}$${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle I.}$

直積の任意の2つの要素とに対して、それらが-同値 であると宣言し、またはと書き、それらが一致するインデックスの集合が記号の の要素である場合に限り、 超フィルタに対してのみ成分を比較します。 この2項関係は直積上の同値関係^[証明1]です。${\displaystyle a_{\bullet }=\left(a_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle b_{\bullet }=\left(b_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\textstyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i},}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle a_{\bullet }\sim b_{\bullet }}$${\displaystyle a_{\bullet }=_{\mathcal {U}}b_{\bullet },}$${\displaystyle \left\{i\in I:a_{i}=b_{i}\right\}}$${\displaystyle {\mathcal {U}};}$$${\displaystyle a_{\bullet }\sim b_{\bullet }\;\iff \;\left\{i\in I:a_{i}=b_{i}\right\}\in {\mathcal {U}},}$$${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}.}$

を法とする超積はの${\displaystyle M_{\bullet }=\left(M_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$商集合であり、そのため またはと表記されることもある。${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}\,/\,{\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }.}$

明示的には、ある要素の-同値類が で表されている 場合、超積はすべての- 同値類 の集合である。${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle a\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}}$$${\displaystyle a_{\mathcal {U}}:={\big \{}x\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}\;:\;x\sim a{\big \}}}$$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$$${\displaystyle {\prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }\;=\;\prod _{i\in I}M_{i}\,/\,{\mathcal {U}}\;:=\;\left\{a_{\mathcal {U}}\;:\;a\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}\right\}.}$$

は超フィルタであると仮定したが、上記の構成は、が単にフィルタである場合に、より一般的に実行することができ、その場合、結果として得られる商集合はと呼ばれる。${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle I,}$${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}/\,{\mathcal {U}}}$削減された製品。

が主ウルトラフィルタである場合（その核が含まれる場合に限ります）、ウルトラ積は因数の 1 つと同型です。したがって、通常、 は主ウルトラフィルタではありません。主ウルトラフィルタ は、が自由（つまり）である場合、または同等に、のすべてのコ有限部分集合が の要素である場合に限ります。 有限集合上のすべてのウルトラフィルタは主であるため、インデックス集合も通常は無限になります。 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \cap \,{\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle \cap \,{\mathcal {U}}=\varnothing }$${\displaystyle I}$${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$${\displaystyle I}$

超積は、フィルタされたコンポーネントでのみ等しい要素が等しい (フィルタされていないコンポーネントは同値性の下では無視される) フィルタ積空間として機能します。およびそれ以外の場合を述べることで、インデックス セット上で有限加法測度を定義できます。すると、デカルト積の 2 つのメンバーは、インデックス セット上の ほぼすべての場所で等しい場合、正確に同値になります。超積は、このようにして生成された同値類のセットです。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle I}$${\displaystyle m(A)=1}$${\displaystyle A\in {\mathcal {U}}}$${\displaystyle m(A)=0}$

デカルト積に対する有限演算は点ごとに定義されます (たとえば、が 2 項関数である場合、 )。他の関係も同様に拡張できます。 ここで、 はに対するの同値類を表します。 特に、任意の が順序付き体である場合、超積も順序付き体です。 ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}}$${\displaystyle +}$${\displaystyle a_{i}+b_{i}=(a+b)_{i}}$$${\displaystyle R\left(a_{\mathcal {U}}^{1},\dots ,a_{\mathcal {U}}^{n}\right)~\iff ~\left\{i\in I:R^{M_{i}}\left(a_{i}^{1},\dots ,a_{i}^{n}\right)\right\}\in {\mathcal {U}},}$$${\displaystyle a_{\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \sim .}$${\displaystyle M_{i}}$

超パワーとは、すべての要素が等しい超製品である。${\displaystyle M_{i}}$集合の を法とする超冪は${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$、すべての添字に対してで定義される添字族の超積である 超冪は で表すこともできるし、（は で表されることが多い） で ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}\,/\,{\mathcal {U}}={\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }}$${\displaystyle M_{\bullet }:=\left(M_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle M_{i}:=M}$${\displaystyle i\in I.}$${\displaystyle {\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M}$${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M}$${\displaystyle M^{I}}$$${\displaystyle M^{I}/{\mathcal {U}}~:=~\prod _{i\in I}M\,/\,{\mathcal {U}}\,}$$

