超対称性

物理学者が超対称性を研究した理由の 1 つは、それが量子場理論のより馴染みのある対称性を拡張するものだからです。これらの対称性はポアンカレ群と内部対称性に分類され、コールマン・マンデュラの定理は、特定の仮定の下では、 S 行列の対称性はポアンカレ群とコンパクトな内部対称群の直積、または質量ギャップがない場合は共形群とコンパクトな内部対称群の直積でなければならないことを示しました。1971 年に、ゴルフアンとリヒトマンは、ポアンカレ代数が (4 次元で) 4 つの反交換スピノル生成子の導入によって拡張できることを初めて示しました。これらは後にスーパーチャージとして知られるようになりました。1975 年に、ハーグ・ウォプシャンスキー・ソニウスの定理は、スーパー生成子と中心チャージの数を増やしたものを含め、一般形のすべての可能な超代数を解析しました。この拡張された超ポアンカレ代数は、非常に大規模で重要な超対称場理論のクラスを得るための道を開いた。

超対称量子力学は、量子場理論とは異なり、量子力学に超対称性（SUSY）超代数を付加するものです。超対称量子力学は、超対称ソリトンのダイナミクスを研究する際にしばしば重要となり、場が（時空ではなく）時間のみの関数であるという簡略化された性質から、この分野では大きな進歩が見られ、現在では独立した研究分野として扱われています。

SUSY量子力学では、特定の数学的関係を共有するハミルトニアンのペアが用いられ、これらはパートナーハミルトニアンと呼ばれます。（ハミルトニアンに現れるポテンシャルエネルギー項は、パートナーポテンシャルと呼ばれます。）入門定理によれば、あるハミルトニアンの固有状態ごとに、そのパートナーハミルトニアンには同じエネルギーを持つ対応する固有状態が存在します。この事実は、固有状態スペクトルの多くの性質を導き出すために利用できます。これは、ボソンとフェルミオンに言及したSUSYの元の記述と類似しています。固有状態が理論の様々なボソンである「ボソンハミルトニアン」を想像することができます。このハミルトニアンのSUSYパートナーは「フェルミオン」であり、その固有状態は理論のフェルミオンになります。各ボソンには、同じエネルギーのフェルミオンパートナーが存在します。

量子場理論において、超対称性は、いくつかの理論的問題の解決、一般的に多くの望ましい数学的性質の提供、および高エネルギーでの妥当な振る舞いの保証を目的として導入されました。超対称量子場理論は、多くの問題が数学的に扱いやすくなるため、解析がはるかに容易になることがよくあります。超対称性が局所対称性として課せられると、アインシュタインの一般相対性理論が自動的に含まれ、その結果は超重力理論と呼ばれます。超対称性のもう1つの理論的に魅力的な性質は、非常に一般的な仮定を持つ量子場理論において、時空と内部対称性を非自明な方法で組み合わせることを禁じるコールマン・マンドゥラ定理に対する唯一の「抜け穴」を提供することです。ハーグ・ウォプシャンスキー・ソニウス定理は、超対称性が時空と内部対称性を一貫して組み合わせる唯一の方法であることを示しています。^{[ 27 ]}

高エネルギーでは超対称性は発見されていませんが（「素粒子物理学における超対称性」の項を参照）、バリオンとメソンが超対称パートナーであるハドロン物理学の中間エネルギーでは、超対称性が効果的に実現されていることがわかりました。例外は、質量スペクトルでゼロモードとして現れ、超対称性によって保護されているパイ中間子です。パイ中間子にはバリオンパートナーがありません。 ^{[ 28 ] [ 29 ]}この効果的な超対称性の実現は、クォーク-ダイクォークモデルで容易に説明できます。近接した2つの異なるカラー電荷（例えば、青と赤）は、粗い解像度では対応する反カラー（例えば、反緑）として現れるため、粗い解像度（つまり、ハドロン構造を研究するために使用されるエネルギー-運動量スケール）で見たダイクォーククラスターは、効果的に反クォークとして現れます。したがって、2つがダイクォークとしてクラスター化する傾向がある3つの価クォークを含むバリオンは、メソンのように振る舞います。

