テイラー級数

数学において、関数のテイラー級数またはテイラー展開とは、関数の一点における導関数の項の無限和である。最も一般的な関数では、関数とそのテイラー級数の和はこの点の近くで等しい。テイラー級数は、1715年にこれを導入したブルック・テイラーにちなんで名付けられている。また、テイラー級数は、導関数が考慮される点が 0 である場合、18 世紀にこのテイラー級数の特殊なケースを広範に使用した コリン・マクローリンにちなんで、マクローリン級数とも呼ばれる。

テイラー級数の最初のn + 1項によって形成される部分和は、関数のn次テイラー多項式と呼ばれるn次多項式です。テイラー多項式は関数の近似値であり、 n が増加するにつれて一般に精度が高まります。テイラーの定理は、このような近似値の使用によって生じる誤差を定量的に推定します。関数のテイラー級数が収束する場合、その和はテイラー多項式の無限列の極限になります。関数は、テイラー級数が収束する場合でも、そのテイラー級数の和とは異なる場合があります。関数が点xで解析的であるとは、 x を含むある開区間(または複素平面の開円板)でのテイラー級数の和に等しい場合です。これは、関数が区間 (または円板) のすべての点で解析的であることを意味します。

実数値または複素数値関数 f  ( x )のテイラー級数は、実数または複素数aで無限に微分可能であり、べき級数である。 ここで、n !はnの階乗を表す。関数f ^{( n )} ( a )は、点aで評価されたfのn次導関数を表す。 fの 0 次導関数はf自身と定義され、 ( x − a ) ⁰と0!は両方とも 1 と定義される。この級数は、右辺の式のようにシグマ記法を使用して表すことができる。 ^[1] a = 0の場合、マクローリン級数は次の形式になる。^[2] $${\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.}$$ $${\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f'''(0)}{3!}}x^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}.}$$

任意の多項式のテイラー級数は多項式そのものです。

マクローリン級数⁠1/1 − x⁠ は等比級数である

$${\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots .}$$

したがって、xを1 − xに代入すると、 ⁠のテイラー級数は1/x⁠ a = 1 のときは

$${\displaystyle 1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots .}$$

上記のマクローリン級数を積分すると、 ln(1 − x )のマクローリン級数が得られます。ここで、ln は自然対数を表します。

$${\displaystyle -x-{\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{3}}x^{3}-{\tfrac {1}{4}}x^{4}-\cdots .}$$

a = 1におけるln xの対応するテイラー級数は

$${\displaystyle (x-1)-{\tfrac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(x-1)^{3}-{\tfrac {1}{4}}(x-1)^{4}+\cdots ,}$$

より一般的には、任意の非ゼロ点aにおけるln xの対応するテイラー級数は次のように表される。

$${\displaystyle \ln a+{\frac {1}{a}}(x-a)-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\left(x-a\right)^{2}}{2}}+\cdots .}$$

指数関数 e ^xのマクローリン級数は

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}&={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \\&=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots .\end{aligned}}}$$

上記の展開は、 e ^xのxに関する導関数もe ^xであり、e ^{0 は}1 に等しいため成り立ちます。これにより、無限和の各項の分子には ( x − 0) ^{n の}項が、分母にはn ! の項が残ります。

古代ギリシャの哲学者 エレアのゼノンは、有限の結果を得るために無限級数を足し合わせるという問題を考えたが、不可能だとして却下した。^[3]その結果がゼノンのパラドックスである。後にアリストテレスはパラドックスの哲学的解決を提案したが、数学的な内容は明らかにアルキメデスが取り上げるまで解決されなかった。これはアリストテレス以前にソクラテス以前の原子論者デモクリトスが取り上げていたのと同じである。アルキメデスの枯渇法によって、有限の結果を得るために無限の累進的細分化を行うことが可能になった。^[4] 数世紀後、劉徽が独自に同様の方法を採用した。 ^[5]

