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非標準解析において、標準部分関数は有限の超実数から実数への関数です。簡単に言うと、標準部分関数は有限の超実数を最も近い実数に「丸め」ます。このような超実数にはすべて、それに無限に近い唯一の実数、つまり無限小が関連付けられます。したがって、これはピエール・ド・フェルマー^[1]によって導入された歴史的概念である等値性、およびライプニッツの超越同次法則の数学的実装です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x-x_{0}}$

標準部分関数は、超実数の標準部分の表記法を使用したアブラハム・ロビンソンによって初めて定義されました（Robinson 1974を参照）。この概念は、非標準解析における連続性、微分、積分などの微積分の概念を定義する上で重要な役割を果たします。後者の理論は、無限小値での計算を厳密に形式化したものです。xの標準部分は、その影と呼ばれることもあります。^[2]${\displaystyle {}^{\circ }x}$${\displaystyle x}$

非標準解析は主にペア を扱います。ここで、超実数は実数の順序付きフィールド拡張であり、実数に加えて無限小数を含みます。超実数ラインでは、すべての実数に、それに無限に近い超実数の数の集合（モナドまたはハローと呼ばれる）があります。標準部分関数は、有限の超実数xに、それに無限に近い唯一の標準実数x ₀を関連付けます。この関係は、記号的に次のように表されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \operatorname {st} (x)=x_{0}.}$

任意の無限小の標準部分は0 です。したがって、 N が無限超自然である場合、1/ N は無限小であり、st(1/ N ) = 0 です。

超実数が超べき構成におけるコーシー列によって表現される場合、 ${\displaystyle u}$${\displaystyle \langle u_{n}:n\in \mathbb {N} \rangle }$

${\displaystyle \operatorname {st} (u)=\lim _{n\to \infty }u_{n}.}$

より一般的には、各有限は（ 上の全順序を介して）部分集合上のデデキント切断を定義し、対応する実数はuの標準部分です。 ${\displaystyle u\in {}^{*}\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R} }$${\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {R} }$

標準部分関数「st」は内部集合によって定義されません。これを説明する方法はいくつかあります。おそらく最も単純なのは、その定義域 L は有限 (つまり有限) 超実数の集合であり、内部集合ではないということです。つまり、L は (たとえば任意の無限超実数によって) 有界であるため、L が内部であれば L は最小上限を持つ必要がありますが、L には最小上限がありません。あるいは、「st」の値域は であり、これは内部ではありません。実際、のサブセットである のすべての内部集合は必然的に有限です。^[3]${\displaystyle \mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R} }$${\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

微積分の伝統的な概念はすべて、次のように標準部分関数で表現できます。

標準部分関数は関数fの導関数を定義するために使用されます。fが実関数で、hが無限小で、f ′( x ) が存在する場合、

${\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right).}$

あるいは、 の場合、無限小増分 を取り、対応する を計算します。比 を形成します。導関数は、比の標準部分として定義されます。 ${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)}$${\textstyle {\frac {\デルタ y}{\デルタ x}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\operatorname {st} \left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right).}$

上の関数が与えられたとき、区間 [ a , b ] の超有限分割を利用して、の値が無限小であるとみなされるときの無限リーマン和の標準部分として積分を定義します。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$${\displaystyle S(f,a,b,\Delta x)}$${\displaystyle \Delta x}$

シーケンス が与えられた場合、その極限は によって定義されます。ここで は無限インデックスです。ここで、選択された無限インデックスに関係なく標準部分が同じである場合、極限が存在すると言われます。 ${\displaystyle (u_{n})}$${\textstyle \lim _{n\to \infty }u_{n}=\operatorname {st} (u_{H})}$${\displaystyle H\in {}^{*}\mathbb {N} \setminus \mathbb {N} }$

実関数が実点で連続であるためには、その合成がのハロー上で一定である必要があります。詳細については、 ミクロ連続性を参照してください。${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \operatorname {st} \circ f}$${\displaystyle x}$

• 平等
• 非標準微積分

• H. ジェローム キースラー著「初等微積分学：無限小アプローチ」。第 1 版 1976 年、第 2 版 1986 年。(この本は現在絶版です。出版社は著作権を著者に返還し、著者は第 2 版を .pdf 形式で http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html からダウンロードできるようにしています。)
• アブラハム・ロビンソン。非標準解析。第 2 版 (1974 年) の再版。ウィルヘルムス AJ ルクセンブルグによる序文付き。プリンストン数学のランドマーク。プリンストン大学出版局、プリンストン、ニュージャージー、1996 年。xx+293 ページ。ISBN 0-691-04490-2