SUSY の概念は、WKB 近似の有用な拡張を提供してきました。さらに、SUSY は、量子系と非量子系の両方（統計力学を通して）の無秩序平均系に適用されており、フォッカー・プランク方程式は非量子理論の一例です。これらのすべてのシステムにおける「超対称性」は、1 つの粒子をモデル化しているため、「統計」は重要ではないという事実から生じます。超対称性法の使用は、レプリカ トリックに対する数学的に厳密な代替手段を提供しますが、これは相互作用のないシステムに限られ、無秩序平均化の下でのいわゆる「分母の問題」に対処しようとします。凝縮系物理学における超対称性の応用については、Efetov (1997) を参照してください。^{[ 30 ]}

2021年に研究者グループが、理論的には、${\displaystyle N=(0,1)}$SUSYはムーア・リード量子ホール状態の端で実現できる可能性がある。^{[ 31 ]}しかし、現在までに、ムーア・リード状態の端でそれを実現するための実験はまだ行われていない。2022年に、別の研究者グループが、超対称トポロジカル準粒子を持つ1次元原子のコンピュータシミュレーションを作成した。^{[ 32 ]}

2013年に、集積光学^{[ 33 ]}は、容易にアクセスできる実験室環境でSUSYの特定の派生を探求できる肥沃な土壌を提供することがわかりました。量子力学のシュレーディンガー方程式と1次元設定での光の進化を支配する波動方程式の類似した数学的構造を利用することで、構造の屈折率分布を光波束が伝搬する潜在的なランドスケープとして解釈することができます。このようにして、位相整合、モード変換^{[ 34 ]}、および空間分割多重化に応用可能な新しいクラスの機能的な光学構造が可能になります。SUSY変換は、光学における逆散乱問題に対処する方法、および1次元変換光学としても提案されています。^{[ 35 ]}

すべての確率的（偏）微分方程式、つまりすべてのタイプの連続時間力学系のモデルは、位相的超対称性を持つ。^{[ 36 ] [ 37 ]}確率的進化の演算子表現では、位相的超対称性は、位相空間のSDE 定義微分同相写像によって微分形式に誘導される確率的に平均化された引き戻しとして定義される確率的進化演算子と可換な外微分である。このように出現する確率的力学の超対称理論の位相セクターは、ウィッテン型位相場理論として認識できる。

力学系における位相的超対称性の意味は、位相空間の連続性の保持、すなわち、ノイズが存在する場合でも、連続的な時間発展の間、無限に近い点は近いままであるということです。位相的超対称性が自発的に破れると、この性質は無限に長い時間発展の極限で破れ、モデルは（確率的な一般化である）バタフライ効果を示すと言えます。より一般的な観点から言えば、位相的超対称性の自発的崩壊は、カオス、乱流、自己組織化臨界などとして知られる遍在する力学現象の理論的本質です。ゴールドストーンの定理は、1 / fノイズ、バタフライ効果、およびジップの法則やリヒタースケールとして知られる地震、神経雪崩、太陽フレアなどの突発的（瞬間的）プロセスのスケールフリー統計として現れる長距離力学挙動の関連する出現を説明します。

SUSY は、その固有の性質のために数学的に研究されることもあります。これは、正則性と呼ばれる性質を満たす複素場を記述するためであり、正則量を正確に計算することができます。このため、超対称モデルは、より現実的な理論の有用な「おもちゃモデル」となります。その代表的な例は、粒子とモノポールを交換する4 次元ゲージ理論における S 双対性の実証です^{[ 40 ]}。

アティヤ・シンガー指数定理の証明は、超対称量子力学を用いることで大幅に簡略化される。

超対称性は、万物の理論である弦理論の不可欠な部分です。弦理論には、超対称弦理論（または超弦理論）と非超対称弦理論の2種類があります。超弦理論の定義により、超弦理論では何らかのレベルで超対称性が必要です。しかし、非超対称弦理論でも、物理的なタキオンが現れないことを保証するために、ミスアラインメント超対称性と呼ばれるタイプの超対称性が理論で依然として必要です。^{[ 41 ] [ 42 ]}ボソン弦理論や${\displaystyle E_{7}\times E_{7}}$、${\displaystyle SU(16)}$、 そして${\displaystyle E_{8}}$ヘテロティック弦理論ではタキオンが存在するため、時空真空自体が不安定になり、通常はより低い時空次元でタキオンのない弦理論に崩壊するだろう。^{[ 43 ]}超対称性またはミスアライメント超対称性が我々の宇宙で成立するという実験的証拠はなく、多くの物理学者はLHCでの超対称性の非検出により、超対称性および弦理論から完全に離れてしまった。^{[ 44 ] [ 45 ]}