14世紀に、特定のテイラー級数の最も初期の例（一般的な方法ではない）がインドの数学者サンガマグラマのマドハヴァによって示されました。^[6]彼の研究の記録は残っていませんが、ケーララ学派の天文学と数学における彼の信奉者の著作は、彼が三角関数の正弦、余弦、逆正接のテイラー級数を発見したことを示唆しています（マドハヴァ級数を参照）。その後の2世紀にわたって、彼の信奉者たちはさらなる級数展開と有理数近似を開発しました。

1670 年後半、ジェームズ・グレゴリーはジョン・コリンズからの手紙で、アイザック・ニュートンが導出したマクローリン級数(${\textstyle \sin x,}$ および)をいくつか示され、ニュートンが級数展開関数の一般的な方法を開発したと伝えられた。ニュートンは実際には級数の長い除算と項ごとの積分を伴う面倒な方法を使用していたが、グレゴリーはそれを知らず、自分で一般的な方法を見つけようとした。1671 年初頭、グレゴリーは一般的なマクローリン級数のようなものを発見し、コリンズに( の積分)、 ( secの積分、逆グーデルマン関数)、および(グーデルマン関数 ) の級数を記載した手紙を送った。しかし、グレゴリーはニュートンの方法を単に再開発しただけだと考え、これらの級数をどのようにして得たかについては説明せず、1671 年の別の手紙の裏に走り書きした下書きを調べて一般的な方法を理解したと推測することしかできない。^[7]${\textstyle \cos x,}$ ${\textstyle \arcsin x,}$${\textstyle x\cot x}$${\textstyle \arctan x,}$ ${\textstyle \tan x,}$ ${\textstyle \sec x,}$ ${\textstyle \ln \,\sec x}$${\displaystyle \tan }$ ${\textstyle \ln \,\tan {\tfrac {1}{2}}{{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi +x{\bigr )}}}$${\textstyle \operatorname {arcsec} {\bigl (}{\sqrt {2}}e^{x}{\bigr )},}$${\textstyle 2\arctan e^{x}-{\tfrac {1}{2}}\pi }$

1691年から1692年にかけて、アイザック・ニュートンは著書『曲線の四角形について』の未発表版でテイラー級数とマクローリン級数の明確な記述を記した。しかし、この著作は完成されず、1704年に『曲線の四角形について』というタイトルで出版された部分からは関連セクションが省略された。

これらの級数を構成する一般的な方法が、存在するすべての関数に対して最終的にブルック・テイラー^[8]によって出版されたのは1715年になってからであり、現在この級数は彼にちなんで名付けられています。

マクローリン級数は、18 世紀半ばにテイラー結果の特殊なケースを発表したスコットランドの数学者 コリン・マクローリンにちなんで名付けられました。

f  ( x ) が複素平面（または実数直線上の区間）のbを中心とする開円板上の収束するべき級数で与えられる場合、この領域では解析的であると言われる。したがって、この領域内のxに対して、f は収束するべき級数で与えられる 。

$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-b)^{n}.}$$

上記の式をxでn回微分し、x = bとすると次のようになります。

$${\displaystyle {\frac {f^{(n)}(b)}{n!}}=a_{n}}$$

そして、べき級数展開はテイラー級数と一致する。したがって、関数がbを中心とする開円板上で解析的であるためには、そのテイラー級数が円板の各点で関数の値に収束する必要がある。

f  ( x ) が複素平面上のすべてのxについてテイラー級数の和に等しい場合、それは完全関数と呼ばれます。多項式、指数関数 e ^x、三角関数の正弦および余弦は、完全関数の例です。完全関数でない関数の例には、平方根、対数、三角関数の正接、およびその逆関数のarctan があります。これらの関数では、xがbから離れているとテイラー級数は収束しません。つまり、xとb の間の距離が収束半径よりも大きい場合、テイラー級数はxで発散します。テイラー級数を使用すると、関数の値とそのすべての導関数の値が 1 点でわかっている場合、すべての点で完全関数の値を計算できます。

