微分の直線性

微積分学では、関数の任意の線形結合の導関数は、関数の導関数の同じ線形結合に等しい。 ^[1]この性質は、微分の線形性、線形性の規則、^[2]または微分の重ね合わせの規則として知られている。 ^[3]これは、微分の基本的な性質であり、和の規則(2 つの関数の和の導関数は、導関数の和である) と定数因子の規則(関数の定数倍の導関数は、導関数の同じ定数倍である) という2 つのより単純な微分規則を 1 つの規則にまとめたものである。 ^{[4] [5]したがって、微分は}線形である、または微分演算子は線形演算子であると言うことができる。^[6]

fとgをαとβが定数である関数とする。

${\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x)+\beta \cdot g(x)).}$

微分法の和則によれば、これは

${\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x))+{\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\beta \cdot g(x)),}$

そして、微分法における定数倍則により、これは次のように帰着する。

${\displaystyle \alpha \cdot f'(x)+\beta \cdot g'(x).}$

したがって、

${\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x)+\beta \cdot g(x))=\alpha \cdot f'(x)+\beta \cdot g'(x).}$

括弧を省略すると、次のように記述されることが多いです。

${\displaystyle (\alpha \cdot f+\beta \cdot g)'=\alpha \cdot f'+\beta \cdot g'.}$

線形性原理全体を一度に証明することも、個々のステップ (定数係数と加算) を個別に証明することもできます。ここでは、両方を示します。

線形性を直接証明すると、定数係数則、和則、および差分則も特別なケースとして証明されます。和則は、両方の定数係数を に設定することで得られます。差分則は、最初の定数係数を に設定し、2 番目の定数係数を に設定することで得られます。定数係数則は、2 番目の定数係数または 2 番目の関数のいずれかを に設定することで得られます。(技術的な観点からは、 2 番目の関数のドメインも考慮する必要があります。問題を回避する 1 つの方法は、2 番目の関数を最初の関数に等しくし、2 番目の定数係数を に設定することです。また、2 番目の定数係数と 2 番目の関数の両方を 0 に定義することもできます。この場合、2 番目の関数のドメインは、他の可能性の中でも、最初の関数のスーパーセットになります。) ${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0}$

逆に、定数因数規則と和則を最初に証明すれば、線形性と差分規則を証明できます。線形性の証明は、最初の関数と 2 番目の関数を、定数係数が乗じられた 2 つの関数として定義することによって行われます。次に、前のセクションの導出で示したように、最初に和則を使用して微分し、次に定数因数規則を使用して、線形性の結論に到達します。差分規則を証明するには、2 番目の関数を、定数係数 が乗じられた別の関数として再定義できます。これを簡略化すると、微分に関する差分規則が得られます。 ${\displaystyle -1}$

以下の証明/導出では、^{[7] [8]}の係数が使用され、それらは上記の係数に対応しています。 ${\displaystyle a,b}$${\displaystyle \alpha ,\beta }$

とします。 を関数とします。を関数とします。ただし は、と が両方とも定義されている場合にのみ定義されます。(言い換えると、 の定義域は、 と の定義域の共通部分です。)を の定義域とします。 とします。 ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$${\displaystyle f,g}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle x}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j(x)=af(x)+bg(x)}$

それを証明したいのです。 ${\displaystyle j^{\prime }(x)=af^{\prime }(x)+bg^{\prime }(x)}$

定義によれば、

$${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {j(x+h)-j(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\left(af(x+h)+bg(x+h)\right)-\left(af(x)+bg(x)\right)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}\left(a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\\end{aligned}}}$$

極限の和の極限法則を使用するには、と がそれぞれ別々に存在することを知る必要があります。これらのより小さな極限については、とがそれぞれ別々に存在することを知ることで、極限の係数法則を使用できます。定義により、と です。したがって、と がそれぞれ別々に存在することがわかれば、と がそれぞれ別々に存在することがわかります。これにより、極限の係数法則を使用して次のように書くことができます。 ${\textstyle \lim _{h\to 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$${\textstyle \lim _{h\to 0}b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$${\textstyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$${\textstyle g^{\prime }(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$${\displaystyle f^{\prime }(x)}$${\displaystyle g^{\prime }(x)}$${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$

$${\displaystyle \lim _{h\to 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=a\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$$