LHC での超対称性に関するこれまでの結果がゼロであるにもかかわらず、一部の素粒子物理学者は、標準模型の特定の超対称性拡張の自然性の危機を解決するために弦理論に移行しました。 ^{[ 46 ]}素粒子物理学者によると、弦理論には「弦的自然性」という概念があり、^{[ 47 ]}弦理論のランドスケープは、ソフト SUSY 破れ項を大きな値に引き付けるべき乗則統計的引力を持つ可能性があります (ソフト項に寄与する隠れたセクター SUSY 破れ場の数に依存します)。^{[ 48 ]}これが、弱いスケールへの寄与が測定値の 2 ～ 5 倍を超えないという人間原理的要件 (Agrawal らが主張するように) と結び付けられると、^{[ 49 ]}ヒッグス質量は 125 GeV 付近まで引き上げられ、 ほとんどの超対称性粒子は現在の LHC の到達範囲を超える値まで引き上げられます。^{[ 50 ]} (ヒッグス粒子の質量は2022年に125 GeV ±0.15 GeVと決定された。) 例外として、超対称性の破れからではなく、超対称性μ問題を解決する何らかのメカニズムから質量を得るヒッグシーノがある。硬い初期状態ジェット放射に伴う軽いヒッグシーノ対生成は、柔らかい反対符号のダイレプトン＋ジェット＋欠損横方向エネルギー信号をもたらす。^{[ 51 ]}

標準模型に超対称性を組み込むには、粒子数を倍増させる必要がある。なぜなら、標準模型の粒子同士が互いに超対称性パートナーとなることは不可能だからである。新たな粒子が加わることで、多くの新たな相互作用が生じる可能性がある。標準模型と矛盾しない最も単純な超対称性モデルは、最小超対称性標準模型（MSSM）であり、これは標準模型の粒子と超対称性パートナーとなり得る、必要な新たな粒子を追加することができる。

最小超対称標準模型の当初の動機の一つは、階層性問題に由来する。標準模型ではヒッグス質量の二乗に対する寄与が二乗発散するため、ヒッグス粒子の量子力学的相互作用によってヒッグス質量が大きく繰り込まれ、偶然の相殺がない限り、ヒッグス質量の自然な大きさが可能な最大のスケールとなる。さらに、電弱スケールはプランクスケールの巨大な量子補正を受ける。電弱スケールとプランクスケールの間の観測された階層性は、並外れた微調整によって実現されなければならない。この問題は階層性問題として知られている。

最小超対称標準模型のように、電弱スケールに近い超対称性は、標準模型を悩ませている階層問題を解決するだろう。 ^{[ 55 ]}フェルミオンとボソンのヒッグス相互作用の間で自動的に相殺されることで量子補正の大きさが小さくなり、プランクスケールの量子補正はパートナーとスーパーパートナーの間で相殺される（フェルミオンループに関連するマイナス符号のため）。電弱スケールとプランクスケールの間の階層は、特別な微調整なしに自然な方法で達成されるだろう。弱いスケールで超対称性が回復された場合、ヒッグス質量は、弱い相互作用と重力相互作用のスケールが大きく異なることを説明する小さな非摂動効果から誘発できる超対称性の破れと関連付けられるだろう。

最小超対称標準模型のもう 1 つの動機は、ゲージ対称群が高エネルギーで統一されるべきであるという考え方である大統一から来ています。しかし、標準模型では、弱い、強い、電磁ゲージ結合は高エネルギーで統一されません。特に、標準模型の3 つのゲージ結合定数の繰り込み群の進化は、理論の現在の粒子内容に多少敏感です。標準模型を使用して繰り込み群を実行すると、これらの結合定数は共通のエネルギー スケールで完全に一致しません。^{[ 56 ] [ 57 ]}電弱スケールで最小超対称性を取り入れた後、ゲージ結合の実行は修正され、ゲージ結合定数の同時収束は約 10 ¹⁶ GeVで発生すると予測されます。^{[ 56 ]}修正された実行は、放射電弱対称性の破れの自然なメカニズムも提供します。 

