チェビシェフ多項式

第1種チェビシェフ多項式は、次の漸化式によって定義される。

$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1,\\T_{1}(x)&=x,\\T_{n+1}(x)&=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$

第2種チェビシェフ多項式は、次の漸化式によって定義される。

$${\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1,\\U_{1}(x)&=2x,\\U_{n+1}(x)&=2x\,U_{n}(x)-U_{n-1}(x),\end{aligned}}}$$これは、 n=1 の場合の規則を除いて、上記と異なります。

第1種および第2種のチェビシェフ多項式は、以下の条件を満たす一意の多項式として定義できる。 $${\displaystyle T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta )\quad }$$ そして $${\displaystyle U_{n}(\cos \theta )={\frac {{\sin }{\big (}(n+1)\theta {\big )}}{\sin \theta }},}$$n = 0, 1, 2, 3, … の場合。

これを表現するのに同等な方法は、複素数の指数関数を用いることです。絶対値が 1 の 複素数z = a + biが与えられた場合、$${\displaystyle z^{n}=T_{n}(a)+ib\,U_{n-1}(a).}$$

チェビシェフ多項式は、三角多項式を研究する際にもこの形式で定義できます。^{[ 4 ]}

それ${\displaystyle \cos(nx)}$は${\displaystyle n}$の次多項式${\displaystyle \cos(x)}$観察するとわかるように${\displaystyle \cos(nx)}$これは、ド・モアブルの公式の一方の辺の実数部です。 $${\displaystyle \cos n\theta +i\sin n\theta =(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}.}$$

反対側の実部は、${\displaystyle \cos x}$そして${\displaystyle \sin x}$あらゆる権力が${\displaystyle \sin x}$偶数であり、したがって同一性によって置換可能である$\displaystyle \cos ^{2}x+\sin ^{2}x=1}$同じ理由で、${\displaystyle \sin nx}$は多項式の虚数部であり、すべてのべき乗は${\displaystyle \sin x}$奇数であるため、1 つの要因が${\displaystyle \sin x}$が因数分解されると、残りの因数を置き換えることで次数 の多項式を作成できます。${\displaystyle n-1}$で${\displaystyle \cos x}$。

のために${\displaystyle x}$区間[-1,1]の外側では、上記の定義は $${\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos x)&{\text{ if }}|x|\leq 1,\\\cosh(n\operatorname {arccosh} x)&{\text{ if }}x\geq 1,\\{(-1)^{n}\cosh }(n\operatorname {arccosh} (-x))&{\text{ if }}x\leq -1.\end{cases}}}$$

チェビシェフ多項式は、次の定理によっても特徴づけられる。^{[ 5 ]}

もし${\displaystyle F_{n}(x)}$は、特性が の体上の係数を持つ単項式多項式の族である。${\displaystyle 0}$そのため${\displaystyle \deg F_{n}(x)=n}$そして${\displaystyle F_{m}{\bigl (}F_{n}(x){\bigr )}=F_{n}{\bigl (}F_{m}(x){\bigr )}}$すべての人々のために ${\displaystyle m}$そして${\displaystyle n}$そして、単純な変数変換を除けば、${\displaystyle F_{n}(x)=x^{n}}$すべての人々のために${\displaystyle n}$または ${\displaystyle F_{n}(x)=2\cdot T_{n}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}x{\bigr )}}$すべての人々のために${\displaystyle n}$。

チェビシェフ多項式は、ペル方程式の解としても定義できる。 $${\displaystyle T_{n}(x)^{2}-(x^{2}-1)\,U_{n-1}(x)^{2}=1}$$

リング の中で${\displaystyle R[x]}$⁠ . ^{[ 6 ]}したがって、それらは基本解のべき乗を取るというペル方程式の標準的な手法によって生成することができる。 $${\displaystyle T_{n}(x)+U_{n-1}(x){\textstyle {\sqrt {x^{2}-1}}}={\bigl (}{\textstyle x+{\sqrt {x^{2}-1}}~\!}{\bigr )}^{n}.}$$

通常の母関数${\displaystyle T_{n}}$は $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)\,t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.}$$