解析関数におけるテイラー級数の用途には次のものがあります。

1. 級数の部分和（テイラー多項式）は関数の近似値として使用できます。十分な数の項が含まれている場合、これらの近似値は適切です。
2. べき級数の微分と積分は項ごとに実行できるため、特に簡単です。
3. 解析関数は、複素平面上の開円板上の正則関数に一意に拡張されます。これにより、複素解析の仕組みが利用できるようになります。
4. (切り捨てられた)級数は、関数の値を数値的に計算するために使用できます (多くの場合、多項式をチェビシェフ形式に書き直し、クレンショウアルゴリズムで評価します)。
5. 代数演算は、べき級数表現上で簡単に実行できます。たとえば、オイラーの公式は、三角関数と指数関数のテイラー級数展開から得られます。この結果は、調和解析などの分野で根本的に重要です。
6. テイラー級数の最初の数項を使用した近似により、制限された領域では他の方法では解決できない問題を解くことができます。このアプローチは物理学でよく使用されます。

図は、点x = 0 の周りのsin xの正確な近似値です。ピンクの曲線は 7 次多項式です。

$${\displaystyle \sin {x}\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}.\!}$$

この近似値の誤差は、 | x | ⁹  / 9!以下です。原点を中心とする完全なサイクル ( -π < x < π ) の場合、誤差は 0.08215 未満です。特に、-1 < x < 1の場合、誤差は 0.000003 未満です。

対照的に、自然対数関数ln(1 + x )とa = 0付近のいくつかのテイラー多項式の図も示されています。これらの近似は、領域-1 < x ≤ 1でのみ関数に収束します。この領域外では、高次テイラー多項式は関数の近似としては 劣ります。

関数をn次テイラー多項式で近似する際に生じる誤差は剰余または残差と呼ばれ、関数R n ( x ) で表されます。_テイラーの定理を使用して剰余の大きさの上限を得ることができます。

一般に、テイラー級数は必ずしも収束する必要はない。実際、収束するテイラー級数を持つ関数の集合は、滑らかな関数のフレシェ空間における貧弱な集合である。関数fのテイラー級数が収束するとしても、その極限は関数f  ( x )の値に等しい必要はない。例えば、関数

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}}&{\text{if }}x\neq 0\\[3mu]0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$$

はx = 0で無限に微分可能であり、そこではすべての導関数がゼロになります。したがって、x = 0についてのf  ( x )のテイラー級数は恒等的にゼロになります。ただし、f  ( x )はゼロ関数ではないため、原点の周りのテイラー級数とは等しくありません。したがって、f  ( x ) は非解析的な滑らかな関数の例です。

実解析では、この例は、無限に微分可能な関数 f  ( x )があり、そのテイラー級数が収束してもf  ( x )と等しくないことを示しています。対照的に、複素解析で研究される正則関数は常に収束するテイラー級数を持ち、有理型関数のテイラー級数でさえ、特異点を持つ可能性があり、関数自体とは異なる値に収束することはありません。ただし、複素関数e ^{−1/ z 2 は}、z が虚軸に沿って 0 に近づいても 0 に近づかないため、複素平面では 連続せず、テイラー級数は 0 で定義されません。

より一般的には、実数または複素数のあらゆる列は、ボレルの補題の結果として、実数直線上に定義された無限微分可能関数のテイラー級数の係数として現れることができる。その結果、テイラー級数の収束半径はゼロになる可能性がある。実数直線上に定義された無限微分可能関数の中には、テイラー級数の収束半径がどこでも0になるものもある。^[9]

関数は特異点を中心としたテイラー級数として書くことはできません。このような場合でも、変数xの負の累乗も許せば級数展開を実現できる場合が多くあります。ローラン級数を参照してください。たとえば、f  ( x ) = e ^{−1/ x 2}はローラン級数として書くことができます。