標準模型の多くの超対称性拡張、例えば最小超対称性標準模型では、弱く相互作用する質量粒子（WIMP）の暗黒物質候補として機能しうる重い安定粒子（ニュートラリーノなど）が存在する。超対称性暗黒物質候補の存在は、Rパリティと密接に関係している。電弱スケールでの超対称性（離散対称性で拡張）は、通常、熱的残存存在量計算と一致する質量スケールで暗黒物質候補粒子を提供する。^{[ 58 ] [ 59 ]}

現実的な理論に超対称性を組み込むための標準的なパラダイムは、理論の基礎となるダイナミクスが超対称性を持つが、理論の基底状態は対称性を尊重しず、超対称性が自発的に破れるというものである。現在のMSSMの粒子では、超対称性の破れを永続的に行うことはできない。これは、破れの原因となる理論の新しいセクターが存在することを意味する。この新しいセクターに対する唯一の制約は、超対称性を永続的に破り、超粒子にTeVスケールの質量を与える必要があるということである。これを実現できるモデルは多数あり、その詳細のほとんどは重要ではない。超対称性の破れの関連する特徴をパラメータ化するために、超対称性を一時的に明示的に破るが、完全な超対称性破れの理論からは決して生じない任意のソフトSUSY破れ項が理論に追加される。

これらの超対称性パートナー（sp粒子）はすべて仮説上の存在であり、実験的に観測されたことはない。これらは、標準模型の様々な超対称性拡張によって予測されている。

標準模型の超対称性拡張は、フェルミラボでのミューオンの異常磁気モーメントなどの低エネルギー観測量の測定、WMAPの暗黒物質密度測定および直接検出実験（XENON-100およびLUXなど）、大型電子陽電子衝突型加速器、テバトロン、LHCでのB物理、ヒッグス現象論、超対称性粒子（sp粒子）の直接探索などの粒子衝突実験を含む、さまざまな実験によって制約されています。実際、CERNは、標準模型の超対称性モデルが「正しい場合、超対称性粒子はLHCでの衝突で出現するはずだ」と公言しています。^{[ 60 ]}

歴史的に見て、最も厳しい制限は衝突型加速器での直接生成によるものでした。スクォークとグルイーノの最初の質量制限は、CERNのUA1実験とスーパープロトンシンクロトロンのUA2実験によって行われました。LEPは後に非常に強い制限を設定し、^{[ 61 ]} 2006年にテバトロンのD0実験によって拡張されました。^{[ 62 ] [ 63 ]} 2003年から2015年にかけて、WMAPとPlanckの暗黒物質密度測定は、標準模型の超対称拡張を強く制約しました。もしそれらが暗黒物質を説明するのであれば、ニュートラリーノ密度を十分に減少させる特定のメカニズムを想定するように調整する必要があります。

LHCの開始前である2009年には、利用可能なデータをCMSSMとNUHM1に適合させた結果、スクォークとグルイーノの質量は500～800  GeVの範囲にある可能性が最も高いことが示されましたが、2.5 TeVという高い値も 低い確率で許容されていました。ニュートラリーノとスレプトンはかなり軽いと予想され、最も軽いニュートラリーノと最も軽いスタウは100～150 GeVの間にある可能性が最も高いとされていました 。^{[ 64 ]}

LHCの最初の運転では、大型電子陽電子衝突型加速器とテバトロンの既存の実験限界を超え、前述の予想範囲を部分的に除外しました。^{[ 65 ]} 2011年から2012年にかけて、LHCは質量が約125 GeVで、フェルミオンとボソンとの結合が標準模型と一致するヒッグス粒子を発見しました。MSSMは、最も軽いヒッグス粒子の質量はZボソン の質量よりそれほど大きくなく、微調整がない場合（超対称性の破れスケールが1 TeV程度の場合）、135 GeVを超えないと予測しています。^{[ 66 ]} LHCは、標準模型の一部として既に存在が疑われていたヒッグス粒子以外に、これまで知られていなかった粒子を発見しておらず、したがって標準模型の超対称性拡張の証拠もありませんでした。^{[ 52 ] [ 53 ]}  