チェビシェフ多項式には他にもいくつかの生成関数があります。指数生成関数は $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}&={\tfrac {1}{2}}{\Bigl (}{\exp }{\Bigl (}t{\bigl (}{\textstyle x-{\sqrt {x^{2}-1}}~\!}{\bigr )}{\Bigr )}+{\exp }{\Bigl (}t{\bigl (}{\textstyle x+{\sqrt {x^{2}-1}}~\!}{\bigr )}{\Bigr )}{\Bigr )}\\&={e^{tx}\cosh }{\bigl (}{\textstyle t{\sqrt {x^{2}-1}}}~\!{\bigr )}.\end{aligned}}}$$

2次元ポテンシャル理論と多重極展開に関連する生成関数は $${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }T_{n}(x){\frac {t^{n}}{n}}=\ln \left({\frac {1}{\sqrt {1-2tx+t^{2}}}}\right).}$$

U _nの通常の母関数は $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)\,t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}},}$$ そして指数生成関数は $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=e^{tx}{\biggl (}{\cosh }{\bigl (}{\textstyle t{\sqrt {x^{2}-1}}~\!}{\bigr )}+{{\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}\sinh }{\bigl (}{\textstyle t{\sqrt {x^{2}-1}}~\!}{\bigr )}{\biggr )}.}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(-x)&=(-1)^{n}T_{n}(x),\\[1ex]U_{n}(-x)&=(-1)^{n}U_{n}(x).\end{aligned}}}$$つまり、偶数次のチェビシェフ多項式は偶数対称性を持ち、したがって偶数乗のみを含む。${\displaystyle x}$奇数次のチェビシェフ多項式は奇対称性を持つため、奇数乗のみを含む。${\displaystyle x}$。

次数nのチェビシェフ多項式は、区間[ −1, 1 ]内にn個の異なる単純根（チェビシェフ根と呼ばれる）を持ちます。第 1 種のチェビシェフ多項式の根は、多項式補間のノードとして使用されることから、チェビシェフノードと呼ばれることもあります。三角関数の定義と、$${\displaystyle \cos \left((2k+1){\frac {\pi }{2}}\right)=0,}$$根は${\displaystyle T_{n}}$は$${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {2k+1}{2n}}\pi \right),\quad k=0,\ldots ,n-1.}$$同様に、${\displaystyle U_{n}}$は：$${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n+1}}\pi \right),\quad k=1,\ldots ,n.}$$極値​​${\displaystyle T_{n}}$インターバル中に${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$所在地：$${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n}}\pi \right),\quad k=0,\ldots ,n.}$$第一種チェビシェフ多項式のユニークな性質の一つは、区間上で${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$すべての極値は-1または1のいずれかです。したがって、これらの多項式は2つの有限な臨界値のみを持ち、これはシャバット多項式の定義特性です。第1種および第2種のチェビシェフ多項式はどちらも、端点に極値を持ち、それは次のように表されます。$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(1)&=1\\T_{n}(-1)&=(-1)^{n}\\U_{n}(1)&=n+1\\U_{n}(-1)&=(-1)^{n}(n+1).\end{aligned}}}$$極値​​${\displaystyle T_{n}(x)}$インターバル中に${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$どこ${\displaystyle n>0}$所在地は${\displaystyle n+1}$値${\displaystyle x}$。 彼らです${\displaystyle \pm 1}$、 または${\displaystyle \cos(2\pi k/d)}$どこ${\displaystyle d>2}$、${\displaystyle d\mid 2n}$、${\displaystyle 0<k<{\tfrac {1}{2}}d}$そして${\displaystyle (k,d)=1}$つまり、${\displaystyle k}$そして${\displaystyle d}$互いに素である。

具体的には（2cos(2pi/n)の最小多項式^{[ 13 ] [ 14 ]}の場合）${\displaystyle n}$等しく：

• ${\displaystyle T_{n}(x)=1}$もし${\displaystyle x=\pm 1}$、 または${\displaystyle d>2}$そして${\displaystyle 2n/d}$均等です。${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n+1}$このような値${\displaystyle x}$。
• ${\displaystyle T_{n}(x)=-1}$もし ${\displaystyle d>2}$そして${\displaystyle 2n/d}$奇妙だ。${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n}$このような値${\displaystyle x}$。

