二項近似

二項近似は、 1と小さな数xの和の累乗を近似的に計算するのに便利です。

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }\approx 1+\alpha x.}$

いつ、どこででも有効であり、実数または複素数になる場合があります。 ${\displaystyle |x|<1}$${\displaystyle |\alpha x|\ll 1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \alpha}$

この近似の利点は、指数から乗法係数に変換されることです。これにより、数式を大幅に簡素化することができ（下の例のように）、物理学では一般的なツールです。^[1]${\displaystyle \alpha}$

この近似はいくつかの方法で証明することができ、二項定理と密接に関連しています。ベルヌーイの不等式により、およびの場合には、近似の左辺は右辺以上になります。 ${\displaystyle x>-1}$${\displaystyle \alpha \geq 1}$

機能

${\displaystyle f(x)=(1+x)^{\alpha}}$

はxが0に近い場合滑らかな関数である。したがって、微積分学の標準的な線形近似ツールが適用される。

${\displaystyle f'(x)=\alpha (1+x)^{\alpha -1}}$

など

${\displaystyle f'(0)=\alpha .}$

したがって

${\displaystyle f(x)\approx f(0)+f'(0)(x-0)=1+\alpha x.}$

テイラーの定理により、この近似値の誤差は、が 0 からxまでにある値に対してに等しくなります。たとえば、およびの場合、誤差は最大で です。小さな o 記法では、誤差は、つまり であると言えます。 ${\textstyle {\frac {\alpha (\alpha -1)x^{2}}{2}}\cdot (1+\zeta )^{\alpha -2}}$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle x<0}$${\displaystyle \alpha \geq 2}$${\textstyle {\frac {\alpha (\alpha -1)x^{2}}{2}}}$${\displaystyle o(|x|)}$${\textstyle \lim _{x\to 0}{\frac {\textrm {error}}{|x|}}=0}$

機能

${\displaystyle f(x)=(1+x)^{\alpha }}$

ここで、 およびは実数または複素数であり、点 0 の周りの テイラー級数として表すことができます。${\displaystyle x}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}\\f(x)&=f(0)+f'(0)x+{\frac {1}{2}}f''(0)x^{2}+{\frac {1}{6}}f'''(0)x^{3}+{\frac {1}{24}}f^{(4)}(0)x^{4}+\cdots \\(1+x)^{\alpha }&=1+\alpha x+{\frac {1}{2}}\alpha (\alpha -1)x^{2}+{\frac {1}{6}}\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)x^{3}+{\frac {1}{24}}\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)(\alpha -3)x^{4}+\cdots \end{aligned}}}$

かつの場合、級数の項は次第に小さくなり、次のように切り捨てることができます。 ${\displaystyle |x|<1}$${\displaystyle |\alpha x|\ll 1}$

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }\approx 1+\alpha x.}$

二項近似からのこの結果は、上記のテイラー級数から追加の項を保持することで常に改善できます。これは、が1 に近づき始めるとき、またはテイラー級数の最初の 2 つの項が打ち消されるより複雑な式を評価するときに特に重要です (例を参照)。 ${\displaystyle |\alpha x|}$

が二項近似の十分条件であると誤って主張されることがあります。簡単な反例として、および とします。この場合、二項近似により が得られます。 は小さいが大きい 場合、より適切な近似は次のようになります。 ${\displaystyle |x|\ll 1}$${\displaystyle x=10^{-6}}$${\displaystyle \alpha =10^{7}}$${\displaystyle (1+x)^{\alpha }>22,000}$${\displaystyle 1+\alpha x=11}$${\displaystyle |x|}$${\displaystyle |\alpha x|}$

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }\approx e^{\alpha x}.}$

平方根の二項近似は、次の式に適用できる。 ${\displaystyle {\sqrt {1+x}}\approx 1+x/2}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a+b}}}-{\frac {1}{\sqrt {a-b}}}}$

ここで、 と は実数ですが、 です。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a\gg b}$

二項近似の数学的形式は、大きな項を因数分解し、平方根が 1/2 の累乗と同じであることを思い出すことによって復元できます。 ${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {a+b}}}-{\frac {1}{\sqrt {a-b}}}&={\frac {1}{\sqrt {a}}}\left(\left(1+{\frac {b}{a}}\right)^{-1/2}-\left(1-{\frac {b}{a}}\right)^{-1/2}\right)\\&\approx {\frac {1}{\sqrt {a}}}\left(\left(1+\left(-{\frac {1}{2}}\right){\frac {b}{a}}\right)-\left(1-\left(-{\frac {1}{2}}\right){\frac {b}{a}}\right)\right)\\&\approx {\frac {1}{\sqrt {a}}}\left(1-{\frac {b}{2a}}-1-{\frac {b}{2a}}\right)\\&\approx -{\frac {b}{a{\sqrt {a}}}}\end{aligned}}}$

明らかに、この式はのときに線形であり、これは元の式からは明らかではありません。 ${\displaystyle b}$${\displaystyle a\gg b}$

二項近似は線形ですが、テイラー級数の二次項を保持するように一般化できます。

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }\approx 1+\alpha x+(\alpha /2)(\alpha -1)x^{2}}$

これを平方根に適用すると、次のようになります。

${\displaystyle {\sqrt {1+x}}\approx 1+x/2-x^{2}/8.}$

次の表現を考えてみましょう:

${\displaystyle (1+\epsilon )^{n}-(1-\epsilon )^{-n}}$

ここで、およびである。二項近似からの線形項のみを保持すると、式はゼロに単純化されてしまう。 ${\displaystyle |\epsilon |<1}$${\displaystyle |n\epsilon |\ll 1}$${\displaystyle (1+x)^{\alpha }\approx 1+\alpha x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+\epsilon )^{n}-(1-\epsilon )^{-n}&\approx (1+n\epsilon )-(1-(-n)\epsilon )\\&\approx (1+n\epsilon )-(1+n\epsilon )\\&\approx 0.\end{aligned}}}$

式は小さいですが、正確にはゼロではありません。そこで、2次項を維持します。

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+\epsilon )^{n}-(1-\epsilon )^{-n}&\approx \left(1+n\epsilon +{\frac {1}{2}}n(n-1)\epsilon ^{2}\right)-\left(1+(-n)(-\epsilon )+{\frac {1}{2}}(-n)(-n-1)(-\epsilon )^{2}\right)\\&\approx \left(1+n\epsilon +{\frac {1}{2}}n(n-1)\epsilon ^{2}\right)-\left(1+n\epsilon +{\frac {1}{2}}n(n+1)\epsilon ^{2}\right)\\&\approx {\frac {1}{2}}n(n-1)\epsilon ^{2}-{\frac {1}{2}}n(n+1)\epsilon ^{2}\\&\approx {\frac {1}{2}}n\epsilon ^{2}((n-1)-(n+1))\\&\approx -n\epsilon ^{2}\end{aligned}}}$

この結果は では二次式なので、 の線形項のみが保持された場合には現れませんでした。 ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$