ルジャンドルのカイ関数

数学において、ルジャンドルカイ関数（アドリアン＝マリー・ルジャンドルにちなんで命名）は、テイラー級数がディリクレ級数でもある特別な関数であり、次のように表される。 $${\displaystyle \chi _{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{\nu }}}.}$$

そのため、これは多重対数のディリクレ級数に似ており、実際、多重対数の 奇数部分として自明に表現できます。$${\displaystyle \chi _{\nu }(z)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{\nu }(z)-\operatorname {Li} _{\nu }(-z)\right].}$$

ルジャンドルのカイ関数は、次数νに関するフルヴィッツのゼータ関数およびオイラー多項式の離散フーリエ変換として現れ、それらの論文には明示的な関係が示されています。

ルジャンドルχ関数はレルヒ超越関数の特殊な場合であり、次のように表される。 $${\displaystyle \chi _{\nu }(z)=2^{-\nu }z\,\Phi (z^{2},\nu ,1/2).}$$

$${\displaystyle \chi _{-1}\left(x\right)={\frac {x\left(1+x^{2}\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}}}$$$$\displaystyle \chi _{0}\left(x\right)={\frac {x}{1-x^{2}}}}$$$${\displaystyle \chi _{1}(x)=\operatorname {arctanh} (x)={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)}$$$${\displaystyle \chi _{2}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {arctanh} (t)}{t}}\mathrm {d} t}$$$$\displaystyle \chi _{\infty }(x)=x}$$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\chi _{\nu }(x)={\frac {\chi _{\nu -1}(x)}{x}}}$$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\chi _{2}(x)={\frac {\operatorname {arctanh} (x)}{x}}}$$$${\displaystyle \chi _{2}(x)+\chi _{2}(1/x)={\frac {\pi ^{2}}{4}}-{\frac {i\pi }{2}}\ln |x|}$$$${\displaystyle \chi _{2}(x)+\chi _{2}\left({\frac {1-x}{1+x}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{8}}+\ln(x)\operatorname {arctanh} (x),\quad x\in (0,1)}$$

特別な値を取ります。

$${\displaystyle \chi _{2}(1)={\frac {\pi ^{2}}{8}}}$$$${\displaystyle \chi _{2}(-1)=-{\frac {\pi ^{2}}{8}}}$$$${\displaystyle \chi _{2}({\sqrt {2}}-1)={\frac {\pi ^{2}}{16}}-{\frac {1}{4}}\ln ^{2}({\sqrt {2}}+1)}$$$${\displaystyle \chi _{2}\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{12}}-{\frac {3}{4}}\ln ^{2}\left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)}$$$${\displaystyle \chi _{2}({\sqrt {5}}-2)={\frac {\pi ^{2}}{24}}-{\frac {3}{4}}\ln ^{2}\left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)}$$$${\displaystyle \chi _{2}(i)=iK,}$$

どこ$i$は虚数単位であり、Kはカタラン定数である。^{[ 1 ]}その他の特別な値には以下がある。

$${\displaystyle \chi _{n}(1)=\lambda (n)}$$$${\displaystyle \chi _{n}(i)=i\beta (n),}$$

どこ$\lambda (n)$はディリクレラムダ関数であり、$\beta (n)$はディリクレのベータ関数である。^{[ 1 ]}

$${\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\arcsin(r\sin \theta )\,\mathrm {d} \theta =\chi _{2}(r),\qquad \int _{0}^{\pi /2}\arccos(r\cos \theta )\,\mathrm {d} \theta =\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}-\chi _{2}(r)\qquad {\rm {if}}~~|r|\leq 1}$$$${\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\arctan(r\sin \theta )\,\mathrm {d} \theta =-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{\frac {r\theta \cos \theta }{1+r^{2}\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta =2\chi _{2}\!\!\left({\frac {{\sqrt {1+r^{2}}}-1}{r}}\right)}$$$${\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\arctan(p\sin \theta )\arctan(q\sin \theta )\,\mathrm {d} \theta =\pi \chi _{2}\!\!\left({\frac {{\sqrt {1+p^{2}}}-1}{p}}\cdot {\frac {{\sqrt {1+q^{2}}}-1}{q}}\right)}$$$${\displaystyle \int _{0}^{\alpha }\int _{0}^{\beta }{\frac {\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}{1-x^{2}y^{2}}}=\chi _{2}(\alpha \beta )\qquad {\rm {if}}~~|\alpha \beta |\leq 1}$$

• ワイスタイン、エリック W. 「ルジャンドルの気関数」。マスワールド。
• Djurdje Cvijović、Jacek Klinowski ( 1999)。「有理引数におけるルジャンドルχ関数とフルヴィッツζ関数の値」。Mathematics of Computation。68 ( 228 ): 1623–1630。doi : 10.1090/ S0025-5718-99-01091-1 。
• Djurdje Cvijović (2007). "ルジャンドルχ関数の積分表現". Journal of Mathematical Analysis and Applications . 332 (2): 1056–1062 . arXiv : 0911.4731 . doi : 10.1016/j.jmaa.2006.10.083 . S2CID 115155704 .