いつ${\displaystyle n}$奇妙だ：

• ${\displaystyle T_{n}(x)=1}$もし${\displaystyle x=1}$、 または${\displaystyle d>2}$そして${\displaystyle 2n/d}$均等です。${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(n+1)}$このような値${\displaystyle x}$。
• ${\displaystyle T_{n}(x)=-1}$もし ${\displaystyle x=-1}$、 または${\displaystyle d>2}$そして${\displaystyle 2n/d}$奇妙だ。${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(n+1)}$このような値${\displaystyle x}$。

多項式の導関数は必ずしも単純ではない。三角関数形式の多項式を微分することで、次のことが示される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} T_{n}}{\mathrm {d} x}}&=nU_{n-1}\\{\frac {\mathrm {d} U_{n}}{\mathrm {d} x}}&={\frac {(n+1)T_{n+1}-xU_{n}}{x^{2}-1}}\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}&=n{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x^{2}-1}}=n{\frac {(n+1)T_{n}-U_{n}}{x^{2}-1}}.\end{aligned}}}$$最後の 2 つの式は、ゼロ除算(特に 0 / 0 不定形) のため、数値的に問題となる可能性があります。${\displaystyle x=1}$そして${\displaystyle x=-1}$ロピタルの定理によれば： $${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x=1}\!\!&={\frac {n^{4}-n^{2}}{3}},\\\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x=-1}\!\!&=(-1)^{n}{\frac {n^{4}-n^{2}}{3}}.\end{aligned}}}$$より一般的には、$${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} ^{p}T_{n}}{\mathrm {d} x^{p}}}\right|_{x=\pm 1}\!\!=(\pm 1)^{n+p}\prod _{k=0}^{p-1}{\frac {n^{2}-k^{2}}{2k+1}},}$$これは、固有値問題の数値解法において非常に有用である。

また、以下のものもございます。$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{p}}{\mathrm {d} x^{p}}}T_{n}(x)=2^{p}n\mathop {{\sum }'} _{0\leq k\leq n-p \atop k\equiv n-p{\pmod {2}}}{\binom {{\frac {n+p-k}{2}}-1}{\frac {n-p-k}{2}}}{\frac {\left({\frac {n+p+k}{2}}-1\right)!}{\left({\frac {n-p+k}{2}}\right)!}}T_{k}(x),\qquad p\geq 1,}$$総和記号のプライム記号は、k = 0によって生じる項が現れた場合、その項を半分にすることを意味します。

積分に関して、 T _nの一次導関数は以下を意味する。$${\displaystyle \int U_{n}\,\mathrm {d} x={\frac {T_{n+1}}{n+1}}}$$また、導関数を含む第一種多項式の漸化式は、${\displaystyle n\geq 2}$:$${\displaystyle \int T_{n}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\left({\frac {T_{n+1}}{n+1}}-{\frac {T_{n-1}}{n-1}}\right)={\frac {n\,T_{n+1}}{n^{2}-1}}-{\frac {xT_{n}}{n-1}}.}$$最後の式はさらに操作して、次の積分を表すことができる。${\displaystyle T_{n}}$第一種チェビシェフ多項式の関数としてのみ表される。$${\displaystyle {\begin{aligned}\int T_{n}\,\mathrm {d} x&={\frac {n}{n^{2}-1}}T_{n+1}-{\frac {1}{n-1}}T_{1}T_{n}\\&={\frac {n}{n^{2}-1}}T_{n+1}-{\frac {1}{2(n-1)}}(T_{n+1}+T_{n-1})\\&={\frac {1}{2(n+1)}}T_{n+1}-{\frac {1}{2(n-1)}}T_{n-1}.\end{aligned}}}$$さらに、以下の点があります。$${\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)\,\mathrm {d} x={\begin{cases}{\dfrac {(-1)^{n}+1}{1-n^{2}}}&{\text{ if }}n\neq 1\\[3mu]0&{\text{ if }}n=1.\end{cases}}}$$