そして

$${\displaystyle \lim _{h\to 0}b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}=b\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}.}$$

これで、と がそれぞれ別々に存在することがわかっているので、極限の和に対する極限法則を適用することができます。ここから、作業していた導関数に直接戻ることができます。最後に、最初に主張したことを証明しました。 ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}\left(a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\&=\lim _{h\rightarrow 0}\left(a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right)+\lim _{h\rightarrow 0}\left(b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\&=a\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right)+b\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\&=af^{\prime }(x)+bg^{\prime }(x)\end{aligned}}}$$${\displaystyle j^{\prime }(x)=af^{\prime }(x)+bg^{\prime }(x)}$

を関数とします。を関数とします。ただし、はと が両方とも定義されている場合にのみ定義されます。(言い換えると、 の定義域はとの定義域の共通部分です。)を の定義域とします。 とします。 ${\displaystyle f,g}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle x}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j(x)=f(x)+g(x)}$

それを証明したいのです。 ${\displaystyle j^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)}$

定義によれば、

$${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {j(x+h)-j(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\left(f(x+h)+g(x+h)\right)-\left(f(x)+g(x)\right)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\\end{aligned}}}$$ここで極限の和の法則を使用するには、個々の極限、およびが両方とも存在することを示す必要があります。定義により、およびであるため、導関数およびが存在する場合は常に極限が存在します。したがって、導関数が存在すると仮定すると、上記の導出を続けることができます。 ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$${\textstyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$${\textstyle g^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$${\displaystyle f^{\prime }(x)}$${\displaystyle g^{\prime }(x)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\\&=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)\end{aligned}}}$$

したがって、私たちが示したかったことは次のとおりです。 ${\displaystyle j^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)}$

を関数とします。を関数とします。ただし、はと が両方とも定義されている場合にのみ定義されます。(言い換えると、 の定義域はとの定義域の共通部分です。)を の定義域とします。 とします。 ${\displaystyle f,g}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle x}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j(x)=f(x)-g(x)}$

それを証明したいのです。 ${\displaystyle j^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)}$

定義によれば、次のことがわかります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {j(x+h)-j(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\left(f(x+h)-(g(x+h)\right)-\left(f(x)-g(x)\right)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\\end{aligned}}}$$

ここで極限の差の法則を使用するには、個々の極限、およびが両方とも存在することを示す必要があります。定義により、およびであるため、導関数およびが存在する場合は常にこれらの極限が存在します。したがって、導関数が存在すると仮定すると、上記の導出を続けることができます。 ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$${\textstyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$${\textstyle g^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$${\displaystyle f^{\prime }(x)}$${\displaystyle g^{\prime }(x)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\\&=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)\end{aligned}}}$$

したがって、私たちが示したかったことは次のとおりです。 ${\displaystyle j^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)}$

を関数とします。 ; を定数係数とします。を関数とします。ただし、 j は が定義されている場合にのみ定義されます。(言い換えると、 の定義域はの定義域に等しい)を の定義域とします。 とします。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$${\displaystyle a}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j(x)=af(x)}$

それを証明したいのです。 ${\displaystyle j^{\prime }(x)=af^{\prime }(x)}$

定義によれば、次のことがわかります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {j(x+h)-j(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {af(x+h)-af(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\\end{aligned}}}$$

さて、定数係数の極限法則を使って、

$${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=a\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$$が存在することを示す必要があります。しかし、導関数の定義により、 が存在します。したがって、 が存在する場合、 が 存在します。 ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$${\textstyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$${\displaystyle f^{\prime }(x)}$${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

したがって、が存在すると仮定すると、極限法則を使用して証明を続けることができます。 ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=a\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=af^{\prime }(x)\\\end{aligned}}}$$

したがって、 のとき、 であることが証明されました。 ${\displaystyle j(x)=af(x)}$${\displaystyle j^{\prime }(x)=af^{\prime }(x)}$

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