間接的な方法としては、標準模型粒子が超対称性粒子と相互作用する際に生じる可能性のある、既知の標準模型粒子における永久電気双極子モーメント（EDM）の探索が挙げられる。電子の電気双極子モーメントに対する現在の最良の制約は、10 ⁻²⁸ e·cmより小さい値であり、これは TeV スケールでの新物理に対する感度に相当し、現在の最良の粒子衝突型加速器の感度と一致する。^{[ 67 ]}任意の基本粒子における永久EDMは、時間反転対称性の破れ物理、ひいてはCPT 定理によるCP 対称性の破れを示唆する。このようなEDM実験は、従来の粒子加速器よりもはるかに拡張性が高く、加速器実験の維持がますますコストがかかり複雑になるにつれて、標準模型を超える物理を検出するための実用的な代替手段を提供する。電子のEDMに対する現在の最良の制限は、標準模型のいわゆる「ナイーブな」超対称性拡張を排除する感度にすでに達している。^{[ 68 ]}

2010年代後半から2020年代初頭にかけて行われた、宇宙定数、LIGOノイズ、パルサータイミングに関する実験データに基づく研究では、標準模型やLHCで発見される質量よりもはるかに大きな質量を持つ新たな粒子が存在する可能性は非常に低いことが示唆されている。^{[ 69 ] [ 70 ] [ 71 ]}しかし、この研究では、量子重力または摂動量子場理論が1 PeVより前に強く結合し、TeVで他の新たな物理現象を引き起こすことも示唆されている。^{[ 69 ]}

実験での否定的な結果は、多くの物理学者を失望させた。彼らは、標準模型の超対称性拡張（およびそれに依存する他の理論）が、標準模型を超える「新しい」物理学にとって最も有望な理論であると信じており、実験から予期せぬ結果の兆候を期待していた。^{[ 9 ] [ 2 ]}特に、LHCの結果は、最小超対称性標準模型にとって問題があるように思われる。125 GeVという値は、この模型にとって比較的大きく、多くの理論家が「不自然」だと考えているトップスクォーク からの大きな放射ループ補正によってのみ達成できるからである（自然さと微調整を参照）。^{[ 72 ]}

最小超対称標準模型におけるいわゆる「自然さの危機」を受けて、一部の研究者は自然さを放棄し、超対称性によって階層問題を自然に解決するという当初の動機を捨てた一方、他の研究者は分割超対称性などの他の超対称モデルに移行した。^{[ 54 ] [ 73 ]}また、自然さの危機の結果として弦理論に移行した研究者もいる。^{[ 74 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 50 ]}かつて熱心に支持していたミハイル・シフマンは、理論コミュニティに新しいアイデアを探し、超対称性が素粒子物理学において失敗した理論であることを受け入れるよう促すに至った。^{[ 75 ]}しかし、一部の研究者は、さまざまな計算が標準模型の超対称拡張を解決策として可能にする質量の限界について楽観的すぎるため、この「自然さ」の危機は時期尚早であると示唆した。^{[ 76 ] [ 77 ]}

超対称性変換は複数種類存在し得る。超対称性変換が複数存在する理論は、拡張超対称性理論と呼ばれる。理論の超対称性が多いほど、場の内容と相互作用はより制約される。通常、超対称性のコピー数（Nで表される）は2のべき乗（1、2、4、8…）である。4次元では、スピノルは4つの自由度を持つため、4次元における超対称性生成子の最小数は4であり、8つの超対称性コピーが存在するということは、32個の超対称性生成子が存在することを意味する。

可能な超対称性生成子の最大数は 32 です。32 を超える超対称性生成子を持つ理論は、自動的にスピンが 2 より大きい質量ゼロの場を持ちます。スピンが 2 より大きい質量ゼロの場を相互作用させる方法は知られていないため、考慮される超対称性生成子の最大数は 32 です。これはワインバーグ・ウィッテンの定理によるものです。32 個の超対称性を持つ理論は自動的に重力子を持ちます。

4次元の場合、対応する多重項を持つ以下の理論が存在する^{[ 78 ]}（CPTは、そのような対称性の下で不変でない場合はコピーを追加する）。

4次元以外の次元でも超対称性は存在し得る。スピノルの性質は次元によって大きく変化するため、各次元にはそれぞれ固有の特徴がある。d次元では、スピノルの大きさはおよそ2d/2または2(d-1)/2である^。超対称^性の最大数は32であるため、超対称理論が存在できる次元の最大数は11である。

分数超対称性とは、超対称性の概念を一般化したもので、スピンの最小正値は 1/2である必要はなく、整数値 N に対して任意の 1 / Nとすることができる。このような一般化は、 2 次元以下の時空次元で可能である。