第1種チェビシェフ多項式は次の関係式を満たす。$${\displaystyle T_{m}(x)\,T_{n}(x)={\tfrac {1}{2}}{\left(T_{m+n}(x)+T_{|m-n|}(x)\right)},}$$の非負の値すべてに対して${\displaystyle m}$そして​​${\displaystyle n}$これは、コサインの積和公式から容易に証明できる$${\displaystyle 2\cos \alpha \,\cos \beta =\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta ).}$$のために${\displaystyle n=1}$これにより、既知の漸化式が、単に異なる形で、そして${\displaystyle n=2}$これは、すべての偶数またはすべての奇数インデックスのチェビシェフ多項式（最小のmの偶奇性に応じて）に対する漸化式を形成し、これらの多項式の偶数性または奇数性を示します。この積展開から、チェビシェフ多項式を評価するためのさらに3つの有用な公式を導き出すことができます。$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{2n}(x)&=2T_{n}^{2}(x)-T_{0}(x)&&=2T_{n}^{2}(x)-1,\\[3mu]T_{2n+1}(x)&=2T_{n+1}(x)\,T_{n}(x)-T_{1}(x)&&=2T_{n+1}(x)\,T_{n}(x)-x,\\[3mu]T_{2n-1}(x)&=2T_{n-1}(x)\,T_{n}(x)-T_{1}(x)&&=2T_{n-1}(x)\,T_{n}(x)-x.\end{aligned}}}$$第2種多項式は同様の関係を満たす。$${\displaystyle T_{m}(x)U_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}{\bigl (}U_{m+n}(x)+U_{n-m}(x){\bigr )},&{\text{ if }}n\geq m-1,\\[5mu]{\frac {1}{2}}{\bigl (}U_{m+n}(x)-U_{m-n-2}(x){\bigr )},&{\text{ if }}n\leq m-2.\end{cases}}}$$（定義付き）${\displaystyle U_{-1}\equiv 0}$慣例により）。また、以下の条件も満たします。$${\displaystyle U_{m}(x)\,U_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}U_{m-n+2k}(x)=\sum _{\underset {\text{ step 2 }}{p=m-n}}^{m+n}U_{p}(x).}$$のために${\displaystyle m\geq n}$。 のために${\displaystyle n=2}$この再帰式は以下のように簡略化されます。$${\displaystyle {\begin{aligned}U_{m+2}(x)&=U_{2}(x)\,U_{m}(x)-U_{m}(x)-U_{m-2}(x)\\&=U_{m}(x){\big (}U_{2}(x)-1{\big )}-U_{m-2}(x),\end{aligned}}}$$これは、偶数または奇数のインデックスを持つ第2種チェビシェフ多項式の偶奇性または奇奇性を、${\displaystyle m}$2または3から始まります。

三角関数の定義${\displaystyle T_{n}}$そして${\displaystyle U_{n}}$構成またはネスト特性を暗示する: ^{[ 15 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{mn}(x)&=T_{m}{\bigl (}T_{n}(x){\bigr )},\\[3mu]U_{mn-1}(x)&=U_{m-1}{\bigl (}T_{n}(x){\bigr )}\,U_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$のために${\displaystyle T_{mn}}$合成の順序を逆にして、多項式関数の族を作る${\displaystyle T_{n}}$合成に関して可換な半群。

以来${\displaystyle T_{m}(x)}$は割り切れる${\displaystyle x}$もし${\displaystyle m}$奇妙だ、したがって${\displaystyle T_{mn}(x)}$は割り切れる${\displaystyle T_{n}(x)}$もし${\displaystyle m}$奇妙だ。さらに、${\displaystyle U_{mn-1}(x)}$は割り切れる${\displaystyle U_{n-1}(x)}$、そして、${\displaystyle m}$偶数で、${\displaystyle T_{n}(x)\,U_{n-1}(x)}$。

両方${\displaystyle T_{n}}$そして${\displaystyle U_{n}}$直交多項式の列を形成する。第1種多項式${\displaystyle T_{n}}$重みに関して直交している。$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},}$$区間[ −1, 1 ]において、すなわち、$${\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)\,T_{m}(x){\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\begin{cases}0&{\text{ if }}n\neq m,\\[5mu]\pi &{\text{ if }}n=m=0,\\[5mu]{\frac {\pi }{2}}&{\text{ if }}n=m\neq 0.\end{cases}}}$$これは、${\displaystyle x=\cos(\theta )}$そして定義的なアイデンティティを使用する${\displaystyle T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta )}$。