に対して、定数マップを表すとします。定数マップ/タプルは直積の要素であるため、割り当てによってマップが定義されます 。${\displaystyle m\in M,}$${\displaystyle (m)_{i\in I}}$${\displaystyle I\to M}$${\displaystyle m.}$${\displaystyle M^{I}={\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M}$${\displaystyle m\mapsto (m)_{i\in I}}$${\displaystyle M\to {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M.}$の自然な埋め込みは、${\displaystyle M}$${\displaystyle {\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M}$定数タプルの同値類に要素を送る写像である${\displaystyle M\to {\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M}$${\displaystyle m\in M}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle (m)_{i\in I}.}$

超実数は、すべてのコ有限集合を含む自然数上の超フィルターに関して、すべての自然数に対する実数のコピーの超積です。それらの順序は、実数の順序の拡張です。たとえば、によって示されるシーケンスは、任意の実数よりも大きい超実数を表す同値クラスを定義します。 ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{i}=i}$

同様に、対応する構造のコピーの超積を取ることで、 非標準の整数、非標準の複素数などを定義できます。

関係を超積に持ち越す例として、によって定義されるシーケンスを考えてみましょう。すべてに対して、の同値類はの同値類よりも大きいため、これは元々構築されたものよりも大きい無限数として解釈できます。ただし、 はと等しくありませんが、と が一致するインデックスの集合は任意の超フィルタのメンバーであるため (と はほとんどすべての場所で一致するため)、と は同じ同値類に属します。 ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi _{i}=2i.}$${\displaystyle \psi _{i}>\omega _{i}=i}$${\displaystyle i,}$${\displaystyle \psi _{i}=2i}$${\displaystyle \omega _{i}=i,}$${\displaystyle \chi _{i}=i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle 7,}$${\displaystyle \chi _{7}=8.}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \chi }$

大きな基数の理論では、標準的な構成は、注意深く選ばれた超フィルタに関して集合論的宇宙全体の超積を取ることです。この超フィルタの特性は、超積の (より高次の) 特性に強い影響を及ぼします。たとえば、 が -完全である場合、超積は再び整基礎になります。(典型的な例については、 可測基数を参照してください。)${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle \sigma }$

Łośの定理は、超積の基本定理とも呼ばれ、 Jerzy Łoś（姓は[ˈwɔɕ]と発音され、ほぼ「洗う」）によるものです。これは、任意の一階述語論理式が超積で真となるのは、その論理式が真となるような添え字の集合が の要素である場合のみであると述べています。より正確に は、${\displaystyle i}$${\displaystyle M_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$

をシグネチャ、集合上の超フィルタとし、それぞれに対してを構造とします。またはをに対するの超積とします。 すると、それぞれに対して、およびすべての式に対して、となります。${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle I,}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle M_{i}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }}$${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}/{\mathcal {U}}}$${\displaystyle M_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$${\displaystyle a^{1},\ldots ,a^{n}\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i},}$${\displaystyle a^{k}=\left(a_{i}^{k}\right)_{i\in I},}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \phi ,}$ $${\displaystyle {\prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }\models \phi \left[a_{\mathcal {U}}^{1},\ldots ,a_{\mathcal {U}}^{n}\right]~\iff ~\{i\in I:M_{i}\models \phi [a_{i}^{1},\ldots ,a_{i}^{n}]\}\in {\mathcal {U}}.}$$

この定理は、式 の複雑さに関する帰納法によって証明されます。が超フィルタである（単なるフィルタではない）という事実は否定節で使用され、存在量化子のステップでは選択公理が必要になります。応用として、超実数体の転送​​定理が得られます。 ${\displaystyle \phi .}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