テイラー級数の一般化は、 (0,∞)上の任意の有界 連続関数に対して関数自体の値に収束し、これは差分法を使って行うことができます。具体的には、アイナー・ヒルによる次の定理により、任意のt > 0に対して、^[10]

$${\displaystyle \lim _{h\to 0^{+}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {\Delta _{h}^{n}f(a)}{h^{n}}}=f(a+t).}$$

ここでΔⁿ
_時間は、ステップサイズがhであるn番目の有限差分演算子です。この級数は、微分の代わりに差分商が現れる点を除けば、正確にテイラー級数です。つまり、この級数は形式的にはニュートン級数に類似しています。関数f がaで解析的である場合、級数の項はテイラー級数の項に収束し、この意味で通常のテイラー級数を一般化します。

一般に、任意の無限シーケンスa _iに対して、次のべき級数恒等式が成り立ちます。

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{n!}}\Delta ^{n}a_{i}=e^{-u}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {u^{j}}{j!}}a_{i+j}.}$$

特に、

$${\displaystyle f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}e^{-t/h}\sum _{j=0}^{\infty }f(a+jh){\frac {(t/h)^{j}}{j!}}.}$$

右側の級数はf  ( a + X )の期待値です。ここで、X はポアソン分布に従うランダム変数で、確率e ^{− t / h} · ⁠で値jhをとります。 ( t / h )^じ/じっ！⁠ . したがって、

$${\displaystyle f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }f(a+x)dP_{t/h,h}(x).}$$

大数の法則は、この恒等式が成り立つことを示唆している。^[11]

以下にいくつかの重要なマクローリン級数展開を示します。これらの展開はすべて複素引数xに対して有効です。

指数関数 （底e）はマクローリン級数を持つ^[12]${\displaystyle e^{x}}$

$${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots .}$$すべてのx に対して収束します。

ベル数の指数生成関数は、指数関数の前身の指数関数です。

$${\displaystyle \exp(\exp {x}-1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}}$$

自然対数（底e）はマクローリン級数を持つ^[13]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1-x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,\\\ln(1+x)&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots .\end{aligned}}}$$

最後の級数はメルカトル級数として知られ、ニコラウス・メルカトルにちなんで名付けられました（1668年に出版された論文「対数技術」に収録されているため）。^[14]これらの級数は両方とも で収束します。 （さらに、ln(1 − x )の級数はx = −1で収束し、 ln(1 + x )の級数はx = 1で収束します。）^[13]${\displaystyle |x|<1}$

等比級数とその導関数にはマクローリン級数がある

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{1-x}}&=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\\{\frac {1}{(1-x)^{2}}}&=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\\{\frac {1}{(1-x)^{3}}}&=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}.\end{aligned}}}$$

すべては に対して収束します。これらは、次のセクションで説明する二項級数の特殊なケースです。 ${\displaystyle |x|<1}$

二項級数は冪級数である

$${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}}$$

その係数は一般化二項係数である^[15]

$${\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}.}$$

( n = 0の場合、この積は空積となり、値は 1 になります。)任意の実数または複素数αに対して収束します。 ${\displaystyle |x|<1}$

α = −1のとき、これは本質的には前のセクションで述べた無限等比級数です。特別な場合α = ⁠1/2⁠そしてα = − ⁠1/2⁠平方根関数とその逆関数を与える： ^[16]

$${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{\frac {1}{2}}&=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n-1)}}x^{n},\\(1+x)^{-{\frac {1}{2}}}&=1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}}x^{n}.\end{aligned}}}$$

線形項のみを保持すると、これは二項近似に簡略化されます。

通常の三角関数とその逆関数には次のようなマクローリン級数がある: ^[17]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\arcsin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arctan x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm i\end{aligned}}}$$

すべての角度はラジアンで表されます。tan xの展開に現れる数B _kはベルヌーイ数です。sec xの展開に現れる数E kはオイラー_数です。[ ^18]

双曲関数は対応する三角関数のマクローリン級数と密接に関連している：^[19]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cosh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tanh x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}\left(4^{n}-1\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\operatorname {arsinh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\operatorname {artanh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm 1\end{aligned}}}$$

tanh xの級数に現れる数Bk_はベルヌーイ数である。^[19]

