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ポリズムは数学的な命題または系です。これは証明の直接的な結果を指すのに使われてきました。系が定理の直接的な結果を指すのと同様です。現代の用法では、シュタイナーのポリズムのように、ある特定の条件が仮定されている場合に限り、無限の範囲の値に対して成り立つ関係を指します。[ 1 ]この用語は、失われたユークリッドの3冊の本に由来します。命題は証明されていない可能性があるため、ポリズムは定理または真ではない可能性があります。
ポリスムについて論じた最初の書物は、ユークリッドの『ポリスム』である。それについて知られているのは、アレクサンドリアのパップスの『コレクション』であり、彼は他の幾何学論文とともにそれを言及し、それを理解するために必要ないくつかの補題を与えている。[ 2 ]パップスは次のように述べている。
パップスは、最後の定義は後世の幾何学者によって変更され、彼らはポリスをτὸ λεῖπον ὑποθέσει τοπικοῦ θεωρήματος ( to leîpon hypothései topikoû theōrḗmatos )、仮説によって（またはその仮説において）軌跡定理に及ばないものとして定義したと述べた。プロクロスは、ポリスという言葉が2つの意味で使われていることを指摘した。1つは「系」という意味で、定理から導かれる結果だが、意図してはいないという意味である。もう1つの意味では、円の中心を見つけることと最大公約数を見つけることはポリスであると述べる以外に、「古い幾何学者」の定義に何も付け加えていない。[ 3 ] [ 2 ]
パップスは、ユークリッドのポリズムの定義を否定した。現代の言葉で表現すると、ポリズムとは、4本の直線が与えられたとき、そのうち3本が4本目の直線と交わる点を中心に回転し、これらの直線の交点のうち2点がそれぞれ固定された直線上にある場合、残りの交点も別の直線上にあるというものである。一般的な定義は、n本の直線のうち、(n+1)番目の直線上に 固定された点の数だけ回転できる直線に適用 される。これらのn本の直線は、2 点と 2 点を1 ⁄ 2 n ( n − 1) 点で切断します。ここで1 ⁄ 2 n ( n − 1) は、辺の長さがn − 1 である三角形の数です。これらの直線をn 個の固定点の周りで回転させ、ある制限に従って選択された1 ⁄ 2 n ( n − 1) 個の交点のうち任意のn − 1 個が、与えられたn − 1 本の固定直線上に位置するようにすると、残りの交点 ( 1 ⁄ 2 n ( n − 1)( n − 2) 個) はそれぞれ直線を表します。[ 2 ]
上記は次のように表現できます。2つの固定点PとQを中心に、与えられた直線L上で交わる2本の直線を回転させ、そのうちの1本が位置が与えられた固定直線AXから線分AMを切り取る場合、別の固定直線BYと、その上に固定された点Bを決定できます。この2番目の固定直線上で2番目の移動直線が作る線分BM'は、Bから測るとAMに対して所定の比率Xを持ちます。パップスがポリズムに関連して提示する補題は次のとおりです。
ロバート・シムソンは、パップスが完全に示した唯一の 3 つの命題を説明し、それは 1723 年に『哲学全集』に掲載されました。その後、彼は、多孔質の主題を一般に「多孔質論」と題する著作で研究しました。教義は完全に説明されており、忘却の彼方の研究者としての証拠も残されており、彼の死後、一冊の『ロバーティ・シムソン・オペラ・クエイダム・レリクア』（グラスゴー、1776年）として出版された。[ 4 ]
シムソンの論文『De porismatibus』は、定理、問題、データ、ポリス、位置の定義から始まる。シムソンは、パップスの定義は一般的すぎるとして、次のように置き換えた。
必要なデータを正確にデモンストレーションするために、データを取得し、データを取得し、データを確認し、適切なデータを取得し、適切な愛情を持ってください。命題記述におけるコミュネム。多大な問題を解決し、データをデモンストレーションし、プロポナントゥルを発明するための、多大な問題を解決します。
シムソンは、ロカスはポリズムの一種であると述べた。続いて、パップスのポリズムに関する注釈と、論文の大部分を構成する命題のラテン語訳が続く。[ 4 ]
ジョン・プレイフェアの回想録（Trans. Roy. Soc. Edin.、1794年、第3巻）は、シムソンの論文の続編のようなもので、ポリズムの起源、あるいは古代の幾何学者がポリズムを発見するに至った過程を探求した。プレイフェアは、命題のあらゆる可能な個別事例を注意深く調査すれば、
これらの事例は個別に定義することができ、定理と問題の中間的なものであり、「ポリズム」と呼ばれた。プレイフェアはポリズムを「ある問題を不確定にしたり、無数の解を持つことができるような条件を見つける可能性を肯定する命題」と定義した。[ 4 ]
イギリスではプレイフェアの多面体の定義が最も好まれているようだが、海外ではシムソンの見解が最も広く受け入れられており、ミシェル・シャールの支持も得ていた。しかし、リウヴィルの『純粋応用数学ジャーナル』（第20巻、1855年7月）で、P. ブルトンは『ユークリッドの多面体に関する新研究』を発表し、パップスのテキストを新たに翻訳し、パップスの定義により近い多面体の性質に関する見解を提唱しようとした。これに続いて、同じ雑誌と『ラ・サイエンス』で、ブルトンとA.J.H. ヴァンサンとの間で論争が起こり、ヴァンサンはブルトンによるパップスのテキストの解釈に異議を唱え、フランス・ファン・スホーテンが『数学演習』 （1657年）で提唱した考えを支持すると表明した。シューテンによれば、図形内の直線間のさまざまな関係を方程式や比例式の形で書き出すと、これらの方程式をあらゆる方法で組み合わせたり、それらから導き出された新しい方程式を組み合わせたりすることで、図形の無数の新しい特性が発見されるという。[ 4 ]
C. ハウゼルも加わったブルトンとヴァンサンの議論は、ユークリッドのポリス復元作業を進めることはなく、その作業はシャールに委ねられた。彼の著作（『ユークリッドのポリス復元三部作』、パリ、1860年）は、パップスの著作にある資料をすべて活用している。[ 4 ]
ポリズムに関する興味深い仮説は、HG ツォイテンによって提唱されました（『古代のケーゲルシュニットの教義』 、1886 年、第 8 章）。ツォイテンは、例えば、2 つの固定点が円錐曲線上の点であり、それらを通る直線が固定された直線ではなく円錐曲線上で交わる場合でも、切片ポリズムは依然として成り立つことを観察しました。彼は、ポリズムは円錐曲線の完全に発達した射影幾何学の副産物であると推測しました。[ 4 ]
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