同様に、第2種多項式U _nは重みに関して直交する$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$$区間[ −1, 1 ]において、すなわち、$${\displaystyle \int _{-1}^{1}U_{n}(x)\,U_{m}(x){\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}0&{\text{ if }}n\neq m,\\[5mu]{\frac {\pi }{2}}&{\text{ if }}n=m.\end{cases}}}$$（その措置は）${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x}$（正規化定数を除けば、ウィグナーの半円分布である。）

これらの直交性は、チェビシェフ多項式がチェビシェフ微分方程式を解くという事実から導かれる。$${\displaystyle {\begin{aligned}(1-x^{2})T_{n}''-xT_{n}'+n^{2}T_{n}&=0,\\[1ex](1-x^{2})U_{n}''-3xU_{n}'+n(n+2)U_{n}&=0,\end{aligned}}}$$これらはシュトゥルム・リウヴィル微分方程式である。このような微分方程式の一般的な特徴は、明確な正規直交解の集合が存在することである。（チェビシェフ多項式をこれらの方程式の解として定義する別の方法もある。）

の${\displaystyle T_{n}}$また、離散直交条件も満たす。$${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{T_{i}(x_{k})\,T_{j}(x_{k})}={\begin{cases}0&{\text{ if }}i\neq j,\\[5mu]N&{\text{ if }}i=j=0,\\[5mu]{\frac {N}{2}}&{\text{ if }}i=j\neq 0,\end{cases}}}$$どこ${\displaystyle N}$より大きい整数${\displaystyle \max(i,j)}$[ ^{10 ]}および^​${\displaystyle x_{k}}$は${\displaystyle N}$チェビシェフノード（上記参照）${\displaystyle T_{N}(x)}$:$${\displaystyle x_{k}=\cos \left(\pi {\frac {2k+1}{2N}}\right)\quad {\text{ for }}k=0,1,\dots ,N-1.}$$第2種多項式と任意の整数に対して${\displaystyle N>i+j}$同じチェビシェフノードを持つ${\displaystyle x_{k}}$同様の計算式があります。$${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(x_{k})\,U_{j}(x_{k})\left(1-x_{k}^{2}\right)}={\begin{cases}0&{\text{ if }}i\neq j,\\[5mu]{\frac {N}{2}}&{\text{ if }}i=j,\end{cases}}}$$重み付け関数なしの場合：$${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(x_{k})\,U_{j}(x_{k})}={\begin{cases}0&{\text{ if }}i\not \equiv j{\pmod {2}},\\[5mu]N\cdot (1+\min\{i,j\})&{\text{ if }}i\equiv j{\pmod {2}}.\end{cases}}}$$任意の整数に対して${\displaystyle N>i+j}$に基づいて${\displaystyle N}$} のゼロ${\displaystyle U_{N}(x)}$:$${\displaystyle y_{k}=\cos \left(\pi {\frac {k+1}{N+1}}\right)\quad {\text{ for }}k=0,1,\dots ,N-1,}$$合計値は以下の通りである。$${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(y_{k})\,U_{j}(y_{k})(1-y_{k}^{2})}={\begin{cases}0&{\text{ if }}i\neq j,\\[5mu]{\frac {N+1}{2}}&{\text{ if }}i=j,\end{cases}}}$$そして、重み付け関数を使用しない場合：$${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(y_{k})\,U_{j}(y_{k})}={\begin{cases}0&{\text{ if }}i\not \equiv j{\pmod {2}},\\[5mu]{\bigl (}\min\{i,j\}+1{\bigr )}{\bigl (}N-\max\{i,j\}{\bigr )}&{\text{ if }}i\equiv j{\pmod {2}}.\end{cases}}}$$

任意の特定の${\displaystyle n\geq 1}$次数 の多項式の中で${\displaystyle n}$最高次係数が 1 の場合 (単項式多項式): $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}(x)}$$ 区間[ −1, 1 ]における最大絶対値が最小となるもの。

この最大絶対値は次のとおりです。 $${\displaystyle {\frac {1}{2^{n-1}}}}$$ そして${\displaystyle |f(x)|}$この最大値に正確に達する${\displaystyle n+1}$時刻: $${\displaystyle x=\cos {\frac {k\pi }{n}}\quad {\text{for }}0\leq k\leq n.}$$