多重対数には、次のような定義的なアイデンティティがあります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Li}}_{2}(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}x^{n}\\{\text{Li}}_{3}(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}x^{n}\end{aligned}}}$$

ルジャンドルのカイ関数は次のように定義されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{2}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}x^{2n+1}\\\chi _{3}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{3}}}x^{2n+1}\end{aligned}}}$$

以下に示す式は逆正接積分と呼ばれます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ti}}_{2}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}x^{2n+1}\\{\text{Ti}}_{3}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{3}}}x^{2n+1}\end{aligned}}}$$

統計熱力学ではこれらの式は非常に重要です。

第一種 K と第二種 E の 完全楕円積分は次のように定義できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2}{\pi }}K(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(2n)!]^{2}}{16^{n}(n!)^{4}}}x^{2n}\\{\frac {2}{\pi }}E(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(2n)!]^{2}}{(1-2n)16^{n}(n!)^{4}}}x^{2n}\end{aligned}}}$$

ヤコビシータ関数は楕円モジュラー関数の世界を記述し、次のテイラー級数を持ちます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(x)&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{n^{2}}\\\vartheta _{01}(x)&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}\end{aligned}}}$$

通常の分割数列P(n)には次の生成関数があります。

$${\displaystyle \vartheta _{00}(x)^{-1/6}\vartheta _{01}(x)^{-2/3}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{-1/24}=\sum _{n=0}^{\infty }P(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{k}}}}$$

厳密な分割数列Q(n)の生成関数は次のようになります。

$${\displaystyle \vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{-1/3}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{1/24}=\sum _{n=0}^{\infty }Q(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{2k-1}}}}$$

多数の関数のテイラー級数を計算する方法はいくつかあります。テイラー級数の定義を使用することもできますが、これには、すぐにわかるパターンに従って係数の形式を一般化することが必要になることがよくあります。または、テイラー級数がべき級数であるために、標準的なテイラー級数の置換、乗算または除算、加算または減算などの操作を使用して、関数のテイラー級数を構築できます。場合によっては、部分積分を繰り返し適用することでテイラー級数を導出することもできます。テイラー級数の計算には、コンピュータ代数システムを使用すると特に便利です。

関数の7次マクローリン多項式を計算するには、

$${\displaystyle f(x)=\ln(\cos x),\quad x\in {\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )},}$$

まず関数を次のように書き直す。

$${\displaystyle f(x)={\ln }{\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )},}$$

2つの関数の合成と自然対数のテイラー級数は（ビッグオー記法を使用） ${\displaystyle x\mapsto \ln(1+x)}$${\displaystyle x\mapsto \cos x-1.}$

$${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+O{\left(x^{4}\right)}}$$

余弦関数については

$${\displaystyle \cos x-1=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}+O{\left(x^{8}\right)}.}$$

2 番目の数列の最初のいくつかの項は、1 番目の数列の各項に代入できます。2 番目の数列の最初の項は次数 2 であるため、1 番目の数列の 3 つの項で 7 次多項式が得られます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=\ln {\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )}\\&=(\cos x-1)-{\tfrac {1}{2}}(\cos x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(\cos x-1)^{3}+O{\left((\cos x-1)^{4}\right)}\\&=-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{12}}-{\frac {x^{6}}{45}}+O{\left(x^{8}\right)}.\end{aligned}}\!}$$

余弦は偶関数なので、すべての奇数乗の係数はゼロになります。

関数の0におけるテイラー級数を求めるとしよう。

$${\displaystyle g(x)={\frac {e^{x}}{\cos x}}.\!}$$

指数関数のテイラー級数は

$${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots ,}$$

そして余弦の級数は

$${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots .}$$

それらの商の級数は

$${\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos x}}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdots }$$