を構造内の単項関係とし、の超冪 を形成します。すると、集合には の超冪 における類似物があり、 を含む一階の論理式も に対して有効です。たとえば、を実数とし、が有理数である場合に が成り立つとします。すると、 では、任意の有理数のペアと に対して、が有理数ではない別の数が存在し、 であると言うことができます。これは、関連する形式言語で一階の論理式に変換できるため、Łoś の定理は が同じ特性を持つことを意味します。つまり、超実数のサブセットである超有理数の概念を定義でき、それらは有理数と同じ一階の特性を持ちます。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle M.}$${\displaystyle S=\{x\in M:Rx\}}$${\displaystyle {}^{*}S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {}^{*}S.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle Rx}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y,}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x<z<y.}$${\displaystyle {}^{*}S}$

しかし、実数のアルキメデスの性質を考えてみましょう。これは、無限リスト内のあらゆる不等式に対して となる実数は存在しない、というものです。アルキメデスの性質は一階述語論理では述べられないため、ウォシュの定理はアルキメデスの性質には適用されません。実際、上記の超実数の構成で示されているように、アルキメデスの性質は超実数に対しては偽です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x>1,\;x>1+1,\;x>1+1+1,\ldots }$${\displaystyle \omega }$

モデル理論と集合論では、超冪の列の直接的な極限がしばしば考慮されます。モデル理論では、この構成は超極限または極限超冪と呼ばれます。

構造と超フィルターから始めて、超べき乗を形成し、その後、形成するプロセスを繰り返します。それぞれに対して、標準的な対角埋め込みがあります。限界段階では、前の段階の直接の限界を形成します。超限まで続けることもできます。 ${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{0},}$${\displaystyle A_{1}.}$${\displaystyle A_{2},}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A_{n}\to A_{n+1}.}$${\displaystyle A_{\omega },}$

ウルトラフィルタモナドは、有限集合のカテゴリをすべての集合のカテゴリに含める共密度モナドです。^[1]

同様に、超積モナドは、有限インデックス集合族のカテゴリすべてのインデックス集合族カテゴリに包含するコデンシティモナドです^{。したがって、この意味では、超積はカテゴリ的に必然的です。 [1]} 明示的に、のオブジェクトは、空でないインデックス集合とインデックス集合族で構成されます。2つのオブジェクト間の射は、インデックス集合間の関数インデックス関数 カテゴリはインデックス集合がすべてのオブジェクトで構成されるこのカテゴリの完全なサブカテゴリです。包含マップのコデンシティモナドは、本質的に次のように与えられます。 ${\displaystyle \mathbf {FinFam} }$ ${\displaystyle \mathbf {Fam} }$${\displaystyle \mathbf {Fam} }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(M_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle \left(N_{i}\right)_{j\in J}\to \left(M_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle \phi :I\to J}$${\displaystyle J}$${\displaystyle \left(\phi _{j}\right)_{j\in J}}$${\displaystyle \phi _{j}:M_{\phi (j)}\to N_{j}.}$${\displaystyle \mathbf {FinFam} }$${\displaystyle \mathbf {Fam} }$${\displaystyle \left(M_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \mathbf {FinFam} \hookrightarrow \mathbf {Fam} }$$${\displaystyle \left(M_{i}\right)_{i\in I}~\mapsto ~\left(\prod _{i\in I}M_{i}\,/\,{\mathcal {U}}\right)_{{\mathcal {U}}\in U(I)}\,.}$$

• コンパクト性定理 – 数理論理学における定理
• エクステンダー（集合論）  – 集合論において、大きな基数特性を証明する基本的な埋め込みを表現する超フィルターのシステムPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• レーヴェンハイム・スコーレム定理 – 論理理論のモデルの存在と濃度
• 伝達原理 – モデル理論における概念
• ウルトラフィルター – 最大限適切なフィルター

証明

• Bell, John Lane; Slomson, Alan B. (2006) [1969]. Models and Ultraproducts: An Introduction (1974年版の再版). Dover Publications . ISBN 0-486-44979-3。
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, HP (2000) [1981]. 普遍代数のコース (ミレニアム版)。