両辺に分母を掛けて級数展開すると次のようになる。 ${\displaystyle \cos x}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&=\left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdots \right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \right)\\[5mu]&=c_{0}+c_{1}x+\left(c_{2}-{\frac {c_{0}}{2}}\right)x^{2}+\left(c_{3}-{\frac {c_{1}}{2}}\right)x^{3}+\left(c_{4}-{\frac {c_{2}}{2}}+{\frac {c_{0}}{4!}}\right)x^{4}+\cdots \end{aligned}}}$$

の係数をの係数と比較すると${\displaystyle g(x)\cos x}$${\displaystyle e^{x},}$

$${\displaystyle c_{0}=1,\ \ c_{1}=1,\ \ c_{2}-{\tfrac {1}{2}}c_{0}={\tfrac {1}{2}},\ \ c_{3}-{\tfrac {1}{2}}c_{1}={\tfrac {1}{6}},\ \ c_{4}-{\tfrac {1}{2}}c_{2}+{\tfrac {1}{24}}c_{0}={\tfrac {1}{24}},\ \ldots .}$$

したがって、 の級数の係数は一度に 1 つずつ計算することができ、およびの級数の長除算に相当します。${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle e^{x}}$${\displaystyle \cos x}$

$${\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos x}}=1+x+x^{2}+{\tfrac {2}{3}}x^{3}+{\tfrac {1}{2}}x^{4}+\cdots .}$$

ここでは、与えられた関数を展開するために「間接展開」と呼ばれる方法を採用しています。この方法では、指数関数の既知のテイラー展開を使用します。(1 + x ) e ^{x を}xのテイラー級数として展開するために、関数e ^xの既知のテイラー級数を使用します。

$${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots .}$$

したがって、

$${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)e^{x}&=e^{x}+xe^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n+1}}{n!}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n+1}}{n!}}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(n-1)!}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n!}}+{\frac {1}{(n-1)!}}\right)x^{n}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n+1}{n!}}x^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n+1}{n!}}x^{n}.\end{aligned}}}$$

古典的には、代数関数は代数方程式によって定義され、超越関数（上で説明したものを含む）は微分方程式などの、関数に当てはまる何らかの特性によって定義されます。たとえば、指数関数は、どこでも自身の導関数に等しく、原点で値 1 をとる関数です。ただし、解析関数をそのテイラー級数によって定義することもできます。

テイラー級数は、数学のさまざまな分野で関数と「演算子」を定義するために使用されます。特に、関数の古典的な定義が破綻する分野ではこれが当てはまります。たとえば、テイラー級数を使用すると、解析関数を行列指数や行列対数などの行列と演算子のセットに拡張できます。

形式解析などの他の分野では、べき級数自体を直接扱う方が便利です。したがって、微分方程式の解をべき級数として定義し、それが目的の解のテイラー級数であることを証明することができます。

テイラー級数は、1つ以上の変数の関数にも一般化することができ、^[20]

$${\displaystyle {\begin{aligned}T(x_{1},\ldots ,x_{d})&=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}\,\left({\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}f}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}\right)(a_{1},\ldots ,a_{d})\\&=f(a_{1},\ldots ,a_{d})+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}}}(x_{j}-a_{j})+{\frac {1}{2!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}{\frac {\partial ^{2}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})\\&\qquad \qquad +{\frac {1}{3!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}\sum _{l=1}^{d}{\frac {\partial ^{3}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}\partial x_{l}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})(x_{l}-a_{l})+\cdots \end{aligned}}}$$

例えば、2つの変数xとyに依存する関数の場合、点( a , b )に関する2次のテイラー級数は ${\displaystyle f(x,y)}$

$${\displaystyle f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)+{\frac {1}{2!}}{\Big (}(x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b){\Big )}}$$

ここで下付き文字はそれぞれの偏導関数を表します。

2変数以上のスカラー値関数の2次テイラー級数展開は次のように簡潔に記述できる。

$${\displaystyle T(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}Df(\mathbf {a} )+{\frac {1}{2!}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}\left\{D^{2}f(\mathbf {a} )\right\}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots ,}$$